Eine quartische Gleichung oder polynomiale Gleichung 4. Grades, traditionell auch biquadratische Gleichung genannt, hat die Form
A
x
4
+
B
x
3
+
C
x
2
+
D
x
+
E
=
0
{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0}
mit Koeffizienten
A
,
B
,
C
,
D
,
E
{\displaystyle A,B,C,D,E}
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
Körper
K
{\displaystyle K}
Charakteristik
0
{\displaystyle 0}
x
{\displaystyle x}
K
{\displaystyle K}
Im Folgenden werden als Körper nur die reellen oder die komplexen Zahlen betrachtet.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich die Gleichung bis auf die Reihenfolge eindeutig in die Form
A
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
(
x
−
x
4
)
=
0
{\displaystyle A(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0}
bringen, wobei
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
x
4
{\displaystyle x_{4}}
Ist
B
=
0
{\displaystyle B=0}
D
=
0
{\displaystyle D=0}
Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Heutzutage, insbesondere in der Schulmathematik, ist es üblich, nur diese Spezialform biquadratische Gleichung zu nennen,[ 1] Biquadrat traditionell eine allgemeinere Bedeutung hat.
Die erste geschlossene Lösung der quartischen Gleichung fand der italienische Mathematiker Lodovico Ferrari (1522–1565). Diese Lösung veröffentlichte sein Lehrer Gerolamo Cardano 1545 in dem Werk Ars magna de Regulis Algebraicis. Eine weitere Lösungsmethode mit unterschiedlichem Ansatz wurde von Leonhard Euler 1738 in Sankt Petersburg publiziert, in dem Bestreben, eine allgemeine Lösungsformel auch für Gleichungen höherer Grade zu finden. Dass dies unmöglich ist, wurde von Niels Henrik Abel 1824 bewiesen (Satz von Abel-Ruffini ).
Allgemeine Lösungsformel für die Gleichung
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle x^{4}\!\!+\!ax^{3}\!\!+\!bx^{2}\!\!+\!cx\!+\!d\!=\!0}
Da die allgemeine Lösungsformel unübersichtlich ist, wird die allgemeine Gleichung schrittweise in speziellere, äquivalente Formen überführt. Die dabei vorgenommenen Transformationen der Variablen müssen am Ende an den Lösungen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht werden.
Voraussetzung: Gegeben sei eine quartische Gleichung
A
x
4
+
B
x
3
+
C
x
2
+
D
x
+
E
=
0
{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0}
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
x
∈
C
{\displaystyle A,B,C,D,E,x\in \mathbb {C} }
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
Aussage: Dann kann man ihre Lösungen auf algebraische Weise wie folgt angeben:[ 2]
Zunächst wird die Gleichung mit der Substitution
x
=
u
−
B
4
A
{\displaystyle x=u-{\frac {B}{4A}}}
dahingehend vereinfacht, dass der kubische Koeffizient
B
{\displaystyle B}
Tschirnhaus-Transformation ) und gleichzeitig der führende Koeffizient durch Division der gesamten Gleichung durch
A
{\displaystyle A}
1
{\displaystyle 1}
Mit den Festlegungen
α
=
−
3
B
2
8
A
2
+
C
A
β
=
B
3
8
A
3
−
B
C
2
A
2
+
D
A
γ
=
−
3
B
4
256
A
4
+
B
2
C
16
A
3
−
B
D
4
A
2
+
E
A
{\displaystyle {\begin{array}{rl}\alpha &=-{\dfrac {3B^{2}}{8A^{2}}}+{\dfrac {C}{A}}\\[1em]\beta &={\dfrac {B^{3}}{8A^{3}}}-{\dfrac {B\,C}{2A^{2}}}+{\dfrac {D}{A}}\\[1em]\gamma &=-{\dfrac {3B^{4}}{256A^{4}}}+{\dfrac {B^{2}\,C}{16A^{3}}}-{\dfrac {B\,D}{4A^{2}}}+{\dfrac {E}{A}}\end{array}}}
reduziert sich die Gleichung zu
u
4
+
α
u
2
+
β
u
+
γ
=
0
{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0}
Am Ende der Rechnung werden die Nullstellen des Ausgangspolynoms als
x
1
,
2
,
3
,
4
=
u
1
,
2
,
3
,
4
−
B
4
A
{\displaystyle x_{1,2,3,4}=u_{1,2,3,4}-{\tfrac {B}{4A}}}
Ist
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
biquadratischen Gleichung
u
4
+
α
u
2
+
γ
=
0
{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0}
und kann die Nullstellen als Quadratwurzeln in beiden Vorzeichenvarianten aus den Lösungen der durch die Substitution
u
2
=
m
{\displaystyle u^{2}=m}
m
2
+
α
m
+
γ
=
0
{\displaystyle m^{2}+\alpha m+\gamma =0}
bestimmen.
Sind die Koeffizienten reell und
γ
>
α
2
4
≥
0
{\displaystyle \gamma >{\tfrac {\alpha ^{2}}{4}}\geq 0}
m
{\displaystyle m}
u
4
+
α
u
2
+
γ
=
[
(
u
2
+
γ
)
2
]
−
[
(
2
γ
−
α
)
u
2
]
=
(
[
u
2
+
γ
]
+
[
2
γ
−
α
u
]
)
⋅
(
[
u
2
+
γ
]
−
[
2
γ
−
α
u
]
)
=
(
u
2
+
2
γ
−
α
⋅
u
+
γ
)
⋅
(
u
2
−
2
γ
−
α
⋅
u
+
γ
)
{\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[(u^{2}+{\sqrt {\gamma }})^{2}\right]-\left[(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha )\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\;\cdot \;\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\\&=\left(u^{2}+{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\;\cdot \;\left(u^{2}-{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\end{array}}}
Für jeden Faktor können jetzt wieder einzeln die Nullstellen bestimmt werden:
u
1
=
−
2
γ
−
α
2
+
2
γ
−
α
4
−
γ
{\displaystyle u_{1}=-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}+{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}
u
2
=
−
2
γ
−
α
2
−
2
γ
−
α
4
−
γ
{\displaystyle u_{2}=-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}-{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}
u
3
=
2
γ
−
α
2
+
2
γ
−
α
4
−
γ
{\displaystyle u_{3}={\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}+{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}
u
4
=
2
γ
−
α
2
−
2
γ
−
α
4
−
γ
{\displaystyle u_{4}={\frac {\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}{2}}-{\sqrt {{\frac {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }{4}}-{\sqrt {\gamma }}}}}
Ist
β
≠
0
{\displaystyle \beta \neq 0}
w
,
y
,
z
{\displaystyle w,y,z}
u
4
+
α
u
2
+
β
u
+
γ
=
(
u
2
+
α
+
y
)
2
−
(
w
u
−
z
)
2
=
(
u
2
+
w
u
−
z
+
α
+
y
)
(
u
2
−
w
u
+
z
+
α
+
y
)
{\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma &=(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(w\,u-z)^{2}\\&=(u^{2}+w\,u-z+\alpha +y)\,(u^{2}-w\,u+z+\alpha +y)\end{array}}}
Durch Vergleich mit
u
4
+
α
u
2
+
β
u
+
γ
=
(
u
2
+
α
+
y
)
2
−
[
(
α
+
2
y
)
u
2
−
β
u
+
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
]
{\displaystyle u^{4}+\alpha \,u^{2}+\beta \,u+\gamma =(u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}
ergeben sich
w
2
=
α
+
2
y
{\displaystyle w^{2}=\alpha +2y}
z
2
=
(
α
+
y
)
2
−
γ
{\displaystyle z^{2}=(\alpha +y)^{2}-\gamma }
β
=
2
w
z
{\displaystyle \beta =2wz}
Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in
u
{\displaystyle u}
Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden:
0
=
4
w
2
z
2
−
β
2
=
4
(
α
+
2
y
)
(
(
α
+
y
)
2
−
γ
)
−
β
2
{\displaystyle 0=4w^{2}z^{2}-\beta ^{2}=4\,(\alpha +2y)\,((\alpha +y)^{2}-\gamma )-\beta ^{2}}
0
=
y
3
+
5
2
α
y
2
+
(
2
α
2
−
γ
)
y
+
1
2
α
(
α
2
−
γ
)
−
1
8
β
2
{\displaystyle 0=y^{3}+{\tfrac {5}{2}}\alpha \,y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\,y+{\tfrac {1}{2}}\alpha (\alpha ^{2}-\gamma )-{\tfrac {1}{8}}\beta ^{2}}
Dies ist eine kubische Gleichung in
y
{\displaystyle y}
Aus einer der Lösungen für
y
{\displaystyle y}
quadratische Gleichungen in
u
{\displaystyle u}
u
{\displaystyle u}
x
{\displaystyle x}
Insgesamt werden folgende Rechenschritte durchgeführt:
P
=
−
α
2
12
−
γ
{\displaystyle P=-{\frac {\alpha ^{2}}{12}}-\gamma }
Q
=
−
α
3
108
+
α
γ
3
−
β
2
8
{\displaystyle Q=-{\frac {\alpha ^{3}}{108}}+{\frac {\alpha \gamma }{3}}-{\frac {\beta ^{2}}{8}}}
y
=
−
5
6
α
+
{
−
Q
3
falls
P
=
0
U
−
P
3
U
falls
P
≠
0
{\displaystyle y=-{\frac {5}{6}}\alpha +{\begin{cases}-{\sqrt[{3}]{Q}}&{\text{ falls }}P=0\\U-{\frac {P}{3U}}&{\text{ falls }}P\neq 0\end{cases}}}
U
=
−
Q
2
+
Q
2
4
+
P
3
27
3
{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}+{\sqrt {{\frac {Q^{2}}{4}}+{\frac {P^{3}}{27}}}}}}}
w
=
α
+
2
y
{\displaystyle w={\sqrt {\alpha +2y}}}
z
=
β
2
w
{\displaystyle z={\frac {\beta }{2w}}}
Nun können die Nullstellen wie folgt berechnet werden:
u
1
,
2
,
3
,
4
=
1
2
[
s
⋅
w
+
r
w
2
−
4
(
α
+
y
+
s
z
)
]
{\displaystyle u_{1,2,3,4}={\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {w^{2}-4\left(\alpha +y+s\,z\right)}}\right]}
und in der Variablen der ursprünglichen Gleichung
x
1
,
2
,
3
,
4
=
−
B
4
A
+
1
2
[
s
⋅
w
+
r
−
(
α
+
2
y
)
−
2
(
α
+
s
β
w
)
]
{\displaystyle x_{1,2,3,4}=-{\frac {B}{4A}}+{\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {-(\alpha +2y)-2\left(\alpha +s\,{\tfrac {\beta }{w}}\right)}}\right]}
Die Parameter
r
,
s
∈
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle r,s\in \{-1,1\}}
Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
Hier wird die Zerlegung in ein Produkt mit zwei quadratischen Faktoren
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
(
x
2
+
p
x
+
q
)
⋅
(
x
2
+
s
x
+
t
)
{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\left(x^{2}+px+q\right)\cdot \left(x^{2}+sx+t\right)}
zurückgeführt auf die Lösung
u
{\displaystyle u}
u
3
−
2
b
u
2
+
(
a
c
+
b
2
−
4
d
)
u
+
c
2
−
a
b
c
+
a
2
d
=
0
{\displaystyle u^{3}-2bu^{2}+\left(ac+b^{2}-4d\right)u+c^{2}-abc+a^{2}d=0}
[ 3] (Bei reellen Koeffizienten
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
d
{\displaystyle d}
u
{\displaystyle u}
4
u
≤
a
2
{\displaystyle 4u\leq a^{2}}
Mit einer Lösung
u
{\displaystyle u}
p
=
a
+
a
2
−
4
u
2
{\displaystyle p={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-4u}}}{2}}}
p
=
a
2
{\displaystyle p={\tfrac {a}{2}}}
q
=
(
b
−
u
)
(
a
2
−
4
u
+
a
)
−
2
c
2
a
2
−
4
u
{\displaystyle q={\frac {(b-u)\left({\sqrt {a^{2}-4u}}+a\right)-2c}{2{\sqrt {a^{2}-4u}}}}}
s
=
a
−
a
2
−
4
u
2
{\displaystyle s={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-4u}}}{2}}}
t
=
(
b
−
u
)
(
a
2
−
4
u
−
a
)
+
2
c
2
a
2
−
4
u
{\displaystyle t={\frac {(b-u)\left({\sqrt {a^{2}-4u}}-a\right)+2c}{2{\sqrt {a^{2}-4u}}}}}
[ 4] Im Sonderfall
4
a
b
−
a
3
=
8
c
{\displaystyle 4ab-a^{3}=8c}
[ 5] [ 6]
p
=
a
2
{\displaystyle p={\frac {a}{2}}}
q
=
c
a
+
c
2
a
2
−
d
{\displaystyle q={\frac {c}{a}}+{\sqrt {{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-d}}}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
x
4
+
b
x
2
+
d
=
0
{\displaystyle x^{4}+bx^{2}+d=0}
[ 7]
s
=
a
2
{\displaystyle s={\frac {a}{2}}}
t
=
c
a
−
c
2
a
2
−
d
{\displaystyle t={\frac {c}{a}}-{\sqrt {{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-d}}}
Beispiel 1: Von
x
4
−
x
3
−
x
2
+
4
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}+4x-2=0}
u
3
+
2
u
2
+
5
u
+
10
=
0
{\displaystyle u^{3}+2u^{2}+5u+10=0}
Eine Lösung ist
u
=
−
2
{\displaystyle u=-2}
x
4
−
x
3
−
x
2
+
4
x
−
2
=
(
x
2
+
x
−
1
)
(
x
2
−
2
x
+
2
)
{\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}+4x-2=\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-2x+2\right)}
Beispiel 2: Von
x
4
−
3
x
3
−
8
x
−
6
=
0
{\displaystyle x^{4}-3x^{3}-8x-6=0}
u
3
+
10
=
0
{\displaystyle u^{3}+10=0}
Eine Lösung ist
u
=
−
10
3
{\displaystyle u=-{\sqrt[{3}]{10}}}
x
4
−
3
x
3
−
8
x
−
6
=
(
x
2
+
p
x
+
q
)
(
x
2
+
s
x
+
t
)
{\displaystyle x^{4}-3x^{3}-8x-6=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+sx+t\right)}
p
=
3
+
9
+
4
10
3
2
≈
3,598
674508
{\displaystyle p={\frac {3+{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}{2}}\approx 3{,}598674508}
q
=
9
+
4
10
3
10
3
+
16
+
3
10
3
2
9
+
4
10
3
≈
3,753
109199
{\displaystyle q={\frac {{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}{\sqrt[{3}]{10}}+16+3{\sqrt[{3}]{10}}}{2{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}}\approx 3{,}753109199}
s
=
3
−
9
+
4
10
3
2
≈
−
0,598
674508
{\displaystyle s={\frac {3-{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}{2}}\approx -0{,}598674508}
t
=
9
+
4
10
3
10
3
−
16
−
3
10
3
2
9
+
4
10
3
≈
−
1,598
674508
{\displaystyle t={\frac {{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}{\sqrt[{3}]{10}}-16-3{\sqrt[{3}]{10}}}{2{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}}\approx -1{,}598674508}
Beispiel 3:
x
4
+
4
x
3
−
11
x
2
−
30
x
+
50
=
(
x
2
+
2
x
−
5
)
(
x
2
+
2
x
−
10
)
{\displaystyle x^{4}+4x^{3}-11x^{2}-30x+50=\left(x^{2}+2x-5\right)\left(x^{2}+2x-10\right)}
Hier ist
a
=
4
,
b
=
−
11
,
c
=
−
30
{\displaystyle a=4,b=-11,c=-30}
d
=
50
{\displaystyle d=50}
4
a
b
−
a
3
=
8
c
{\displaystyle 4ab-a^{3}=8c}
Beispiel 4:
x
4
+
x
2
+
4
=
(
x
2
−
3
x
+
2
)
(
x
2
+
3
x
+
2
)
{\displaystyle x^{4}+x^{2}+4=\left(x^{2}-{\sqrt {3}}x+2\right)\left(x^{2}+{\sqrt {3}}x+2\right)}
Hier errechnen sich die Werte
p
=
−
(
x
1
+
x
2
)
,
q
=
x
1
x
2
,
s
=
−
(
x
3
+
x
4
)
{\displaystyle p=-(x_{1}+x_{2}),\,q=x_{1}x_{2},\,s=-(x_{3}+x_{4})}
t
=
x
3
x
4
{\displaystyle t=x_{3}x_{4}}
x
1
=
1
2
−
2
+
2
i
15
=
1
2
3
+
1
2
5
i
{\displaystyle x_{1}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {-2+2\mathrm {i} {\sqrt {15}}}}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}\mathrm {i} }
x
2
=
1
2
−
2
−
2
i
15
=
1
2
3
−
1
2
5
i
{\displaystyle x_{2}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {-2-2\mathrm {i} {\sqrt {15}}}}=\ \ \ {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}\mathrm {i} }
x
3
=
−
1
2
−
2
−
2
i
15
=
−
1
2
3
+
1
2
5
i
{\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-2-2\mathrm {i} {\sqrt {15}}}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}\mathrm {i} }
x
4
=
−
1
2
−
2
+
2
i
15
=
−
1
2
3
−
1
2
5
i
{\displaystyle x_{4}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-2+2\mathrm {i} {\sqrt {15}}}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}\mathrm {i} }
Bei rein biquadratischen Gleichungen ohne ungerade Exponenten kommt man besser mit den obigen Gleichungen weiter.
u
4
+
α
u
2
+
γ
=
[
(
u
2
+
γ
)
2
]
−
[
(
2
γ
−
α
)
u
2
]
=
(
[
u
2
+
γ
]
+
[
2
γ
−
α
u
]
)
⋅
(
[
u
2
+
γ
]
−
[
2
γ
−
α
u
]
)
{\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[\left(u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right)^{2}\right]-\left[\left(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha \right)\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\,\cdot \,\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\end{array}}}
Für
u
4
+
u
2
+
γ
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+\gamma }
γ
{\displaystyle \gamma }
u
4
+
u
2
+
1
=
(
u
2
+
u
+
1
)
(
u
2
−
u
+
1
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+1=\left(u^{2}+u+1\right)\left(u^{2}-u+1\right)}
u
4
+
u
2
+
4
=
(
u
2
+
3
u
+
2
)
(
u
2
−
3
u
+
2
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+4=\left(u^{2}+{\sqrt {3}}u+2\right)\left(u^{2}-{\sqrt {3}}u+2\right)}
u
4
+
u
2
+
9
=
(
u
2
+
5
u
+
3
)
(
u
2
−
5
u
+
3
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+9=\left(u^{2}+{\sqrt {5}}u+3\right)\left(u^{2}-{\sqrt {5}}u+3\right)}
u
4
+
u
2
+
16
=
(
u
2
+
7
u
+
4
)
(
u
2
−
7
u
+
4
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+16=\left(u^{2}+{\sqrt {7}}u+4\right)\left(u^{2}-{\sqrt {7}}u+4\right)}
und schließlich die gar nicht gewöhnlichen Zerlegungen mit nur ganzzahligen Koeffizienten
u
4
+
u
2
+
25
=
(
u
2
+
3
u
+
5
)
(
u
2
−
3
u
+
5
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+25=\left(u^{2}+3u+5\right)\left(u^{2}-3u+5\right)}
u
4
+
u
2
+
169
=
(
u
2
+
5
u
+
13
)
(
u
2
−
5
u
+
13
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+169=\left(u^{2}+5u+13\right)\left(u^{2}-5u+13\right)}
Hier bildet
(
2
γ
−
1
,
γ
−
1
,
γ
)
{\displaystyle ({\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-1}},\,{\sqrt {\gamma }}-1,\,{\sqrt {\gamma }})}
pythagoreisches Tripel , wobei
γ
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\gamma }}-1}
u
4
+
u
2
+
625
=
(
u
2
+
7
u
+
25
)
(
u
2
−
7
u
+
25
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+625=\left(u^{2}+7u+25\right)\left(u^{2}-7u+25\right)}
u
4
+
u
2
+
1681
=
(
u
2
+
9
u
+
41
)
(
u
2
−
9
u
+
41
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+1681=\left(u^{2}+9u+41\right)\left(u^{2}-9u+41\right)}
u
4
+
u
2
+
3721
=
(
u
2
+
11
u
+
61
)
(
u
2
−
11
u
+
61
)
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+3721=\left(u^{2}+11u+61\right)\left(u^{2}-11u+61\right)}
Wegen der Zerlegung von
u
4
+
u
2
+
1
{\displaystyle u^{4}+u^{2}+1}
(
1
,
0
,
1
)
{\displaystyle (1,0,1)}
Diese in der Schulmathematik häufigste Art von quartischen Gleichungen lässt sich durch Substitution relativ einfach auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Dazu substituiert man mit
x
2
=
z
{\displaystyle x^{2}=z}
A
z
2
+
C
z
+
E
=
0
{\displaystyle Az^{2}+Cz+E=0}
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
x
1
,
2
2
=
z
1
{\displaystyle x_{1,2}^{2}=z_{1}}
x
3
,
4
2
=
z
2
{\displaystyle x_{3,4}^{2}=z_{2}}
Diese rein quadratischen Gleichungen haben je zwei Lösungen:
x
1
,
2
=
±
z
1
{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}}
x
3
,
4
=
±
z
2
{\displaystyle x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}}
In diesem Fall ist
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
x
−
x
1
{\displaystyle x-x_{1}}
x
−
0
=
x
{\displaystyle x-0=x}
x
(
A
x
3
+
B
x
2
+
C
x
+
D
)
=
0
{\displaystyle x\,\left(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D\right)=0}
Die Lösungen der quartischen Gleichung sind dann
0
{\displaystyle 0}
kubischen Gleichung
A
x
3
+
B
x
2
+
C
x
+
D
=
0
{\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}
Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich Fallunterscheidungen für die möglichen Lösungen angeben. Dies beruht auf folgender Tatsache: Ist die nicht-reelle Zahl
a
+
b
i
{\displaystyle a+b\mathrm {i} }
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
konjugiert komplexe Zahl
a
−
b
i
{\displaystyle a-b\mathrm {i} }
Beweis ). Bei der Zerlegung des zugehörigen Polynoms ergibt das Produkt der beiden Faktoren
(
x
−
(
a
+
b
i
)
)
(
x
−
(
a
−
b
i
)
)
{\displaystyle (x-(a+b\mathrm {i} ))(x-(a-b\mathrm {i} ))}
ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten, nämlich
x
2
−
2
a
x
+
a
2
+
b
2
{\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}
Die Gleichung hat vier reelle Lösungen. Sie zerfällt in vier Linearfaktoren mit reellen Koeffizienten.
Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen. Sie zerfällt in zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten.
Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen. Sie zerfällt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten. Unter den Lösungen können einfache Lösungen oder solche mit einer Vielfachheit
2
,
3
{\displaystyle 2,3}
4
{\displaystyle 4}
Erläuterung ).
Im Einzelnen gibt es diese Möglichkeiten:
eine Lösung mit Vielfachheit
4
{\displaystyle 4}
Beispiel:
2
x
4
+
8
x
3
+
12
x
2
+
8
x
+
2
=
0
{\displaystyle 2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2=0}
2
(
x
+
1
)
4
=
0
{\displaystyle 2(x+1)^{4}=0}
hat die vierfache Lösung
x
1
,
2
,
3
,
4
=
−
1
{\displaystyle x_{1,2,3,4}=-1}
eine Lösung mit Vielfachheit
3
{\displaystyle 3}
Beispiel:
1
2
x
4
−
3
x
3
+
6
x
2
−
4
x
=
0
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-4x=0}
1
2
(
x
−
2
)
3
x
=
0
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-2)^{3}\,x=0}
hat die dreifache Lösung
x
1
,
2
,
3
=
2
{\displaystyle x_{1,2,3}=2}
x
4
=
0
{\displaystyle x_{4}=0}
zwei Lösungen, jeweils mit Vielfachheit
2
{\displaystyle 2}
Beispiel:
x
4
+
2
x
3
−
11
x
2
−
12
x
+
36
=
0
{\displaystyle x^{4}+2x^{3}-11x^{2}-12x+36=0}
(
x
−
2
)
2
(
x
+
3
)
2
=
0
{\displaystyle (x-2)^{2}(x+3)^{2}=0}
hat die zweifache Lösung
x
1
,
2
=
2
{\displaystyle x_{1,2}=2}
x
3
,
4
=
−
3
{\displaystyle x_{3,4}=-3}
eine Lösung mit Vielfachheit
2
{\displaystyle 2}
Beispiel:
5
x
4
−
15
2
x
3
−
45
2
x
2
−
5
2
x
+
15
2
=
0
{\displaystyle 5x^{4}-{\tfrac {15}{2}}x^{3}-{\tfrac {45}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+{\tfrac {15}{2}}=0}
5
(
x
+
1
)
2
(
x
−
3
)
(
x
−
1
2
)
=
0
{\displaystyle 5(x+1)^{2}(x-3)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)=0}
hat die zweifache Lösung
x
1
,
2
=
−
1
{\displaystyle x_{1,2}=-1}
x
3
=
3
,
x
4
=
1
2
{\displaystyle x_{3}=3,\,x_{4}={\tfrac {1}{2}}}
Beispiel:
x
4
+
x
3
−
4
x
2
−
4
x
=
0
{\displaystyle x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x=0}
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
x
=
0
{\displaystyle (x-2)(x+1)(x+2)x=0}
hat die einfachen Lösungen
x
1
=
2
,
x
2
=
−
1
,
x
3
=
−
2
,
x
4
=
0
{\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1,x_{3}=-2,x_{4}=0}
Auch hier kann die reelle Lösung mit Vielfachheit
2
{\displaystyle 2}
eine reelle Lösung mit Vielfachheit
2
{\displaystyle 2}
Beispiel:
x
4
−
4
x
3
+
7
x
2
−
6
x
+
2
=
0
{\displaystyle x^{4}-4x^{3}+7x^{2}-6x+2=0}
(
x
−
1
)
2
(
x
−
(
1
+
i
)
)
(
x
−
(
1
−
i
)
)
=
0
{\displaystyle (x-1)^{2}(x-(1+\mathrm {i} ))(x-(1-\mathrm {i} ))=0}
oder mit reellem quadratischem Faktor
(
x
−
1
)
2
(
x
2
−
2
x
+
2
)
=
0
{\displaystyle (x-1)^{2}\left(x^{2}-2x+2\right)=0}
hat die zweifache Lösung
x
1
,
2
=
1
{\displaystyle x_{1,2}=1}
x
3
=
1
+
i
,
x
4
=
1
−
i
{\displaystyle x_{3}=1+\mathrm {i} ,x_{4}=1-\mathrm {i} }
zwei einfache reelle Lösungen und zwei konjugiert komplexe Lösungen Beispiel:
−
x
4
+
3
x
3
−
2
x
2
−
16
x
+
16
=
0
{\displaystyle -x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-16x+16=0}
−
(
x
−
1
)
(
x
+
2
)
(
x
−
(
2
+
2
i
)
)
(
x
−
(
2
−
2
i
)
)
=
0
{\displaystyle -(x-1)(x+2)(x-(2+2\mathrm {i} ))(x-(2-2\mathrm {i} ))=0}
oder mit reellem quadratischem Faktor
−
(
x
−
1
)
(
x
+
2
)
(
x
2
−
4
x
+
8
)
=
0
{\displaystyle -(x-1)(x+2)\left(x^{2}-4x+8\right)=0}
hat die einfachen Lösungen
x
1
=
1
,
x
2
=
−
2
{\displaystyle x_{1}=1,\,x_{2}=-2}
x
3
=
2
+
2
i
,
x
4
=
2
−
2
i
{\displaystyle x_{3}=2+2\mathrm {i} ,\,x_{4}=2-2\mathrm {i} }
Hier gibt es diese beiden Möglichkeiten:
zwei konjugiert komplexe Lösungen mit Vielfachheit
2
{\displaystyle 2}
Beispiel:
x
4
−
4
x
3
+
14
x
2
−
20
x
+
25
=
0
{\displaystyle x^{4}-4x^{3}+14x^{2}-20x+25=0}
(
x
−
(
1
+
2
i
)
)
2
(
x
−
(
1
−
2
i
)
)
2
=
0
{\displaystyle (x-(1+2\mathrm {i} ))^{2}(x-(1-2\mathrm {i} ))^{2}=0}
oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren
(
x
2
−
2
x
+
5
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
=
0
{\displaystyle \left(x^{2}-2x+5\right)\left(x^{2}-2x+5\right)=0}
hat die zweifachen konjugiert komplexen Lösungen
x
1
,
2
=
1
+
2
i
,
x
3
,
4
=
1
−
2
i
{\displaystyle x_{1,2}=1+2\mathrm {i} ,\,x_{3,4}=1-2\mathrm {i} }
zwei Paare einfacher konjugiert komplexer Lösungen Beispiel:
x
4
−
4
x
3
+
21
4
x
2
−
4
x
+
17
4
=
0
{\displaystyle x^{4}-4x^{3}+{\tfrac {21}{4}}x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}=0}
(
x
−
i
)
(
x
+
i
)
(
x
−
(
2
−
1
2
i
)
)
(
x
−
(
2
+
1
2
i
)
)
=
0
{\displaystyle (x-\mathrm {i} )(x+\mathrm {i} )\left(x-\left(2-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} \right)\right)\left(x-\left(2+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} \right)\right)=0}
oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren
(
x
2
+
1
)
(
x
2
−
4
x
+
17
4
)
=
0
{\displaystyle \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-4x+{\tfrac {17}{4}}\right)=0}
hat die konjugiert komplexen Lösungen
x
1
=
i
,
x
2
=
−
i
{\displaystyle x_{1}=\mathrm {i} ,\,x_{2}=-\mathrm {i} }
x
3
=
2
−
1
2
i
,
x
4
=
2
+
1
2
i
{\displaystyle x_{3}=2-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} ,\,x_{4}=2+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} }
Für den Fall reeller Koeffizienten kann man die Gleichung wie folgt lösen.[ 1]
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}
mit reellen Koeffizienten
a
,
b
,
c
,
d
,
e
{\displaystyle a,b,c,d,e}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
y
=
x
+
b
4
a
{\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}
überführt man diese in die reduzierte Gleichung
y
4
+
p
y
2
+
q
y
+
r
=
0
{\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}
mit reellen Koeffizienten
p
,
q
{\displaystyle p,q}
r
{\displaystyle r}
q
=
0
{\displaystyle q=0}
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0}
Resolvente
z
3
+
2
p
z
2
+
(
p
2
−
4
r
)
z
−
q
2
=
0
{\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0}
Die Lösungen der Gleichung vierten Grades hängen folgendermaßen mit den Lösungen der kubischen Resolvente zusammen:
Kubische Resolvente
Gleichung vierten Grades
sämtliche Lösungen reell und positiv
vier reelle Lösungen
sämtliche Lösungen reell, eine positiv und zwei negativ
zwei Paare von zueinander komplex konjugierten Lösungen
eine positive reelle Lösung und zwei komplexe, zueinander konjugierte Lösungen
zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen
Die Lösungen der kubischen Resolvente seien
z
1
,
z
2
,
z
3
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
j
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle j\in \{1,2,3\}}
z
j
{\displaystyle {\sqrt {z_{j}}}}
z
j
{\displaystyle z_{j}}
y
1
=
σ
1
2
(
z
1
+
z
2
−
z
3
)
y
2
=
σ
1
2
(
z
1
−
z
2
+
z
3
)
y
3
=
σ
1
2
(
−
z
1
+
z
2
+
z
3
)
y
4
=
σ
1
2
(
−
z
1
−
z
2
−
z
3
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}}
wobei
σ
∈
{
−
1
,
+
1
}
{\displaystyle \sigma \in \{-1,+1\}}
σ
z
1
z
2
z
3
=
q
{\displaystyle \sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}=q}
Durch die Rücksubstitution
x
i
=
y
i
−
b
4
a
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle x_{i}=y_{i}-{\frac {b}{4a}},\,i=1,2,3,4}
erhält man die Lösungen der ursprünglichen Gleichung vierten Grades.
↑ a b Bronstein, Semendjajev: Taschenbuch der Mathematik. 22. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun 1985, ISBN 3-87144-492-8 .
↑ Frei nach Ferrari. ↑ Quelle: Lösungsformel von Joachim Mohr.
↑ Implementierbar alsw = sqrt(a^2 - 4 * u)p = (a + w)/2q = ((b - u) * (w + a) - 2 * c)/(2 * w)s = (a - w)/2t = ((b - u) * (w - a) + 2 * c)/(2 * w)
↑ Quelle: kilchb.de .
↑ In diesem Fall ist das Schaubild der Parabel vierten Grades
y
=
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
x
=
−
a
4
{\displaystyle x=-{\frac {a}{4}}}
x
=
u
−
a
4
{\displaystyle x=u-{\frac {a}{4}}}
u
4
+
b
u
2
+
d
=
0
{\displaystyle u^{4}+bu^{2}+d=0}
↑ kilchb.de .
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\alpha &=-{\dfrac {3B^{2}}{8A^{2}}}+{\dfrac {C}{A}}\\[1em]\beta &={\dfrac {B^{3}}{8A^{3}}}-{\dfrac {B\,C}{2A^{2}}}+{\dfrac {D}{A}}\\[1em]\gamma &=-{\dfrac {3B^{4}}{256A^{4}}}+{\dfrac {B^{2}\,C}{16A^{3}}}-{\dfrac {B\,D}{4A^{2}}}+{\dfrac {E}{A}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1533f1de737803d01f9d287bc703773281fcaf2)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[(u^{2}+{\sqrt {\gamma }})^{2}\right]-\left[(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha )\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\;\cdot \;\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\\&=\left(u^{2}+{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\;\cdot \;\left(u^{2}-{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\cdot u+{\sqrt {\gamma }}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79105d696c0778f807a75429b8993aa22132c05)
![{\displaystyle u^{4}+\alpha \,u^{2}+\beta \,u+\gamma =(u^{2}+\alpha +y)^{2}-[(\alpha +2y)\,u^{2}-\beta \,u+((\alpha +y)^{2}-\gamma )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7b26c7fb1acec988f5b017ce925cd7c58047b3)
![{\displaystyle y=-{\frac {5}{6}}\alpha +{\begin{cases}-{\sqrt[{3}]{Q}}&{\text{ falls }}P=0\\U-{\frac {P}{3U}}&{\text{ falls }}P\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1fe84f94ce3d4f2eb1e27f2919c586f9009fc8)
![{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}+{\sqrt {{\frac {Q^{2}}{4}}+{\frac {P^{3}}{27}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f06d0f57855690903ed72b47931ed47537e20d3)
![{\displaystyle u_{1,2,3,4}={\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {w^{2}-4\left(\alpha +y+s\,z\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c14378913e21f221347b02ee2cb4afcd374b25e)
![{\displaystyle x_{1,2,3,4}=-{\frac {B}{4A}}+{\frac {1}{2}}\left[s\cdot w+r{\sqrt {-(\alpha +2y)-2\left(\alpha +s\,{\tfrac {\beta }{w}}\right)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b9c2b06db6160c1c29125d4f6515af4f5c8730)
![{\displaystyle u=-{\sqrt[{3}]{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa0745cdf90cc6f5a1b743e4326e9047e81cf18)
![{\displaystyle p={\frac {3+{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}{2}}\approx 3{,}598674508}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7f046ea2f7da6ab25bb3a8256b37dd66dd8c5c)
![{\displaystyle q={\frac {{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}{\sqrt[{3}]{10}}+16+3{\sqrt[{3}]{10}}}{2{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}}\approx 3{,}753109199}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687cad02432563d137e179ba487b5dbfb859b44b)
![{\displaystyle s={\frac {3-{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}{2}}\approx -0{,}598674508}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da899794fbfe3026e9508e198a76b6700d08c71f)
![{\displaystyle t={\frac {{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}{\sqrt[{3}]{10}}-16-3{\sqrt[{3}]{10}}}{2{\sqrt {9+4{\sqrt[{3}]{10}}}}}}\approx -1{,}598674508}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cea2d39630110952a720ed049b34125cd9ed438)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma &=\left[\left(u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right)^{2}\right]-\left[\left(2{\sqrt {\gamma }}-\alpha \right)\,u^{2}\right]\\&=\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]+\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\,\cdot \,\left(\left[u^{2}+{\sqrt {\gamma }}\right]-\left[{\sqrt {2{\sqrt {\gamma }}-\alpha }}\,u\right]\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc6027d1b23dbbd629d932eeec81bcc48ed2a70)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d6de5d13f420b4b01b8d25b0f04a8daf567595)
