Erste internationale Erfahrungen sammelte Allan Smith bei den U23-Europameisterschaften 2013 in Tampere, bei denen er mit 2,26 m die Bronzemedaille gewann.[1] 2015 qualifizierte er sich für die Halleneuropameisterschaften in Prag, bei denen er mit 2,19 m in der Qualifikation ausschied.[2] Zwei Jahre später nahm er erneut an den Halleneuropameisterschaften in Belgrad teil und belegte diesmal mit 2,18 m im Finale den achten Platz.[3] Während der Freiluftsaison nahm er an der Sommer-Universiade in Taipeh teil und wurde dort mit 2,23 m Vierter. 2018 nahm er erstmals an den Commonwealth Games im australischen Gold Coast teil und belegte dort mit neuer Bestleistung von 2,27 m den fünften Platz.
2014 und 2019 wurde Smith britischer Meister im Freien sowie 2015 und 2017 in der Halle. Er ist Student an der Edinburgh Napier University.