Zentralisator

Der Zentralisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Der Zentralisator $Z_{G}(x)$ eines Elementes $x$ einer Gruppe $G$ ist die aus allen mit $x$ kommutierenden Gruppenelementen bestehende Menge:

$Z_{G}(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}$

Allgemeiner definiert man als Zentralisator $Z_{G}(U)$ einer Teilmenge $U$ einer Gruppe $G$ die Menge

$Z_{G}(U):=\{g\in G\mid gu=ug\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ u\in U\}$

oder äquivalent dazu die Schnittmenge der Zentralisatoren der einzelnen Elemente aus $U$

$Z_{G}(U):=\bigcap _{x\in U}Z_{G}(x).$

Eigenschaften

Der Zentralisator eines Gruppenelementes oder einer Teilmenge bildet eine Untergruppe der Gruppe. Insbesondere ist das neutrale Element einer Gruppe in den Zentralisatoren jedes Gruppenelementes und jeder Teilmenge enthalten, da es mit allen Gruppenelementen kommutiert. Der Zentralisator des neutralen Elements einer Gruppe ist die Gruppe selbst.

Für alle Elemente $x$ einer Gruppe $G$ gilt $Z_{G}(x^{-1})=Z_{G}(x)$. Für alle Elemente $x$ einer Gruppe $G$ und alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $x^{n}\in Z_{G}(x)$ und $(x^{-1})^{n}\in Z_{G}(x)$. Somit ist für jedes Element $x$ einer Gruppe $G$ die von $x$ erzeugte zyklische Untergruppe $\langle x\rangle$ auch Untergruppe des Zentralisators $Z_{G}(x)$ von $x$. Für alle Elemente $x$ einer Untergruppe $H$ einer Gruppe $G$ gilt $Z_{H}(x)=Z_{G}(x)\cap H$.

Konjugation

→ Hauptartikel: Konjugation (Gruppentheorie)

Jede Gruppe operiert auf sich selbst durch Konjugation. Der Zentralisator eines Elementes ist dann gerade der Stabilisator bezüglich dieser Gruppenoperation, d. h., der Zentralisator $Z_{G}(x)$ eines Elementes $x$ einer Gruppe $G$ ist die Menge aller Gruppenelemente, die $x$ unter Konjugation unverändert lassen:

$Z_{G}(x)=\{g\in G\mid x=gxg^{-1}\}$.

Daraus folgt, dass die Anzahl der Elemente, die zu $x$ konjugiert sind, das heißt die Mächtigkeit der Konjugationsklasse von $x$, gleich dem Index $[G:Z_{G}(x)]$ des Zentralisators von $x$ ist. Im Falle einer endlichen Gruppe ist also die Anzahl dieser konjugierten Elemente stets ein Teiler der Gruppenordnung $|G|$. Ist bei einer endlichen Gruppe $x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$ ein Repräsentantensystem aller Konjugationsklassen von $G$, dann gilt:

$|G|=\sum _{j=1}^{n}[G:Z_{G}(x_{j})]$

Zentrum

Für eine abelsche Gruppe $G$ sind die Zentralisatoren aller Gruppenelemente und aller Teilmengen gleich der ganzen Gruppe $G$. Umgekehrt ist der Zentralisator $Z_{G}(G)$ einer beliebigen Gruppe $G$ (die Menge der mit allen Gruppenelementen kommutierenden Gruppenelemente) immer ein abelscher Normalteiler der Gruppe. Der Zentralisator $Z_{G}(G)$ wird als das Zentrum $Z(G)$ der Gruppe bezeichnet. Eine Gruppe $G$ ist genau dann abelsch, wenn sie gleich ihrem Zentrum ist.

Ein Gruppenelement ist genau dann im Zentrum der Gruppe enthalten, wenn sein Zentralisator gleich der ganzen Gruppe ist. Eine Teilmenge $S$ ist genau dann in $Z_{G}(S)$ enthalten, wenn ihre Elemente paarweise kommutieren. Der Zentralisator einer Teilmenge $S$ paarweise kommutierender Elemente einer Gruppe $G$ ist die größte Untergruppe von $G$, deren Zentrum $S$ enthält.

Normalisator

Eng verwandt mit dem Begriff des Zentralisators ist der Begriff des Normalisators. In diesem Fall operiert die Gruppe auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation. Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-90518-9.