Benutzer:Fabiangabel

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Angelegte Artikel

Alexandroff-Kompaktifizierung - Koabzählbare Topologie - Einsetzungshomomorphismus - Abzählbar kompakter Raum

Baustelle

Wallman-Kompaktifizierung - Boxtopologie - H-abgeschlossener Raum - Saturierte Menge - Wesentlicher Wertebereich - Wiener Algebra

Todo

Annihilator (Mathematik)

• Notation stimmt nicht wirklich mit dem Begriff des Annihilators in der Funktionalanalysis überein (Abgenzung zu polarer Menge)
  • S.a. Dobrowolski und Werner
  • Wichtige Resultate: Closed Range theorem (Dobrowolski), Quotienten von Annihilatoren (Werner)

Abzählbar kompakter Raum

• Engelking, p.202; diverse Aussagen in Artikel einarbeiten

Schwache Topologie

• Abschnitt zu konvexen Mengen

Alexandroff-Kompaktifizierung

• Verallgemeinerung: Mehrpunkt-Kompaktifizierungen?
• Geschichtlicher Aspekt, z.B. hier oder in Boto S.330.
• T1 ist schonmal ganz gut zu kompaktifizieren, alles andere ist aber nur noch für den Campingplatz zu gebrauchen.
• Kompaktifizierung der rationalen Zahlen
• Minimalität der Alexandroff-Kompaktifizierung in der Kompaktifizierungsklasse eines lokalkompakten Hausdorff-Raumes (Engelking, 3.5.12, p.170)
• Algebraisches Analogon zur Einpunktkompaktifizierung ist anscheinend die Adjunktion einer 1 (Pedersen)
  • Buch von Olsen https://books.google.it/books/about/K_theory_and_C_algebras.html?id=EVOjQgAACAAJ&source=kp_cover&redir_esc=y
  • http://math.stackexchange.com/questions/2084557/why-is-adjoining-a-unit-the-algebraic-counterpart-to-the-one-point-compactificat#2084651
• Alexandroff-Kompaktifizierung kategoriell: http://math.stackexchange.com/questions/187066/understanding-alexandroff-compactification

Zusammenhängender Raum

Eigenschaften

• Bild unter stetiger Funktion
• Äquivalenzrelation (Komponentenklassen)
• Zwischenwerteigenschaft
• Abschluss zusammenhängender Mengen, Produkte
• Vereinigungen nichtdisjunkter Mengen
• Resistenz gegenüber Vergröberung der Topologie
• Zusammenhangskomponenten sind abgeschlossen
• Zusammenhängender Raum besteht aus nur einer Zusammenhangskomponente

Beispiele und Gegenbeispiele

• (Bartsch S.230, Boto S.64)

endliche Durchschnittseigenschaft

auch zentriertes System. Siehe englischsprachiger Artikel und

Vollständig regulärer Raum

• Beispiele überprüfen, besonders Lokalkompakte Räume sind vollständig regulär scheint ohne Zusatzvoraussetzungen nicht ganz zu stimmen. Siehe z.B. Bartsch S.186 (T2-Raum vorausgesetzt).

Initialtopologie

• Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Initialtopologie beweisen. Das erscheint mir falsch, da nach Definition die Initialtopologie das Minimum aller Topologien darstellt bezüglich der alle $f_{i}$ stetig sind, die Verbandseigenschaft dieser Familie von Topologien garantiert jedoch nur die Existenz eines Infimums. S.a. Bartsch S. 94. (Auf der Diskussionsseite vermerkt)

Produkttopologie

Die Boxtopologie wird nicht erwähnt. Siehe Bartsch oder Munkres.

Koabzählbare Topologie

Wurde neu angelegt. Spanische Version könnte ausführlicher sein. Topologia de complementos und topologia cofinita (Artikel doppelt).

Konjugation_(Gruppentheorie)

Normalisator nicht Erwähnt. Konjugation von Untergruppen als Gruppenoperation ansprechen.

Affiner Raum

Leere Menge als affiner Raum? (Siehe auch Bosch)

Saturierte Menge

Noch kein Artikel vorhanden.

Siehe z.B. Bartsch, Munkres, Counterex. Lee (p.548)

Satz von Rolle

Verallgemeinerung für höhere Ableitung anführen:

Ist $g\in C^{n}([a,b])$, also eine $n$-mal auf dem Intervall $(a,b)$ stetig differenzierbare Funktion mit $n+1$ verschiedenen Nullstellen, dann besitzt die $n$-te Ableitung $g^{(n)}$ mindestens eine Nullstelle auf $(a,b)$. Der Beweis dieser Verallgemeinerung folgt durch eine iterative Anwendung des Satzes von Rolle auf $g$ beziehungsweise die höheren Ableitungen $g^{(k)}$, $k\geq 1$. Diese Aussage kommt im Beweis zur Fehlerdarstellung von Interpolationspolynomen zum Einsatz.

Folgenkompaktheit

Auch etwas zur Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft sagen. oder auch Königsberger 2.

Kronecker-Produkt

• Abschnitt zum Zusammenhang mit Matrixprodukten überarbeiten (lexikographische Anordnung der Basisvektoren)
• Historischen Abschnitt umformulieren. Einzelnachweis aus englischem Artikel übernehmen.

Relativ kompakte Teilmenge

• Abschwächung des Begriffs wie im Bartsch erwähnen: $A\subset X$ ist genau dann relativ kompakt (Bartsch), wenn jede offene Überdeckung von $X$ eine endliche Teilüberdeckung von $A$ enthält.

Fréchet-Filter

• Ausführlicher, könnte sich an der englischen Version orientieren

Hadamard-Ungleichung

• Nochmals genauer in nachlesen. Verallgemeinerungen und Spezialfälle auflisten.

Satz über den Einsetzungshomomorphismus

• Z.B. Bosch S.58: Substitutionshomomorphismus. Verallgemeinerung darstellen, statt des Spezialfalls.

Homöomorphismus

• Topologisch motivierte Beispiele (Sierpinski, indiskreter Raum)
• Charakterisierung durch offene und abgeschlossene Abbildungen (muss vielleicht noch verschoben werden)
• Weiterleitungsseite Homöomorphie
• KatTheo, es fehlt der Artikel zur Kategorie Top der topologischen Räume
• Beispiel zur Vollständigkeit nicht richtig Analysiert (Vollst. ist eine Eigenschaft der Metrik, nicht der Topologie)

Initial-σ-Algebra und Final-σ-Algebra

• Bezüge zur Topologie ausarbeiten (Elstrodt S.113)

Infimum und Supremum

• Rechenregeln (z.B. aus Heuser)

Boolescher Primidealsatz

• Der Beweis ist fehlerhaft.

Charakteristik (Algebra)

• Karpfinger 157: Erwähnen, dass die Charakteristik im Fall größer Null mit der Ordnung des neutralen Elementes der Multiplikation in der additiven Gruppe des Rings übereinstimmt.

Schwache Topologie

• Allgemeine Definition über nicht ausgeartete Bilinearformen angeben (Quelle?)

Kuratowskischer Hüllenoperator

• Z.B. Clark und Bartsch, des Weiteren der englischsprachige Artikel

Arens-Fort-Raum

• http://www.jstor.org/stable/3028991?seq=1#page_scan_tab_contents
• Gegebenenfalls noch Quelle zu Fort anführen

Maßerweiterungssatz von Carathéodory

• Zu liberaler Umgang mit dem präzise definierten Begriff des Maßes. Dieses ist nämlich eine auf sigma-Algebren definierte Mengenfunktion.
• Fortsetzungssatz gilt bereits allgemeiner für Inhalte auf Halbringen (nur Messbarkeit nicht Fortsetzungseigenschaft, s.a. Elstrodt)
• Quellen von Frechet und Hahn heraussuchen und verlinken

Satz von Banach-Steinhaus

• Ursprüngliche Quelle heraussuchen (auch von Hahn).

Basis (Topologie)

• Weitere Anwendungen: Dichte Teilmengen und Subbasissatz von Alexander

Abzählbarkeitsaxiom

• Zweitabzählbarkeit und Mannigfaltigkeiten: Zerlegungen der 1

Isolierter Punkt

• Munkres S.176

Ein Punkt $a$ ist also genau dann isoliert, falls $\{a\}$ offen ist.

Ist $X$ ein nichtleerer kompakter Hausdorff-Raum ohne isolierte Punkte, so ist $X$ überabzählbar. Insbesondere lässt sich so zeigen, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind, da bereits jedes abgeschlossene Intervall überabzählbar ist. Ein weiteres Beispiel für einen topologischen Raum ohne isolierte Punkte liefert die Cantor Menge.

Ist andererseits $X$ ein T1-Raum, in dem jeder Punkt isoliert ist, so ist $X$ total unzusammenhängend.

Frobeniusmatrix

• Frobeniusmatrizen kommutieren mit Permutationsmatrizen (zumindest erhält man wieder Matrizen der gleichen Belegung)
• Produkt von Elementarmatrizen
• https://books.google.de/books?id=sTOhlHCZEwwC&pg=PA69&dq=frobenius+matrix&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjrwpqSvdvLAhVmz3IKHf5MCukQ6AEI3QEwIQ#v=onepage&q=frobenius%20matrix&f=false

Determinante

• Mittels LR Zerlegung. Falls eine Pivotisierung verwendet wird, welche zu einer Zerlegung der Form $PA=LR$ führt, so folgt für die Determinante $\det A={\frac {\det R}{\det P}}$.

Jacobi-Matrix

• Differenzierbarkeitskriterium: Eine Abbildung $f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann stetig differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen bzw. die Abbildung $x\to J_{f}(x)$ stetig ist.
• Jacobi-Matrix und Richtungsableitungen: Für die Ableitung von $f$ in Richtung $h$ im Punkt $a$ gilt $\partial _{h}f(a)=J_{f}(a)h$.

Koerzitive Funktion

• Bilinearformen ausführlicher

Literatur

• James R. Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River 2000, ISBN 978-0-13-178449-9. 
• René Bartsch: Allgemeine Topologie. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-040618-4. 
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9. 
• Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Dover, 1995, ISBN 978-0-486-31929-2. 
• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 38, doi:10.1007/978-3-642-39567-3. 
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, S. 104, 112–114, doi:10.1007/978-3-642-40533-4.