Zufällige Menge

Eine zufällige Menge ist eine Menge, deren Charakteristika (z. B. Größe, Gestalt, Lage) auch vom Zufall abhängen, z. B. die raum-zeitliche Entwicklung einer Epidemie, oder eines Ölteppiches auf dem Ozean. Zufällige Mengen sind auch grundlegend für die stochastische Geometrie.

Definition

Eine zufällige Menge $X$ ist eine mengenwertige Zufallsvariable, d. h. eine messbare Abbildung $X$ von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {B}},P)$ in einen messbaren Raum $(K,{\mathcal {B}}(K))$. Häufig ist $K$ die Menge aller kompakten Teilmengen eines lokalkompakten separablen Hausdorff-Raumes $M$ und ${\mathcal {B}}(K)$ die von $K$ erzeugte Sigma-Algebra. Dann spricht man von einer zufälligen kompakten Menge, siehe z. B.

Verteilung einer zufälligen kompakten Menge

Sei $X$ eine zufällige kompakte Menge. Die Verteilung von $X$ ist eindeutig festgelegt durch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen $X$ beliebige $A$'s aus $K$ "trifft" (sog. hit-probabilities), d. h.

$P(X\cap A\neq \emptyset )=T(A),\quad A\in K$

$T(A)$ ist eine vollständig alternierende Kapazität.

Erwartungswert einer zufälligen kompakten Menge

Sei $X$ eine zufällige kompakte Menge. Ihr Erwartungswert $E_{A}X$ wird häufig Aumann-Erwartungswert genannt. Er ist definiert als die Menge aller Erwartungswerte von Zufallsgrößen $Y$, die fast sicher in $X$ liegen, d. h.

$E_{A}X=\{EY:Y\in X\quad f.s.\}$.

Die $Y$ werden auch Selektoren von $X$ genannt. Für ein zufälliges Intervall ergibt sich z. B.

$E_{A}[a,b]=[Ea,Eb]$.

Der Aumann-Erwartungswert ist linear bzgl. der Minkowski-Summe $\oplus$, d. h.

$E_{A}(X_{1}\oplus X_{2})=E_{A}X_{1}\oplus E_{A}X_{2}$.

Literaturhinweise

• Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets. Springer, New York.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.