Benutzer:Filomusa/Cardano Galoistheorie

Aus dem Artikel über Gerolamo Cardano

Soweit erledigt. Es bleibt die Idee: Siehe ganz unten. Vielleicht gehört sie besser in den Artikel „Cardanische Formeln“.

Derzeitiger Status

Zuerst analysierte er exakt diese Polynomgleichung: $(y+z)^{3}=3yz(y+z)+y^{3}+z^{3}$ Diese Gleichung übertrug Cardano lichtbildartig auf folgende allgemeine Form einer um das quadratische Glied reduzierten kubischen Gleichung: $x^{3}=ax+b$ Durch diese parallele Übertragung der Polynomgleichung auf die kubische Gleichung ermittelte er die Werte der Parameter $y$ und $z$ in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten $a$ und $b$ und ermittelte schließlich die Lösung $x$ von der kubischen Gleichung, indem er einfach die ermittelten Werte von $y$ und $z$ zusammenzählte. Dieses Verfahren soll im Folgenden gezeigt werden: $3yz=a$ $y^{3}+z^{3}=b$ $x=y+z$ Die erste Gleichung wird gedrittelt und dann kubiziert und die zweite wird halbiert und dann quadriert: $y^{3}z^{3}={\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}$ ${\frac {1}{4}}y^{6}+{\frac {1}{4}}z^{6}+{\frac {1}{2}}y^{3}z^{3}={\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}$ Diese beiden Gleichungen werden nun miteinander kombiniert: ${\frac {1}{4}}y^{6}+{\frac {1}{4}}z^{6}-{\frac {1}{2}}y^{3}z^{3}={\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}$ So entsteht die zweite binomische Formel, welche im Anschluss quadratisch radiziert werden kann: ${\frac {1}{2}}y^{3}-{\frac {1}{2}}z^{3}=\pm {\sqrt {{\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}}}$ Aus den drei zu Beginn des Gleichungssystems genannten Gleichungen wird die zweite Gleichung hergenommen und halbiert: ${\frac {1}{2}}y^{3}+{\frac {1}{2}}z^{3}={\frac {b}{2}}$ Das Zusammenzählen und Abziehen der beiden nun genannten Gleichungen führt zu den Kuben der Parameter: $y^{3}={\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}}}$ $z^{3}={\frac {b}{2}}\mp {\sqrt {{\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}}}$ Die kubische Radizierung und die anschließende Addition führen direkt zur Lösung der kubischen Gleichung: $x=y+z$ $x={\sqrt[{3}]{{\frac {b}{2}}+{\sqrt {{\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {b}{2}}-{\sqrt {{\bigl (}{\frac {b}{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}{\frac {a}{3}}{\bigr )}^{3}}}}}$

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Mathematische Leistungen

Cardano machte sowohl zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik als auch zu komplexen Zahlen wichtige Entdeckungen. Im Alter vollendete er Das Buch der Glücksspiele (Liber de Ludo Aleae) (erstmals veröffentlicht in seinen Opera Omnia 1663), das die Grundlagen der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie enthielt, etwa hundert Jahre vor Pascal und Fermat. Er hat sich mit Binomialkoeffizienten beschäftigt und z. B. Summenformeln hierzu angegeben. Er hatte diese Gesetze schon früher gefunden, aber zunächst nur selbst benutzt. Mit seinem Wissen verdiente er beim Glücksspiel das Geld, das er in Zeiten seiner Arbeitslosigkeit, d. h., als die Universität in Pavia sein Gehalt nicht zahlen konnte, zum Unterhalt benötigte.

Er rechnete vermutlich als einer der Ersten mit komplexen Zahlen. Auf sie stieß er beim Versuch, kubische Gleichungen zu lösen. Weiterhin bewies er, dass man mit negativen Zahlen ganz ähnlich wie mit gewöhnlichen Zahlen rechnen kann. Bis dahin war die übliche Lehrmeinung unter Mathematikern, dass alle Zahlen größer als Null sein müssten. (Der griechische Mathematiker Diophant bildet hier nach neuesten Forschungsergebnissen eine Ausnahme.)

im Jahre 1545 erschien sein Buch Ars magna sive de Regulis Algebraicis, in dem er Methoden zur expliziten Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades angab. Er beschrieb darin, dass jede reduzierte kubische Gleichung stets eine quadratische „Resolvente“ (Hilfsgleichung) besitzt und dass die Summe der Kubikwurzeln aus den beiden Lösungen der quadratischen Resolvente eine der drei Lösungen der kubischen Gleichung ergibt. Es gilt dann folgende Regel: Wenn die Lösungen der quadratischen Resolvente reell sind, dann hat die zugehörige kubische Gleichung eine reelle und zwei imaginäre Lösungen. Wenn die quadratischen Resolvente hingegen keine reellen Lösungen besitzt – sondern zwei konjugiert komplexe –, dann hat die zugehörige kubische Gleichung drei reelle Lösungen: Dieser Fall hieß casus irreducibilis, weil es sich als unmöglich erwies, die reellen Lösungen mit Hilfe reeller Wurzelausdrücke darzustellen. Die reduzierte kubische Gleichung besitzt den Leitkoeffizienten Eines und ein verschwindendes quadratisches Glied, mithin die Form $x^{3}+px+q=0$. Die allgemeine kubische Gleichung lässt sich durch eine einfache (lineare) Substitution auf eine reduzierte zurückführen.

Der Vergleich der (binomialen) Polynomgleichung $(u+v)^{3}=3uv(u+v)+u^{3}+v^{3}$ mit einer um das quadratische Glied reduzierten Form der kubischen Gleichung $x^{3}=ax+b$ legt folgende Substitutionen nahe: $a=3uv$     (1a)   $b=u^{3}+v^{3}$     (1b)   $x=u+v$     (2)   Lösungsstrategie: Die beiden Unbekannten ($u,v$) der Gleichungen (1a) und (1b) lassen sich in Abhängigkeit von den beiden Bekannten $a,b$ bestimmen. Gleichung (2) liefert abschließend gesuchte Lösungen für $x$. Dazu wird die erste Gleichung (1a) gedrittelt und anschließend kubiziert, während die zweite (1b) halbiert und anschließend quadriert wird: $\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}=u^{3}v^{3}$     (1a.⅓.3 = :1A)   $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}u^{6}+{\frac {1}{4}}v^{6}+{\frac {1}{2}}u^{3}v^{3}$     (1b.½.2 = :1B)   Subtrahiere (1A) von (1B) und nutze binomische Formel: $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}={\frac {1}{4}}u^{6}+{\frac {1}{4}}v^{6}-{\frac {1}{2}}u^{3}v^{3}=\left({\frac {1}{2}}u^{3}-{\frac {1}{2}}v^{3}\right)^{2}$     (1B-1A)   Quadratische Radizierung liefert $\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}={\frac {1}{2}}u^{3}-{\frac {1}{2}}v^{3}$. Addition zu bzw. Subtraktion von der halbierten Substitutionsgleichung (1b.½) $\textstyle {\frac {b}{2}}={\frac {1}{2}}u^{3}+{\frac {1}{2}}v^{3}$ liefert die Kuben der Parameter $u,v$: ${\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}=u^{3}$ ${\frac {b}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}=v^{3}$ Hierbei bleiben die Auswahlen der beiden Vorzeichen ($\pm$ und $\mp$) gemäß der Substitution (1b) aneinander gekoppelt: Für beide zugleich muss entweder das obere oder das untere gewählt werden, das heißt, $u^{3}$ und $v^{3}$ liegen punktsymmetrisch zueinander um ${\tfrac {b}{2}}$, und die Beschränkung auf das obere Vorzeichen bedeutet keinen Verlust. Kubische Radizierung und anschließende Addition gemäß Substitutionsgleichung (2) führen zur Lösung der kubischen Gleichung: $x=u+v={\sqrt[{3}]{{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {b}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}}}$ Hierbei sind die Auswahlen der kubischen Wurzeln zur Berechnung von $u$ bzw. $v$ durch die Substitutionsgleichung (1a) aneinander gekoppelt, also nicht etwa unabhängig voneinander wählbar. So ergeben sich drei (nicht notwendig voneinander verschiedene) Lösungen.

Cardano schuf sich jedoch mit seiner Veröffentlichung auch einen Feind. Denn schon 1535 hatte der venezianische Mathematiker und Politiker Tartaglia die Lösungen eines Spezialfalls der kubischen Gleichungen, die Scipione del Ferro vor 1530 entdeckt hatte, in öffentlichen Wettkämpfen verwendet, sie aber für sich behalten, da er dieses Wissen nutzte, um gegen Bezahlung entsprechende Probleme zu lösen. Er hatte diesen Lösungsweg jedoch Cardano in verschlüsselter Form mitgeteilt. Cardanos Lösung war aber allgemeiner, sie umfasste alle kubischen Gleichungen (und die Lösungen von Gleichungen 4. Grades, die er selbst seinem Schüler Lodovico Ferrari zuschrieb), vgl. Cardanische Formeln.

Trotzdem wurde er von Tartaglia des Diebstahls und Meineids bezichtigt, denn Cardano hatte geschworen, diese Lösung niemals zu veröffentlichen. An das Versprechen fühlte sich Cardano nicht mehr gebunden, nachdem er von der früheren Lösung del Ferros erfahren hatte. Tartaglia wurde daraufhin von einem Mailänder Gericht zum öffentlichen Widerruf seiner Anschuldigungen verurteilt.

Weitere mathematische Werke Cardanos beschäftigen sich mit Geometrie (Zykloide, siehe auch Cardanische Kreise) und Zahlentheorie.

In seinem 1570 veröffentlichten Werk über Proportionen untersucht er schnelle Bewegungen und gelangte im Zuge dessen zu Erkenntnissen über die Pulsfrequenz, die er mit 4000 Schlägen pro Stunde (also 67 pro Minute) beim Erwachsenen erstmals wissenschaftlich genau publizierte (Für Kinder mit hohem Fieber nahm er einen fünf Mal schnelleren Puls an).

Idee

Gegenüberstellung der Lösungsformeln und der Gruppentheoretischen Erwägungen gemäß Krull (oder vdWaerden). Die Quadratwurzel des Diskriminantenpolynoms $D(X)=\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j})$ und eine Permutation $\pi \in S_{n}$ gilt: $\mathop {sign} \pi \cdot D^{\pi }(X)=D(X)$.

Dabei liegt $d=D(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ im Grundkörper. ${\sqrt {d}}$ löst $X^{2}-d=0$ in $K[{\sqrt {d}}]$. Etc.pp. siehe Krull.

Wesentlich ist dabei Krulls kursiv gesetzter Absatz etwa im § 27, in dem er die Cardano-Formeln gruppentheoretisch beleuchtet.