Zweiter Lemoinescher Kreis

Die sechs Schnittpunkte $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{a},Q_{c}$ der Antiparallelen durch den Lemoine-Punkt mit den Dreiecksseiten liegen einem gemeinsamen Kreis, dem Kosinus-Kreis

Der Kosinus-Kreis oder zweite Lemoinesche Kreis (nach Émile Lemoine (1840–1912)) eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie.

Schneidet man in einen Dreieck jede Antiparallele zu einer Dreieckseite durch den Lemoinepunkt mit den beiden anderen Dreiecksseiten, so erhält man sechs Schnittpunkte, die auf einem gemeinsamen Kreis liegen, dem Kosinus-Kreis.

Der Mittelpunkt des Kosinus-Kreises ist der Lemoinepunkt und sein Radius kann wie folgt berechnet werden:

$r_{K}=R\tan(\omega )={\frac {abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Hierbei sind $a,b,c$ die Seiten und $\omega$ der Brocard-Winkel des Dreiecks sowie $R$ der Radius seines Umkreises.

Die beiden von den Schnittpunkten gebildeten Dreiecke $\triangle P_{a}P_{b}P_{c}$ und $\triangle Q_{a}Q_{a}Q_{c}$ sind kongruent und punktsymmetrisch zum Mittelpunkt des Kosinus-Kreises.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 272 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• G. Wotherspoon: The Radii of the Cosine and Lemoine Circles In: The Mathematical Gazette, Band 14, Nr. 199 (März, 1929), S. (JSTOR)
• A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 42–52
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Kosinus-Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Cosine circle. In: MathWorld (englisch).
• Wolfgang Ströher: Dreiecksgeometrie, Skript, TU Wien, S. 90–93