Benutzer:Buecherdiebin/Ziegenproblem einfach

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Rosenthal

Mueser Granberg

Tierney

Morgan et al

Georgii

Das Problem: Hinter einer von drei Türen befindet sich ein Auto, hinter den anderen je eine Ziege. Mit der Aussicht auf den Gewinn des Autos wählt der Kandidat eine Tür. Danach öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Türen steht, eine andere Tür, hinter der sich eine Ziege befindet und bietet dem Kandidaten an, die Tür zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, die Tür zu wechseln?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Aufgabe wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass die menschliche Intuition zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Die Aufgabe wurde zuerst von dem Biostatistiker Steve Selvin formuliert. Er stellte sie 1975 im American Statistician in einem Leserbrief vor. Die Beschreibung war lose an den Ablauf der amerikanischen Spielshow Let's make a deal angelehnt. Im englischen Sprachraum wurde die Aufgabe nach Monty Hall, dem Moderator der Spielshow, benannt.

1990 veröffentlichte Marilyn vos Savant einen Leserbrief, der die Aufgabe erstmals mit Ziegen und Türen formulierte, in ihrer Kolumne „Ask Marilyn“ im Magazin Parade. Danach wurde die Aufgabe im deutschen Sprachraum als Ziegenproblem bekannt.

Formulierung des Problems

Die Aufgabenstellung von Marilyn vos Savant beruht auf einem Leserbrief, den sie von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland, erhalten hatte:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer der Türen ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen wir, Tür Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir, Nummer 3, hinter der eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür zu ändern?“

Für die Lösung machte vos Savant implizit mehrere Annahmen. Das von ihr gelöste Problem hat die folgende Form:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer der Türen ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Türen verteilt worden. Sie haben keine Information über die Position des Autos. Der Moderator weiß, was sich hinter den Türen befindet. Die Regeln lauten:

1. Sie wählen zuerst eine Tür aus. Diese bleibt geschlossen.
2. Der Moderator muss nun eine der beiden verbleibenden Türen öffnen. Hinter der von ihm geöffneten Tür muss sich eine Ziege befinden.
3. Nachdem der Moderator eine Tür mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zur letzten verbliebenen Tür wechseln möchten.

Sie wählen eine Tür, sagen wir, Tür Nummer 1, und der Moderator, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir, Nummer 3, hinter der eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür zu ändern?

Die zusätzlichen Annahmen sind nötig, weil die Aufgabenstellung von vos Savant mehrdeutig ist. Mueser & Granberg bezeichnen das Problem mit diesen Annahmen als Monty-Hall-Standard-Problem. Mögliche Spielverläufe ohne diese Annahmen werden im Abschnitt vom launischen Moderator beschrieben.

Einfache Lösungen

Das Spiel hat drei gleich wahrscheinliche Anfangszustände. In zweien davon gewinnt der Kandidat das Auto, wenn er wechselt.

Das Auto steht hinter Tür 1, Tür 2 oder Tür 3. Die Abbildung zeigt den Spielverlauf für die drei Anfangszustände, wenn der Kandidat zuerst Tür 1 wählt.

Wenn das Auto hinter Tür 3 steht, darf der Moderator gemäß Regel 2 weder Tür 1 noch Tür 3 öffnen. Er muss also Tür 2 öffnen. Der Kandidat gewinnt, wenn er zur noch geschlossenen Tür 3 wechselt.

Wenn das Auto hinter Tür 2 steht, muss der Moderator gemäß Regel 2 Tür 3 öffnen. Wieder gewinnt der Kandidat, wenn er zur noch geschlossenen Tür wechselt.

Nur wenn das Auto hinter Tür 1 steht, kann der Moderator wählen, ob er Tür 2 oder Tür 3 öffnet. Unabhängig von der Wahl des Moderators gewinnt der Kandidat das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl bleibt.

Zusammenfassung: Der Kandidat wählt mit einer Wahrscheinlichkeit von ²⁄₃ zuerst eine Tür, hinter der eine Ziege steht. In diesem Fall muss der Moderator die andere Tür mit einer Ziege dahinter öffnen. Dadurch gewinnt der Kandidat mit Wahrscheinlichkeit ²⁄₃, wenn er wechselt. Nur wenn der Kandidat zuerst die Tür wählt, hinter der das Auto steht, gewinnt er, wenn er bei seiner ersten Wahl bleibt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt ¹⁄₃. Der Kandidat gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von ²⁄₃, wenn er wechselt, und mit einer Wahrscheinlichkeit von ¹⁄₃, wenn er bleibt.

Fall	Zuerst gewählt	Mit Wahrscheinlichkeit	Wechseln ist
1	Ziege	2/3	gut
2	Auto	1/3	schlecht

Manche Quellen geben diese Lösung an, ohne den Einfluss von Regel 2 ausführlich zu erklären. Das kann dazu führen, dass man glaubt, dass man die einfache Lösung verstanden hat und danach versucht, sie auf Probleme zu übertragen, für die sie nicht zutrifft.

Formale Lösungen

Totale Gewinnwahrscheinlichkeit nach Türwechsel

Die Ereignisse zur Türwahl werden zerlegt in

$g_{1}$ und $g_{2}$: Der Kandidat hat anfangs die Tür zum Auto bzw. zu einer Ziege gewählt

$G_{1}$ und $G_{2}$: Der Kandidat hat nach dem Wechsel das Auto bzw. eine Ziege gewonnen.

Die anfängliche Wahl ist zufällig und mit den Wahrscheinlichkeiten $P(g_{1})={\frac {1}{3}}$ und $P(g_{2})={\frac {2}{3}}$ behaftet.

Wenn der Kandidat immer die Tür wechselt, ergeben sich durch Regel 2 der Problemformulierung die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(G_{1}|g_{1})=0$ und $P(G_{1}|g_{2})=1$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Autogewinn nach Wechsel der anfangs gewählten Tür ergibt sich mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit als

$P(G_{1})=P(G_{1}|g_{1})P(g_{1})+P(G_{1}|g_{2})P(g_{2})=0\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}$.

Der Wechsel verdoppelt die Gewinnchance von $P(g_{1})={\frac {1}{3}}$ auf $P(G_{1})={\frac {2}{3}}$. Dieses Resultat ist unabhängig davon, ob der Moderator eine Tür bevorzugt öffnet, wenn er zwischen zwei Türen mit einer Ziege dahinter wählen kann.

Die relevanten Zahlenwerte und Formeln sind im Folgenden tabellarisch zusammengestellt.

$g_{1}$	$g_{2}$
${1}/{3}$	${2}/{3}$

$P(g_{i}):$ Anfängliche Ereigniswahrscheinlichkeiten (ohne Türwechsel)

	$G_{1}$	$G_{2}$
$g_{1}$	0	1
$g_{2}$	1	0

$P(G_{j}|g_{i})$: Bedingte Ereigniswahrscheinlichkeiten bei Türwechsel

	$G_{1}$	$G_{2}$
$g_{1}$	0	1/3
$g_{2}$	2/3	0

$P(G_{j}\cap g_{i})=P(G_{j}|g_{i})\cdot P(g_{i})$: Schnittwahrscheinlichkeiten der Ereignisse

$G_{1}$	$G_{2}$
${2}/{3}$	${1}/{3}$

$P(G_{j})=\sum _{i}P(g_{i})\cdot P(G_{j}|g_{i})$: Ereigniswahrscheinlichkeiten bei Türwechsel

Lösung des Einzelfalls mit dem Satz von Bayes

Es sind die Ereignisse definiert:

$G_{i}\$: Der Gewinn ist hinter Tür $i$ ($i=1,2,3$)

$M_{j}\$: Der Moderator hat das Tür $j$ geöffnet ($j=1,2,3$)

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tür 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin Tür 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{2}|M_{3})\$, dass das Auto hinter Tür 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tür 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes ermitteln.

Dabei geht man von den bekannten Spielregeln und dem oben beschriebenen Einzelfall aus. Zusätzlich nimmt man an, dass der Moderator, wenn er zwischen zwei Türen mit einer Ziege dahinter wählen kann, jede der beiden Türen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ¹⁄₂ öffnet. Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

${\begin{aligned}&(1)&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})&={\tfrac {1}{3}}\\&(4)&P(M_{3}|G_{1})&={\tfrac {1}{2}}\\&(5)&P(M_{3}|G_{2})&=1\\&(5)&P(M_{3}|G_{3})&=0\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.\end{aligned}}$

Der Kandidat sollte also wechseln, um seine Gewinnchancen von anfangs ¹⁄₃ auf nun ²⁄₃ zu verdoppeln.

Kontroversen

Das Ziegenproblem wird oft kontrovers diskutiert.

Die meisten Menschen vermuten, dass es beim Monty-Hall-Standard-Problem keinen Unterschied macht, ob der Kandidat wechselt oder nicht. Viele begründen ihre Vermutung damit, dass es noch zwei geschlossene Türen gibt, hinter denen ein Auto und eine Ziege stehen, und deshalb die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide Türen gleich hoch sei. Diese Vermutung wird durch die einfachen Lösungen widerlegt.

Es gibt auch Diskussionen darüber, ob sich die Frage, ob der Kandidat wechseln sollte, konkret auf den beschriebenen Einzelfall bezieht oder ob dieser Einzelfall nur ein Beispiel für unterschiedliche Spielverläufe ist. Falls der Kandidat beim Monty-Hall-Standard-Problem zunächst Tür 1 mit einem Auto dahinter gewählt hat und der Moderator danach Tür 3 aufgrund einer Bevorzugung gegenüber Tür 2 geöffnet hat, dann unterscheidet sich für diesen Einzelfall die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln von der totalen Gewinnwahrscheinlichkeit ²⁄₃. Ein solcher Einzelfall wird anhand des faulen Moderators ausgeführt.

Außerdem gibt es das Argument, dass die zusätzlichen Annahmen des Monty-Hall-Standard-Problems in der Aufgabenstellung von vos Savant fehlen. Ohne diese Annahmen wäre es beispielsweise auch möglich, dass der Moderator dem Kandidaten den Wechsel nur angeboten hat, weil dieser im ersten Schritt die Tür gewählt hat, hinter der das Auto steht und der Moderator ihn von dieser Tür weglocken möchte. Wenn der Kandidat zuerst eine Tür mit einer Ziege dahinter gewählt hätte, dann hätte der Moderator diese Tür sofort geöffnet und das Spiel beendet. Dieses Argument wird anhand des launischen Moderators ausgeführt.

Varianten

Der faule Moderator

Bei dieser Variante des Monty-Hall-Standard-Problems bevorzugt der Moderator, wenn er wählen kann, eine bestimmte Tür, weil er möglichst wenig laufen möchte. Angenommen, er steht normalerweise neben Tür 3. Dann öffnet er immer die Tür mit der höchsten Zahl.

Die daran angepasste Regel 2 lautet: Der Moderator muss nun eine der beiden verbleibenden Türen öffnen. Hinter der von ihm geöffneten Tür muss sich eine Ziege befinden. Falls sich hinter beiden Türen eine Ziege befindet, öffnet er immer die Tür mit der höchsten Zahl.

Wenn also hinter der vom Kandidaten gewählten Tür 1 das Auto stünde, dann würde er mit Sicherheit Tür 3 öffnen und auf keinen Fall Tür 2.

Einfache Lösung

Das Spiel hat drei gleich wahrscheinliche Anfangszustände. Wenn der Kandidat zuerst Tür 1 wählt, öffnet der Moderator in zwei Anfangszuständen mit Wahrscheinlichkeit 1 Tür 3.

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tür 1 gewählt hat.

Wenn der Moderator Tür 3 öffnet, muss das Auto hinter Tür 1 oder Tür 2 stehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Moderator Tür 3 öffnet, falls das Auto hinter Tür 1 steht, beträgt 1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Moderator Tür 3 öffnet, falls das Auto hinter Tür 2 steht, beträgt ebenfalls 1. Also beträgt für diesen Einzelfall die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils ¹⁄₂.

Wenn der Moderator hingegen Tür 2 öffnet, muss das Auto hinter Tür 3 stehen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für diesen Einzelfall ist 1, wenn der Kandidat wechselt, und 0, wenn er nicht wechselt.

Formale Lösung

Es liegt die folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tür 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin Tür 3 geöffnet. Für den oben beschriebenen Einzelfall gelten dann folgende Wahrscheinlichkeiten:

${\begin{aligned}P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})&={\tfrac {1}{3}}\\P(M_{3}|G_{1})&=1\\P(M_{3}|G_{2})&=1\\P(M_{3}|G_{3})&=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tür 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{1\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tür 1 befindet, gilt aber ebenfalls

$P(G_{1}|M_{3})={\tfrac {1}{2}}.$

Der Gewinn hinter Tür 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tür 1. Der Kandidat kann demnach in diesem Fall also ebenso gut bei Tür 1 bleiben wie zu Tür 2 wechseln. Hat der Moderator Tür 3 geöffnet, ist seine Gewinnchance also unabhängig vom Wechsel ¹⁄₂.

Der etwas faule Moderator

Bei dieser Variante des Monty-Hall-Standard-Problems lautet Regel 2: Der Moderator muss nun eine der beiden verbleibenden Türen öffnen. Hinter der von ihm geöffneten Tür muss sich eine Ziege befinden. Falls sich hinter beiden Türen eine Ziege befindet, öffnet er mit der Wahrscheinlichkeit $q$ die Tür mit der höchsten Zahl und die Tür mit der niedrigeren Zahl mit der Wahrscheinlichkeit $1-q$.

Formale Lösung

${\begin{aligned}P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})&={\tfrac {1}{3}}\\P(M_{3}|G_{1})&=q\\P(M_{3}|G_{2})&=1\\P(M_{3}|G_{3})&=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tür 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{q\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {1}{q+1}}.\end{aligned}}$

Aus dieser Berechnung lassen sich der „neutrale Moderator“ ($q={\tfrac {1}{2}}$) und der „faule Moderator“ ($q=1$) als Spezialfälle ableiten.

Der unwissende Moderator

Der unwissende Moderator weiss nicht, hinter welcher Tür das Auto steht. Er entscheidet sich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit für eine der beiden verbliebenen Türen. Er öffnet dabei gegebenenfalls auch die Tür mit dem Auto. Der Kandidat erhält keine neuen Informationen, wenn der Moderator eine Tür mit einer Ziege dahinter öffnet. Deshalb beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln ¹⁄₂. Das Gleiche gilt, wenn der Moderator sich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit für eine der drei Türen entscheidet.

Der launische Moderator

Der launische Moderator kann wählen, ob er einen Wechsel anbietet oder nicht. Die Gewinnchancen des Kandidaten hängen von seiner Laune ab. Wenn er schlecht gelaunt ist, bietet er dem Kandidaten nur dann einen Wechsel an, wenn dieser im ersten Schritt die Tür gewählt hat, hinter der das Auto steht. Wenn hinter der Tür eine Ziege steht, öffnet er direkt diese Tür oder die Tür, hinter der ein Auto steht, und beendet damit das Spiel. In diesem Fall hat der Kandidat eine Gewinnchance von ¹⁄₃, wenn er nie wechselt und er verliert, wenn er immer wechselt. Wenn der Moderator hingegen gut gelaunt ist, dann bietet er den Wechsel nur an, wenn der Kandidat im ersten Schritt eine Tür gewählt hat, hinter der eine Ziege steht. In diesem Fall gewinnt der Kandidat, wenn er immer wechselt und er verliert, wenn er nie wechselt. Der Kandidat kennt die Laune des Moderators nicht. Er kann sicherstellen, dass seine Gewinnwahrscheinlichkeit unabhängig von der Laune des Moderators genau ¹⁄₂ beträgt, indem er eine faire Münze wirft, um sich für oder gegen den Wechsel zu entscheiden.

Marilyn vos Savant und die Medien

Das Problem wurde auch außerhalb der Fachwelt bekannt, nachdem Marilyn vos Savant 1990 es in ihrer Kolumne „Ask Marilyn“ im Magazin Parade publizierte. Ihre Version beruhte auf einem Leserbrief, den sie von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland, erhalten hatte:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer der Türen ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen wir, Tür Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir, Nummer 3, hinter der eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür zu ändern?“

Ihre Antwort lautete:

„Ja, Sie sollten wechseln. Die zuerst gewählte Tür hat die Gewinnchance von ¹⁄₃, aber die zweite Tür hat eine Gewinnchance von ²⁄₃. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe eine Million Türen und Sie wählen Tür Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Türen ist, und der eine Tür mit dem Preis stets vermeidet, alle Türen bis auf Tür Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu dieser Tür wechseln, oder nicht?“

Die Leserbriefe, die vos Savant danach erhielt, bezweifelten überwiegend die Richtigkeit ihrer Antwort. In späteren Folgen ihrer Kolumne veröffentlichte vos Savant weitere Erklärungen zu ihrer Lösung und den Inhalt einiger Leserbriefe, die ihrer Antwort teilweise heftig widersprachen.

Dadurch wurde eine öffentliche Diskussion ausgelöst, von der auch die New York Times berichtete. Die Argumente werden im Abschnitt Kontroversen erläutert.

Klärungsversuch der New York Times im Jahr 1991

In einem Artikel auf der ersten Seite der Sonntagsausgabe der New York Times im Jahr 1991 wurde über die öffentliche Diskussion und einen Versuch zu ihrer Klärung berichtet. Zu diesem Klärungsversuch waren die folgenden vier Personen um ihren Beitrag gebeten worden: Martin Gardner, Persi Diaconis, Monty Hall und Marilyn vos Savant.

Nach einer Übersicht über den Verlauf der Diskussion bestätigt der erste Teil des Artikels, dass die Lösung von vos Savant unter ihren Zusatzannahmen korrekt ist. Persi Diaconis erklärte, es sei keine Schande, dieses Problem falsch zu beantworten. Unser Gehirn sei für Wahrscheinlichkeitsprobleme einfach nicht besonders gut geeignet. Martin Gardner nannte es „ein wunderbar verwirrendes kleines Problem".

Der zweite Teil des Artikels beschreibt ein Beispiel dafür, dass die Formulierung der Aufgabenstellung auch andere Abläufe und damit auch andere Lösungen zulässt. Monty Hall las sich die Aufgabenstellung von vos Savant genau durch und spielte danach gegen einen Kandidaten. Dabei bot er dem Kandidaten nur dann einen Wechsel an, wenn dieser im ersten Schritt die Tür mit dem Auto dahinter gewählt hatte.

Gardner bestätigte die Gültigkeit dieser Variante mit den Worten: „Das Problem ist nicht gut formuliert, wenn nicht klar gemacht wird, dass der Moderator immer eine Ziegentür öffnet und einen Wechsel anbietet.“ Sonst könnte der Moderator den Wechsel auch nur dann anbieten, wenn es zu seinem Vorteil wäre, den Kandidaten wechseln zu lassen, wodurch die Chancen bei einem Wechsel auf Null sinken würden. Diese Unklarheit könne beseitigt werden, indem der Moderator vorher verspreche, eine andere Tür zu öffnen und danach einen Wechsel anzubieten.

Vos Savant bestätigte diese Unklarheit in ihrer ursprünglichen Problemstellung. Wenn ihre Kritiker diesen Einwand vorgebracht hätten, dann hätte das gezeigt, dass sie das Problem wirklich verstanden haben. Allerdings hätten viele Kritiker weder diesen Einwand vorgebracht noch ihre erste falsche Auffassung aufgegeben. In ihrem später veröffentlichten Buch schreibt sie, dass sie auch Briefe von Lesern erhalten habe, die auf diese Unklarheit hingewiesen hatten. Diese Briefe seien aber nicht veröffentlicht worden.

Diaconis erklärte, dass das Problem bei strenger Auslegung nicht beantwortet werden könne, ohne die Motivation des Moderators zu kennen.

Monty Hall selbst gab folgenden Rat: „Wenn der Moderator immer eine Tür öffnen und einen Wechsel anbieten muss, dann sollten Sie wechseln. Aber wenn er die Wahl hat, einen Wechsel anzubieten oder nicht, heißt es aufgepasst: Keine Gewähr! Alles hängt von seiner Laune ab.“