Vermutung von Andrica

Die ersten 100 Werte für ${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$

Die Vermutung von Andrica, benannt nach Dorin Andrica, ist eine Vermutung zu den Primzahllücken.

Sei $p_{n}$ die $n$-te Primzahl. Dann besagt die Vermutung von Andrica, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen $n$ gilt:

${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1.$

Unter Verwendung der $n$-ten Primzahllücke $g(n):=p_{n+1}-p_{n}$ lässt sie sich auch so formulieren:

$g(n)<{\sqrt {p_{n+1}}}+{\sqrt {p_{n}}}.$

Werte

Die ersten 500 Werte für $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$.

Es sei $A_{n}:={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$.

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes $n$, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle $A_{n}$ mit $n<26\cdot 10^{10}$ wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt, der größte gefundene Wert war $A_{4}\approx 0{,}670873479$.

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere $n$ nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

$n$ Folge A084976 in OEIS	$p_{n}$ Folge A084974 in OEIS	$A_{n}$ Folge A084977 in OEIS
4	7	0,670873
30	113	0,639281
217	1327	0,463722
263	1669	0,292684
367	2477	0,260522
429	2971	0,256245
462	3271	0,244265
590	4297	0,228429
650	4831	0,215476
738	5591	0,213675
…
10655462	191912783	0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005) wurden die Primzahlen bis $10^{16}$ getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

$p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1$

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem $x$ suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

• Maximum trivialerweise bei $n=1$, d. h.

$3^{x}-2^{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad x=1$

• Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei $n=30$, d. h.

$127^{x}-113^{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad x=0{,}56714813\dots =a_{0}$

Dieses $a_{0}$ wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

$B_{n}=p_{n+1}^{a}-p_{n}^{a}<1\qquad {\text{für alle }}a<a_{0}.$

Außerdem wird vermutet, dass

$C_{n}=p_{n+1}^{1/k}-p_{n}^{1/k}<{\frac {2}{k}}\qquad {\text{wobei }}k\geq 2,k\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .$

Ähnliche Vermutung

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ mindestens eine Primzahl existiert.

Literatur

• Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. arxiv:0707.2584v1; vgl.: Perez

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Andrica’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• Andrics’s Conjecture, Archivlink abgerufen am 6. November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
• M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes