Von-Neumann-Dimension
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Die Von-Neumann-Dimension ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L2-Betti-Zahlen Verwendung findet.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine abzählbare Gruppe und ein Hilbert--Modul. Dann gibt es eine isometrische -äquivariante Einbettung und eine -äquivariante orthogonale Projektion mit Bild . Die Von-Neumann-Dimension von ist definiert als
- ,
wobei die Von-Neumann-Spur bezeichnet. Diese Definition hängt nicht von der gewählten Einbettung ab.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- .
- .
- Wenn ein injektiver -äquivarianter Homomorphismus mit dichtem Bild ist, dann ist .
- Für eine schwach exakte Sequenz von Hilbert--Moduln ist .
- Die Von-Neumann-Dimension des vervollständigten Tensorprodukts zweier Hilbert-Moduln ist das Produkt der Von-Neumann-Dimensionen.
- Wenn eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann ist .
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Für eine endliche Gruppe und einen Hilbert--Modul ist .
- Für und eine messbare Menge ist ein Hilbert--Modul und .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- W. Lück: L2-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
- H. Kammeyer: Introduction to l2-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
- C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L2-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).