Vermutung von Andrica
Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.
Sei die -te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen gilt:
Unter Verwendung der -ten Primzahllücke lässt sie sich auch so formulieren:
Werte
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei .
Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes , sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle mit wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt[1], der größte gefundene Wert war .
Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:
Folge A084976 in OEIS |
Folge A084974 in OEIS |
Folge A084977 in OEIS |
---|---|---|
4 | 7 | 0,670873 |
30 | 113 | 0,639281 |
217 | 1327 | 0,463722 |
263 | 1669 | 0,292684 |
367 | 2477 | 0,260522 |
429 | 2971 | 0,256245 |
462 | 3271 | 0,244265 |
590 | 4297 | 0,228429 |
650 | 4831 | 0,215476 |
738 | 5591 | 0,213675 |
… | ||
10655462 | 191912783 | 0,008950 |
Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005[2]) wurden die Primzahlen bis getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.
Verallgemeinerung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Allgemeiner kann man etwa die Gleichung
betrachten und nach maximalem bzw. minimalem suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr
- Maximum trivialerweise bei , d. h.
- Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei , d. h.
- Dieses wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.[4]
Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung
Außerdem wird vermutet, dass
Ähnliche Vermutung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem und mindestens eine Primzahl existiert.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. arxiv:0707.2584v1; vgl.: Perez
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Eric W. Weisstein: Andrica’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
- Andrics’s Conjecture, Archivlink abgerufen am 6. November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
- M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Titu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-8176-4645-5, S. PT26 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2005, S. 13.
- ↑ Folge A038458 in OEIS
- ↑ Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.