Benutzer:Fabiangabel/Wallman-Kompaktifizierung

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Wallman-Kompaktifizierung (auch Wallman-Shanin-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines T1-Raumes in einen kompakten topologischen Raum. Diese Kompaktifizierung ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker Henry Wallman benannt.

Definition

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, der das T₁-Axiom erfüllt. Des Weiteren bezeichne $Cl(X)$ die Familie aller Teilmengen von $X$, die nichtleer und bezüglich ${\mathcal {T}}$ abgeschlossen sind. Diese Menge ist bezüglich Inklusion halbgeordnet.

Sei nun $\omega (X)$ die Teilfamilie aller Teilmengen von $Cl(X)$, die bezüglich der vorangehenden Halbordnungsrelation maximal sind und zusätzlich eine endliche Durchschnittseigenschaft besitzen. Das bedeutet, dass für zwei Elemente $\alpha ,\beta \in \omega (X)$ auch $\alpha \cap \beta \in \omega (X)$ gilt. Es lässt sich $\omega (X)$ auch als die Menge aller abgeschlossenen Ultrafilter auf $X$ beschreiben.

Für jede offene Menge $O\in {\mathcal {T}}$ sei

$O^{*}:=\{\xi \in \omega (X)\;:\;\exists A\in \xi \;:\;A\subseteq O\}$.

Auf $\omega (X)$ lässt sich nun eine Topologie ${\mathcal {T}}^{\omega }$ durch Angabe der Basis

${\mathcal {B}}:=\{O^{*}\;:\;O\in {\mathcal {T}}\}$

erklären.

Topologien lassen sich auch eindeutig durch die Angabe einer Basis für die abgeschlossenen Mengen angeben, so dass sich jede abgeschlossene Menge als Schnitt der Basiselemente darstellen lässt. Oft wird daher für die Wallman-Topologie eine Basis für die abgeschlossenen Mengen angegeben. Ist $O=X\setminus S\in {\mathcal {T}}$, so definiert man dual zu oben

$S^{*}:=\{\xi \in \omega (X)\;:\;S\in \xi \}=\omega (X)\setminus O^{*}$

und definiert eine Topologie auf $\omega (X)$ durch die Basis der abgeschlossenen Mengen

${\mathcal {S}}:=\{S^{*}\;:\;X\setminus S\in {\mathcal {T}}\}$.

Eine Wallman-Kompaktifizierung ist nun gegeben durch die Einbettung

$\omega _{X}\;:\;X\to \omega (X),\quad \omega _{X}(x):={\big \{}A\in Cl(X)\;|\;x\in A{\big \}}$

des Raumes $(X,{\mathcal {T}})$ in den kompakten Raum $(\omega (X),{\mathcal {T}}^{\omega })$.

Allgemeiner lassen sich zur Konstruktion der Wallman-Kompaktifizierung statt der zur Topologie dualen Konstruktion $Cl(X)$ auch Subbasen der abgeschlossenen Mengen verwenden. Dabei ist ein Mengensystem eine Subbasis für die abgeschlossenen Mengen, falls sich jede abgeschlossene Menge als Durchschnitt endlicher Vereinigungen von Basiselementen darstellen lässt.

Eigenschaften

Für jede stetige Abbildung $f\;:\;X\to Y$ eines T₁-Raumes $X$ auf einen kompakten Hausdorff-Raum $Y$ existiert genau eine stetige Abbildung $F\;:\;\omega (X)\to Y$ mit $f=F\circ \omega _{X}$.

Für normale T₁-Räume sind die Wallman-Kompaktifizierung und die Stone-Čech-Kompaktifizierung homöomorph.

Siehe auch

• Alexandroff-Kompaktifizierung
• Stone-Čech-Kompaktifizierung

Literatur

• René Bartsch: Allgemeine Topologie. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-040618-4. 
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9. 
• Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata und Jerry E. Vaughan: Encyclopedia of general topology. 1. Auflage. Elsevier, Amsterdam 2004, ISBN 978-0-444-50355-8. 

Einzelnachweise

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