Die Weierstraß-Substitution (auch unter Halbwinkelmethode bekannt) ist eine Methode aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis . Sie ist eine Variante der Integration durch Substitution , die auf bestimmte Integranden mit trigonometrischen Funktionen angewendet werden kann. Benannt ist die Methode nach dem Mathematiker Karl Weierstraß , der sie entwickelte.[ 1]
Seien
a
<
b
{\displaystyle a<b}
R
{\displaystyle R}
rationale Funktion . Um ein Integral der Form
∫
a
b
R
(
sin
(
x
)
,
cos
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}R(\sin(x),\cos(x))\,dx}
zu berechnen, kann die Substitution
tan
(
x
2
)
=
t
{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)=t}
für
|
x
|
<
π
{\displaystyle |x|<\pi }
Sinus und Kosinus ergeben sich dann die Substitutionen
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}
und für das Differential gilt
d
x
=
2
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}}
Da sich die Funktionen Tangens
tan
{\displaystyle \tan }
Kotangens
cot
{\displaystyle \cot }
Sekans
sec
{\displaystyle \sec }
Kosekans
csc
{\displaystyle \csc }
tan
x
=
2
t
1
−
t
2
cot
x
=
1
−
t
2
2
t
csc
x
=
1
+
t
2
2
t
sec
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\frac {2t}{1-t^{2}}}\\\cot x&={\frac {1-t^{2}}{2t}}\\\csc x&={\frac {1+t^{2}}{2t}}\\\sec x&={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\,.\end{aligned}}}
Alternativ kann ein Integral von der obigen Form auch auf funktionentheoretische Weise gelöst werden. Dabei wird das reelle Intervall in ein komplexes Gebiet transformiert und anschließend der Residuensatz angewendet.
Die Generalsubstitution ist geeignet, die trigonometrischen Funktionen bei der Berechnung des Integrals zu eliminieren, wie das folgende Beispiel zeigt.
∫
2
3
+
cos
(
x
)
d
x
=
∫
2
(
3
+
1
−
t
2
1
+
t
2
)
⋅
2
(
1
+
t
2
)
d
t
=
∫
4
3
+
3
t
2
+
1
−
t
2
d
t
=
∫
2
2
+
t
2
d
t
{\displaystyle \int {\frac {2}{3+\cos(x)}}\,dx=\int {\frac {2}{(3+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}})}}\cdot {\frac {2}{(1+t^{2})}}\,dt=\int {\frac {4}{3+3t^{2}+1-t^{2}}}\,dt=\int {\frac {2}{2+t^{2}}}\,dt}
Dieses Integral lässt sich nun mit einer weiteren Integration durch Substitution berechnen.
In diesem Abschnitt werden die Substitutionsformeln für Sinus und Kosinus hergeleitet. Mit den Additionstheoremen erhält man:
sin
(
x
)
=
2
sin
(
x
2
)
cos
(
x
2
)
=
2
t
⋅
cos
2
(
x
2
)
{\displaystyle \sin(x)=2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2t\cdot \cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}
t
=
sin
(
x
2
)
cos
(
x
2
)
⟹
cos
2
(
x
2
)
=
1
−
cos
2
(
x
2
)
t
2
⟹
cos
2
(
x
2
)
=
1
1
+
t
2
{\displaystyle t={\frac {\sin({\frac {x}{2}})}{\cos({\frac {x}{2}})}}\Longrightarrow \cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}{t^{2}}}\Longrightarrow \cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{1+t^{2}}}}
Zusammen hat man die Darstellung oben für
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
cos
(
x
)
=
1
−
sin
2
(
x
)
=
1
−
4
t
2
(
1
+
t
2
)
2
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}={\sqrt {1-{\frac {4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
cos
(
x
)
=
−
1
−
sin
2
(
x
)
=
−
1
−
4
t
2
(
1
+
t
2
)
2
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos(x)=-{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}=-{\sqrt {1-{\frac {4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
x
∈
[
π
2
,
3
π
2
]
{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}
Die Ableitung von
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
t
=
tan
(
x
2
)
⟺
x
=
2
⋅
arctan
(
t
)
⇒
d
x
d
t
=
2
1
+
t
2
{\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\iff x=2\cdot \arctan(t)\Rightarrow {\frac {dx}{dt}}={\frac {2}{1+t^{2}}}}
↑ Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis: Calculus . 9. Auflage. John Wiley & Sons, Inc., 2009, ISBN 978-0-470-18345-8 , S. 526–528 .
![{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1456d52196a1482372d7760aa863f111d53aa824)
![{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53a896dfa7e6cb30b789625e63eec3bd53faa6e)
