Wedge-Produkt (Topologie)

Wedge-Produkt zweier Kreise

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) $X\vee Y$ zweier punktierter topologischer Räume $X$ und $Y$ bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

$X\vee Y=(X\amalg Y)/(pt\amalg pt)$

Hierbei bezeichnet $pt$ den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

$\bigvee _{i\in I}X_{i}=\left(\coprod _{i\in I}X_{i}\right)/\left(\coprod _{i\in I}pt_{i}\right)$

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal-kontrahierbare Räume $X_{i}$

$\pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)=\mathop {*} _{i\in I}\pi _{1}(X_{i}),$

wobei $*$ das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

$H_{n}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i},pt\right)=\bigoplus _{i\in I}H_{n}(X_{i},pt)$

Man kann das Wedge-Produkt $X\vee Y$ auf naheliegende Weise in das Produkt $X\times Y$ einbetten, der Quotient

$X\wedge Y:=X\times Y/X\vee Y$

ist das Smash-Produkt.

Insbesondere ist $\Sigma X:=S^{1}\wedge X$ die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.

Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002