Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen $V$ eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck $p$.

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

$p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right]$

$\Leftrightarrow V=V_{0}\cdot \left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}}$

mit

• dem Volumen $V_{0}$ des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
• dem Kompressionsmodul $K_{0}$ bei einem Druck von 0 GPa:

$K_{0}=-V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }$

• der ersten Ableitung $K_{0}'$ des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:

$K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }$.

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

• der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:

$K(p)=K_{0}+p\,K_{0}'$

• die Größe $K_{0}'$ hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck $p$ und der freien Energie $F$ besteht:

$p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}$

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n}$

Hier sind

• $a_{n}$ druckabhängige Koeffizienten
• $\epsilon ^{n}$ ist die Eulersche Dehnung.

$\epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right]$

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

$p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-1\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right]$

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

• F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
• B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)