Unitäres Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra unitär, wenn es invertierbar ist und das adjungierte Element und das inverse Element dasselbe sind.

Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra mit Einselement $e$, so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ unitär, falls $aa^{*}=a^{*}a=e$, also wenn $a$ invertierbar ist und $a^{-1}=a^{*}$ gilt.

Die Menge der unitären Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{U}$ oder $U({\mathcal {A}})$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Kriterien

• Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element. Genau dann ist $a$ unitär, wenn das Spektrum $\sigma (a)$ nur aus Elementen der Kreisgruppe $\mathbb {T}$ besteht, das heißt $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}$.

Beispiele

• Trivialerweise ist das Einselement $e$ unitär.

• Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra. Ist $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$, dann definiert jede auf dem Spektrum $\sigma (a)$ stetige Funktion $f$, mittels stetigem Funktionalkalkül ein unitäres Element $f(a)$, falls $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T}$.

Eigenschaften

Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre *-Algebra und $a,b\in {\mathcal {A}}_{U}$. Dann gilt:

• Das Element $ab$ ist unitär, da ${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$. Insbesondere bildet ${\mathcal {A}}_{U}$ eine multiplikative Gruppe.
• Das Element $a$ ist normal.
• Das adjungierte Element $a^{*}$ ist ebenfalls unitär, da $a=(a^{*})^{*}$ für die Involution * gilt.
• Wenn ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra ist, hat $a$ Norm 1, also $\left\|a\right\|=1$.

Siehe auch

• Unitäre Matrix
• Unitärer Operator

Literatur

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.