Diskussion:Quartische Gleichung

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biquadratisch

Anscheinend ist "Quartische Gleichung" eine Übersetzung aus "quaertic equation". Für die Gleichung 4. Grades ist aber im Deutschen die Bezeichnung "biquadratische Gleichung" üblich. --Hanfried.lenz 18:48, 31. Okt. 2007 (CET).

@Hanfried.lenz: Das sehe ich anders, darum habe ich dafür gesorgt, daß "Biquadratische Gleichung" auf "Quartische Gleichung" verweist, und nicht etwa umgekehrt. --Deprecated 18:10, 2. Nov. 2007 (CET)

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen, bei der durch Substitution von x^2=z eine Quadratische Gleichung zustande kommt:a*x^4+b*x^2+c=0 | x^2=z => a*z^2+b*z+c=0

mfg --91.5.186.215 20:40, 19. Jan. 2008 (CET)

Ich habe mal irgendwo gelesen, dass – entgegen der naheliegenden obigen Annahme – alle Polynome 4. Grades als «biquadratische Funktionen» bezeichnet werden können, leider finde ich die Quelle nicht mehr. Weiss da jemand weiter? --Camul 11:34, 3. Apr. 2008 (CEST)

Das ist mir nicht bekannt. Außerdem halte ich das für unfug. Wären alle gleichungen 4. Grades Biquadratische Gleichungen, dann bräuchte man keinen Begriff wie Quartische Gleichung. Letzteres ist sinnvoller, da Gleichungen höheren Grades als quintische, sextische ... Gleichungen bezeichnet werden. Biquadratisch ist in mMn nur die Form $a*x^{4}+b*x^{2}+c=0$ mfg --Snake707 19:15, 5. Apr. 2008 (CEST)

die umbenennung des artikels halte ich für unglücklich, weil traditionell eben im deutschen sprachraum aus historischen gründen "biquadratisch" gesagt wird... näheres hier... der artikel ist diesbezüglich inhaltlich falsch... ich habe das zu korrigieren versucht... --Heimschützenverein 13:15, 8. Jun. 2008 (CEST)

bitte beachten: [1] WP:WAR --Heimschützenverein 15:06, 9. Jun. 2008 (CEST)

bitte auch beachten: Diskussion:Quartische_Gleichung/Archiv#Einheitlichkeit und Diskussion:Quartische_Gleichung/Archiv#Name_des_Artikels... --Heimschützenverein 16:24, 9. Jun. 2008 (CEST)

Heimschützenverein, wie kommen Sie zu dieser Behauptung: "es macht keinen sinn gerade diesen spezialfall speziell zu benamsen..."? Es ergibt sehr wohl einen Sinn, praktisch triviale Spezialfaelle (denn ein solcher ist die biquadratische Gleichung) von nichttrivialen Faellen namentlich zu unterscheiden.Deprecated 15:32, 9. Jun. 2008 (CEST)

bitte WP:Q beachten... danke... --Heimschützenverein 16:24, 9. Jun. 2008 (CEST)

nochmal zusammenfassend: es wird hier keine einheitlichkeit geben können (wie auch an anderen stellen in der mathematik: der mathematiker an einer US-amerikanischen uni wird wohl seltenst von einer "ordnung" reden, und selbst bei einem lehrberechtigten an einer uni an der auf deutsch vorgelesen wird, weiß man nich unbedingt, was der prof mit "ordnung" meint (möglich is hier ohne weitere information über den prof die totalordnung und die partielle Ordnung...)...)... einen streit hierüber zu entfachen ist kindisch und daher kommt er wohl auch: von schulkindern die ihren lehrer angespitzt haben... es müssen beide terminologien mit der entsprechenden wertung erwähnt werden... ich darf also daher "die achse des kindischen" (user:Taxiarchos228 user:Deprecated user:LutzL) auffordern unverzüglich einzulenken... --Heimschützenverein 16:38, 9. Jun. 2008 (CEST)

Tertiäre Meinung:

Die meisten deutschsprachigen Bücher bezeichnen den Gegenstand dieses Wikipedia-Artikel offenbar trocken als "Gleichung 4. Grades", z.B. in Heinrich Tietze: Gelöste und Ungelöste Probleme, Kapitel 10: "Die Auflösung algebraischer Gleichungen durch Wurzelziehen". Demgegenüber ist ein Lemma mit lateinischer Zahlenangabe für meinen Geschmack klingender.

Hier ist "biquadratische Gleichung" das weitaus geläufigste, etwa: Heinz-Jürgen Hess und andere (Hrsg.): Sämtliche Schrfiten und Briefe von Gottfried Wilhelm Leibniz, Veröffentlicht 1995 Akademie Verlag, ISBN 3050027274, Einleitung Seite xxvi:

Leibniz sagt ausdrücklich in [...], daß l. Ferrari die biquadratische Gleichung mittles einer kubischen Resolvente gelöst hat.

Mit "biquadratisch" wird gelgentlich auch der Spezialfall mit verschwindendem linearen und kubischen Term benannt, etwa in der Schulmathemtik. Dies spricht aber meines Erachtens nicht gegen eine Lemma Biquadratische Gleichung auch für die allgemeine Situation.

Der Begriff quartisch dagegen wird offenbar für diese Art der Gleichgung sehr selten, und heutzutage kaum verwendet. Die (zu Recht) geforderten Quellen nachzuschlagen war mir Vergnügen, daher verwundert mich etwas der Ton obiger Diskussion, und daß von den Teilnehmern nicht selbst Quellen beigebracht werden.

Gruß, --Rosenkohl 21:37, 9. Jun. 2008 (CEST)

auf meine quelle sind die mit keinem wort eingegangen und die verblasst auch schon etwas und is auch kein richtiges buch... bücher habe ich gar nich... *schnief* ich werde dann erstmal den artikel anpassen (zum zweiten mal)... --Heimschützenverein 07:55, 10. Jun. 2008 (CEST)

Die Quelle ist in der Tat etwas dünn. Und Ihr Herr Leibniz hat auch schon seit einigen hundert Jahren nichts mehr veröffentlicht. Und trotzem bestehen Sie auf Ihrer historisierenden Nomenklatur?--Deprecated 12:24, 10. Jun. 2008 (CEST)

allein schon weil die behauptung "biquadratisch" habe was mit nur geraden exponenten zu tun, von einem primitiven verständnis des lateinischen oder von spott über die alte welt zeugt... beides muss man ja nicht unbedingt mitmachen... und es passt auch so gar nicht zu dem begriff biquadrat... --Heimschützenverein 12:41, 10. Jun. 2008 (CEST)

Wo sind Ihre ernstzunehmenden Belege dazu, wie die Nomenklatur heute ist? Uebrigens erreichen Sie nichts damit, andere Autoren als kindisch zu diffamieren, wie oben geschehen. Es faellt nur auf Sie selbst zurueck. --Deprecated 17:52, 10. Jun. 2008 (CEST)

der erfinder ist wohl hinreichend ernstzunehmend... und biquadratisch geht auch heute noch gut über die lippen... nocheinmal: eine einheitliche Nomenklatur schaffen zu wollen, ist kindisch... --Heimschützenverein 15:15, 10. Jun. 2008 (CEST)

1. "der erfinder ist wohl hinreichend ernstzunehmend..." Gute Guete, der Erfinder des Rades wuerde wohl heute kaum noch als Experte fuer Raeder gelten. Insofern taugt das Argument nichts. 2. "schaffen zu wollen" Was heisst schaffen zu wollen? Sie ist bei diesem Thema laengst da, und das seit Jahrzehnten (bei "Ordnung" und "partieller Ordnung" mag das anders sein). Sehen Sie sich aktuelle Buecher an, sehen Sie sich (andere als die von Ihnen zitierten) Seiten im Internet an. Was wollen Sie noch?--Deprecated 17:51, 10. Jun. 2008 (CEST)

nun hat sich aber die lösungsformel bis heute nich verändert und der begriff biquadrat existiert auch noch... und: ich will ja die änderung nicht, so dass ich keine quellen anzuführen brauche... derjenige der das ändern will, müsste quellen vom feinsten vorweisen, die sagen, dass keiner mehr "biquadratische gl." sagt, was aber nicht geht... --Heimschützenverein 09:29, 11. Jun. 2008 (CEST)

Unlogisch. Genausogut könnte ich den Nachweis verlangen, daß heute jeder "biquadratische Gl." sagt, was ebenfalls nicht geht. Sie behaupten im ersten Satz des Artikels, die Begriffe biquadratisch und quartisch seien synonym, und das ist nach heutigem Verständnis einfach falsch (Quellen habe ich geliefert). Sie haben bisher keine Quelle angegeben, die besagen würde, die Begriffe seien nach heutigem Verständnis synonym.--Deprecated 10:16, 11. Jun. 2008 (CEST)

0. der angriff auf die arrivierte version hätte mit quellen gestützt werden müssen... 1. die beiden begriffe werden auch synonym verwendet... 2. und die wichtige ausnahme kommt dann mit kritik und neuerlicher fettschrift im letzten satz der einleitung... 3. daran is nix unlogisch... --Heimschützenverein 10:59, 11. Jun. 2008 (CEST)

Diese Diskussion und das Lemma selbst zeigen wieder mal Deutsch-Wikipedia at its worst, nämlich in der Anmaßung, vollkommen unübliche Benennungen aufgrund einer Schmalspuretymologie zu etablieren zu versuchen und bei verbreiteten Begriffen Redirects anzulegen. Die Gleichungen 4. Grades werden im Deutschen nur „biquadratisch“ genannt. Wer im Mathe-Seminar mit „quartisch“ kommt, kann auch gleich nur auf Englisch vortragen. Stefan Neumeier 00:14, 5. Nov. 2009 (CET)

Bitte nicht im Ton vergreifen. Hast Du einen zufriedenstellenden Namensvorschlag? In der freien Wildbahn wird „biquadratisch“ nur für den Spezialfall verwandt, etwas anderes wird ja auch kaum in irgendwelchen Übungsaufgaben verwendet. Der allgemeine Fall ist so sehr „Spezialwissen“, dass er kaum gesondert diskutiert wird. Also nach Polynomgleichung vierten Grades verschieben?--LutzL 11:47, 5. Nov. 2009 (CET)

Ich gebe genau nicht einen Namensvorschlag; denn dazu bin weder ich befugt, noch halte ich Wikipedia dafür befugt. Ich halte es dezidiert für falsch, dass sich Autoren einer Enzyklopädie Gedanken machen und sich entscheiden sollen, wie ein bestimmter Gegenstand zu benennen sei. Das könnte hier vielleicht die DMV tun, aber nicht WP. Wikipedia hat keinerlei Definitionsmacht. (Phosphän ist ein ähnlicher Missgriff, der zudem falsch kategorisiert wurde.)

Aus der freien Wildbahn kenne ich „biquadratisch“ in beiden Bedeutungen, ganz sicher. Kommt halt auf das Buch an, in dem man blättert. (Es ist schade um das hübsche Wort, wenn es bloß eine schlecht versteckte quadratische Gleichung bezeichnen soll.) Aber (einzig) sinnvoll sind Belege aus solchen deutschsprachigen Lehrbüchern, die als Referenz anerkannt sind (wobei es davon post WK-II gar nicht so viele gibt), oder aus Mathematischen Wörterbüchern (Naas-Schmid & Co.).

Meinetwegen: Polynomgleichung vierten Grades (mit Redirects von den beiden anderen Benennungen). Das ist wenigstens geschmacksneutral.

Im übrigen verweise ich auf die beiden Alt-Diskussionen, die der Heimschützenverein oben verlinkt hat, in denen ich meine Argumente (einschließlich des Vorwurfs, sich einer hausgemachten Etymologie zu bedienen) wiederfinde und aus denen ich schon recht deutlich den Vorschlag herauslese, eine neutrale Bezeichnung zu verwenden. Im Prinzip ist alles schon vor drei Jahren gesagt worden. Und mir ein Rätsel, warum zwischendurch Quartisches eingebrockt wurde. Stefan Neumeier 00:29, 6. Nov. 2009 (CET)

Zum Thema Schmalspuretymologie: Warum hat sich noch keiner getraut, ein unitares Skalarprodukt und partikulare Lösungen einer linearen Differentialgleichung als Lemma, selbstverständlich mit Redirects, einzuführen? Das wäre wirklich mal mutig. Die übliche Schreibung dieser beiden Begriffe ist offenkundig übers Französische ins Deutsche gekommen. Stefan Neumeier 23:28, 6. Nov. 2009 (CET)

Befindest Du Dich auf einem (Heise-inspirierten) Kriegspfad? Man sollte nicht immer die schlimmsten Motive unterstellen, Faulheit und Desinteresse tun es in diesem Fall auch. Warum bist Du dann nicht so mutig und verschiebst selbst? Gleichung vierten Grades existiert schon als Redirekt, könnte also ein Ziel sein, Polynomiale Gleichung vierten Grades ist doch eher etwas gestelzt. Und genau das sind Namensvorschläge für diesen Artikel. Ich kann keine große Verteidigung von quartisch finden, nur Überlegungen, dass biquadratisch heutzutage leicht irreführend wäre. Der Heimatschütze ist, neben einer kaum zitierfähigen Webseite, seine Quellen auch schuldig geblieben. Welches Standardlehrbuch enthält sowohl eine Darstellung von Ferraris Methode als auch eine Diskussion zur Namensgebung? Ich habe nur auf englisch in Barbeaux: Polynomials Ferrari's methode neben einer Descartes zugeschriebenen Methode als Übungsaufgaben gefunden. Wobei in dessen Lesart Descartes das reduzierte Polynom in quadratische Faktoren zerlegt, während Ferrari im unreduzierten Polynom zwei Quadrate vervollständigt.--LutzL 17:05, 12. Nov. 2009 (CET)

Vielen Dank für die freundliche Entgegnung. :-)

Ich bin ein typischer Wissenschaftler, der den sachlichen Diskurs mit Argument und Widerlegung gewöhnt ist und ihn hier bei WP erwartete. Aber mittlerweile gehöre ich zu den WP-Frustrierten und mache keine größeren Edits mehr. Das hat nichts mit Ich habe nie recht bekommen!! (als Physiker bekommt man sowieso selten recht) zu tun, sondern mit dem Stil, in dem WP-Diskussionen generell geführt werden: Es wird nicht wissenschaftlich, sondern politisch verhandelt, und es kommt sehr drauf an, wer gerade als Diskussionspartner, Artikelwächter, Revertpolizist, Löschhund, Sprachimperialist etc. herumsteht. Die Kindergartendiskussion hier weiter oben würde nie im Seminar geführt werden – man machte sich ja lächerlich.

Deshalb bin ich nicht mehr mutig, sondern gebe nur noch meine Meinung ab. Du hast ja eine gewisse Reputation erworben, also überlasse ich ehrenvoll Dir die Arbeit, die vorgeschlagenen Redirects zu machen. Ich bin mir sicher, dass Dir gegenüber sich nicht so schnell getraut wird, einen Revert zu machen. :-)

Sachlich gehe ich mit Dir auch in den genannten Details mit. Mir ist kein leidlich modernes deutsches Standardbuch zu diesem eher elementaren Algebrathema bekannt. Da verschiedene Teilnehmer, die offenbar mathematische Arbeit leisten, verschiedene Namen für das gleiche Phänomen kennen, halte ich es für sinnvoll, eine der geschmacksneutralen Bezeichnungen à la 4. Grades zu verwenden und sämtliche biquartischen Varianten dort als Alternativnennungen zu erwähnen. Stefan Neumeier 17:19, 14. Nov. 2009 (CET)

Beispiele?

Sind die wirklich hier notwendig? --91.5.186.215 21:25, 19. Jan. 2008 (CET)

nö... --Heimschützenverein 13:38, 8. Jun. 2008 (CEST)

Grenzwertberechnung

Was ist der tiefere Sinn der Grenzwertberechnung im Artikel? Der Artikel behandelt ein algebraisches Thema, die Aussage der Richtigkeit läßt sich im wesentlichen durch Einsetzen nachweisen, was soll also die analytische Rechnung?--LutzL 15:27, 3. Mär. 2008 (CET)

Weiß ich auch nicht. vllt mal in die englische Wikipedia schauen? --Snake707 22:25, 24. Mär. 2008 (CET)

der tiefere sinn ist ganz offenbar, zu zeigen, dass wenigstens die fallunterscheidung wegen U=0 korrekt ist... durch einsetzen lässt sich ne grenzwertberechnung wohl nich ersetzen... --Heimschützenverein 13:45, 8. Jun. 2008 (CEST)

Nö, aber durch Einsetzen nach Umformen gemäß binomischer Formel. Das hier ist reine Algebra, da ist Analysis sowas von unnötig. Außer, um zu bemerken, dass die reellen Zahlen reell-algebraisch abgeschlossen sind. Bzw. für den Fundamentalsatz, obwohl der schon wieder als reine Algebra gewertet wird.--LutzL 15:16, 9. Jun. 2008 (CEST)

fehler?

Bei dem Punkt "Lösungsformel und Beweis" unterpunkt "Fall der nur Geraden Exponente" ist in der letzten Umformung ein Fehler unterlaufen, es müsste: (u² +sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r))((u² -sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r)) heißen anstatt : (u² +sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r))(u² +sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r)) 14:56, 12 Okt. 2008 (CEST) --(nicht signierter Beitrag von 88.68.209.206 (Diskussion) )

hm - ok - 3. biomische formel? oder hab ich's falsch verstanden? ich fixe es mal... --Heimschützenverein 20:37, 12. Okt. 2008 (CEST)

Bemerkung

"In der Praxis verzichtet man meist auf diese mühsamen algebraischen Lösungen und begnügt sich mit angenäherten numerischen Lösungen..." Gibt es hierzu eine Quelle? Ich verwende selbst die algebraische Lösung (wenn auch nicht gerade in der Darstellung dieses Artikels) in einem Software-Projekt und bin sehr zufrieden damit. Sollten keine Hinweise hierzu kommen, werde ich den Abschnitt löschen. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6sen_von_Gleichungen#Gleichungen_vom_Grad_4 --Deprecated 12:02, 9. Dez. 2008 (CET)

Ganz richtig! Das ist eine verbreitete, aber dogmatische Meinung. Ich wollte das auch mal rauslöschen, jedoch ist der Artikel so schlecht, dass er eigentlich komplett neu geschrieben werden müsste. Ein weiterer Vorteil der algebraischen Lösung ist die Möglichkeit an der Diskriminate das Lösungsverhalten abzulesen. Hier haben numerische Methoden Schwierigkeiten. Sie können nur mit viel Aufwand zwischen einfach- oder dreifach-Lösung unterscheiden. Ich habe das auch mal in einen Algorithmus umgesetzt und bin auch sehr zufrieden damit. Eine excellente Implementation mit einem Computeralgebra-System, dass auch auftretende Verschachtelte Wurzeln prüft, und ggf. auszieht, steht aber noch aus. Selbst bei Mathematica, Maple und MuPAD ist dies nur unzufriedenstellend gelöst.

Vermutlich ist mit der genannten Formulierung nur gemeint, dass ein numerisches Verfahren (z.B. Newton-Verfahren) recht schnell eine numerische Lösung verschafft, sofern der Anwender das algebraische Verfahren nicht eingeübt hat und keine Software dafür bereit steht. Es ist in der Tat so, dass eine sichere Anwendung des algebraischen Verfahrens ein tieferes Verständnis der Dinge erfordert, als ein numerisches Verfahren. Bei schwierigen numerischen Verhältnissen der Koeffizienten bereiten natürlich einige numerische Verfahren Schwierigkeiten. --Skraemer 14:13, 9. Dez. 2008 (CET)

"Niedergeschlagene" Gleichungen ;-)

Im Ernst! Wie übersetzt sich nun die depressed quartic equation (ja die heißt so!), also die, bei der das kubische Glied nicht auftritt, ins Deutsche? normalisierte oder reduzierte Gleichung 4. Grades? Normalisierte klingt fast noch besser, da "reduziert" bei mir stets Division durch den a_n-Koeffizienten induziert. :) -andy 77.7.100.60 05:38, 16. Okt. 2010 (CEST)

Fallunterscheidung nach beta gleich 0 oder nicht

1.) Der Text und die Formeln nach der Zwischenüberschrift "Zusammenfassung" im Abschnitt "Lösungsformel und Beweis" bezieht sich nur auf den Fall beta ungleich 0; werden die Formeln dort im Fall beta gleich 0 verwendet, stimmen die berechneten Nullstellen nicht! Anhand der Gliederung kann man das kaum erschließen, also wäre ein Hinweis angebracht. Auch die Zwischenüberschrift "Allgemeiner Fall" finde ich unglücklich, denn die Formeln schließen ja den Fall beta gleich 0 aus, sind also gerade nicht "allgemeingültig". Ich fände "Fall ohne linearen Term" und dann "Fall mit linearem Term" wesentlich besser. Vielleicht könnte ja auch ein Experte mal erläutern, warum die Formeln im "Fall mit linearem Term" falsche Ergebnisse liefern, wenn beta gleich 0 wird, denn ein offensichtlicher Fehler wie teilen durch 0 tritt ja nicht auf... 2.) In der engl. Version dieses Artikels sind im Gegensatz zu dieser dt. Version die Formeln für die Nullstellen im Fall beta gleich 0 explizit und korrekt angegeben. Wenn einer sich mit dem Formelsatz auskennt, bitte die Formeln von dort übernehmen. MfG -Drgst 09:38, 21. Feb. 2011 (CET)

Ich beziehe mich auf den Satz "Vielleicht könnte ja auch ein Experte mal erläutern, warum die Formeln im "Fall mit linearem Term" falsche Ergebnisse liefern, wenn beta gleich 0 wird, denn ein offensichtlicher Fehler wie teilen durch 0 tritt ja nicht auf". Ich habe zwar auch erst gedacht, dass keinen Unterschied machen dürfte, aber nachdem ich die ganzen Formeln in Maple eingegeben habe, habe ich tatsächlich auch festgestellt, dass das Ergebnis nicht immer stimmt. Interessant ist die Zeile "ergeben sich $w^{2}=\alpha +2y$ und $z^{2}=(\alpha +y)^{2}-\gamma$ sowie $\beta =2wz$". Jedoch wird die zweite Gleichung in der Zusammenfassung gar nicht mehr berücksichtigt. Ist $\beta =0$, kann das zu einem Problem führen. Und zwar folgt aus der dritten Gleichung, dass w oder z Null sein muss. Darus folgen auch schon die drei Lösungen $y=-{\frac {\alpha }{2}}$, $y=-\alpha +{\sqrt {\gamma }}$ und $y=-\alpha -{\sqrt {\gamma }}$. Jetzt kommt es darauf an, welche der drei Lösungen die Formeln in der Zusammenfassung liefern. Führen die Formeln auf die zweite oder dritte Lösung, ist alles gut. Ergibt sich jedoch die erste Lösung $y=-{\frac {\alpha }{2}}$, dann ist $w=0$. Somit ist die Gleichung $\beta =2wz$ für alle z erfüllt. In diesem Fall muss z über die Gleichung $z^{2}=(\alpha +y)^{2}-\gamma ={\frac {\alpha ^{2}}{4}}-\gamma$ bestimmt werden. --Tobi (Diskussion) 11:09, 14. Feb. 2019 (CET)

Polynom 4ten Grades. Definition

Im Artikel, war NICHTS ueber x in dieser Gleichung 4ten Grades ausgesagt, die zur Begriffsdefinition dient! :-( Dieser Koerper K, darf vermutlich(?) auch nur ein kommutativer Ring mit 1 sein -- ich frage mich, ob man noch die Nullteilerfreiheit des Ringes verlangen sollte? Die Frage ist natuerlich: in wieweit es in Wiki-DE noch Sinn macht, so einen allgemeiner Polynombegriff aufzuzeigen. Ferner sollte (*LACH*) es eigentlich nur Probleme im Fall Charakteristik 2 oder 3 geben. Achim1999 (Diskussion) 18:10, 4. Mai 2012 (CEST)

Ich denke, das macht auch in der de-Wikipedia Sinn. Allerdings nicht zu Beginn des Artikels, sondern in einem späteren Abschnitt als "Verallgemeinerung" oder "allgemeiner Fall" o. Ä. Der übrige Teil des Artikels sollte auch für jemanden lesbar sein, der nur komplexe Zahlen kennt, aber nicht den allgemeinen Begriff eines Körpers oder gar die Begriffe Charakteristik und K-Algebra. --Digamma (Diskussion) 19:07, 4. Mai 2012 (CEST)

Definitionen der Lösungen der quartischen Funktion durch kubische Resolvente nicht korrekt?

Ich habe das Lösungsverfahren des unteren Abschnitts "Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten" mit mehreren Beispielen durchgetestet, in einem Fall bekam ich jedoch falsche Ergebnisse. Im Fall a≠0;b≠±1;c,d,e=0 ergab die kubische Resolvente 1 reelle (positive) Lösung und ein komplex kunjugiertes Paar an. Der im Kasten nach genannten Definitionen besäße die quartische Funktion nun 2 reelle Nullstellen und ein komplex kunjugiertes Paar. Natürlich stimmt dies nicht - bei den genannten Definitionen liegen hier 4 reelle Nullstellen (eine dreifache bei x=0, eine bei ([a]+b)/a^2) vor. Habe ich mich nur mehrmals verrechnet oder ist die Definition durch die Lösungen der Resolvente nicht allgemein gültig? (nicht signierter Beitrag von 87.143.129.203 (Diskussion) 18:06, 6. Jun. 2013 (CEST))

Ich habe das Lösungsverfahren mal mit a=b=1 und c=d=e=0 getestet, also die Gleichung x^4+x^3=0 und habe nach der Substitution die Gleichung

y^4-3/8 y^2 + 1/8 y -3/256

erhalten. Die Resolvente lautet dann bei mir: z^3 - 3/4 z^2 + 3/16 z -(1/64)=0

Diese Gleichung hat eine dreifache reelle Nullstelle bei z=1/4 . Somit bin ich im Fall "Sämtliche Lösungen sind reell und positiv" und habe nach der Regel im Kasten "Vier reelle Nullstellen" und das stimmt ja auch, weil die Nullstellen 0,0,0 und (-1) sind. Wenn man wie angegeben weiterrechnet, kommen auch wirklich genau die vier gesuchten reellen Nullstellen heraus. Kurz gesagt: Bei mir funktioniert die Formel. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:34, 10. Jun. 2013 (CEST)

Verständnisprobleme bei Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten

Beim Teil unter der Überschrift Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten habe ich Verständnisprobleme, die auch "Otto Normalbenutzer" haben könnte:

• Heißt ${\sqrt {z_{j}}}$: Eine beliebige, aber feste der beiden Wurzeln aus $z_{j}$? Dann sollte das so ähnlich im Artikel stehen.
• Falls ja: Woher wissen wir im Fall 3 (die kubische Resolvente hat eine reelle Lösung und zwei komplexe, zueinander konjugierte Lösungen), dass $\sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}$ reell ist? (Wenn das nicht so wäre, wäre $\sigma {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}=q$ unerfüllbar für $\sigma \in \{-1,+1\}$.) Ist in diesem Fall die reelle Lösung der kubischen Resolvente immer positiv? Das würde das Problem lösen und müsste in den Artikel eingebaut werden.

-- UKoch (Diskussion) 23:45, 13. Apr. 2017 (CEST)

Die kubische Resolvente hat ja an der Stelle $z=0$ den Wert $-q^{2}<0$ und geht für $z\to +\infty$ gegen $+\infty$. Nach dem Zwischenwertsatz hat sie also immer eine positive Nullstelle. -- HilberTraum (d, m) 18:39, 15. Apr. 2017 (CEST)

Danke für die schnelle Antwort! $q=0$ ist zwar auch möglich, aber 1. braucht man dann die komplizierten Formeln nicht und 2. hat die kubische Resolvente dann immer noch eine nichtnegative Nullstelle, was ja völlig ausreicht.

Daraus ergibt sich aus meiner Sicht, dass der Artikel wie folgt erweitert werden sollte:

• In der Tabelle: eine reelle Lösung wird durch eine positive reelle Lösung ersetzt.
• Hinter Die Lösungen der kubischen Resolvente seien $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$. wird eingefügt: Für jedes $j\in \{1,2,3\}$ sei ${\sqrt {z_{j}}}$ eine beliebige der beiden komplexen Wurzeln aus $z_{j}$.

Wie siehst Du das? -- UKoch (Diskussion) 21:45, 15. Apr. 2017 (CEST)

Ich denke, dass es im Artikel deutlich genug ist, dass an dieser Stelle $q\neq 0$ angenommen wird. Kurz zuvor steht ja: „Wir sind an dem allgemeinen Fall $q\neq 0$ interessiert.“ Deine beiden Formulierungsvorschläge halte ich auch für eine Verbesserung. Grüße -- HilberTraum (d, m) 23:13, 15. Apr. 2017 (CEST)

OK, dann setze ich das sofort um. Nochmal danke und schöne Feiertage! -- UKoch (Diskussion) 00:58, 16. Apr. 2017 (CEST)

Alternativer Rechenweg

Ich habe hier einen Rechenweg, den ich wesentlich eleganter finde, da ganz ohne Tschirnhaus-Transformation auskommt. Die Transformation des Polynoms 4. Grades wird geschickt umgangen. Gleichzeitig ist das zu lösende Polynom 3. Grades bereits auf reduzierter Form. Die kleinen Buchstaben a, b, c könnte man noch durch alpha, beta, gamma ersetzen. Ich habe nur a,b, c verwendet, um eventulle Verwechsungen mit den alpha, beta, gamma aus dem Artikel zu vermeiden.

Zerlegung in quadratische Faktoren

Zunächst versucht man, die Gleichung als Differenz zweier vollständiger Quadrate zu schreiben. Dazu wird die zweite Ableitung zur Hilfe genommen und es werden komplexe Parameter $w,y,z$ eingeführt. Die Darstellung als Differenz führt dann direkt zu einer Faktorisierung in quadratische Faktoren mit komplexen Koeffizienten,

${\begin{array}{rcl}p(x)&=&Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E\\&=&{\frac {1}{144A}}\left[(p''(x)+y)^{2}-(wx-z)^{2}\right]\\&=&{\frac {1}{144A}}(p''(x)+y+wx-z)(p''(x)+y-wx+z).\end{array}}$

Mit $a=36B^{2}-96AC$, $b=24BC-144AD$ und $c=4C^{2}-144AE$ haben wir

$144Ap(x)=(p''(x)+y)^{2}-[(a+24Ay)\,x^{2}+(b+12By)\,x+c+4Cy+y^{2}].$

Durch Vergleich ergibt sich $w^{2}=a+24Ay$ und $z^{2}=c+4Cy+y^{2}$, sowie $-2wz=b+12By$ .

Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in $x$ ist, muss die Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden, das heißt

$0=4\,(a+24Ay)(c+4Cy+y^{2})-(b+12By)^{2}$.

Dies ist eine kubische Gleichung in $y$. Da der Koeffizient von $y^{2}$ verschwindet, lässt sich die Gleichung zu

${\begin{array}{rcl}0&=&y^{3}+{\frac {12Ac+2aC-3bB}{12A}}y+{\frac {4ac-b^{2}}{96A}}\\&=&y^{3}+(36BD-144AE-12C^{2})y+{\frac {4ac-b^{2}}{96A}}.\end{array}}$

vereinfachen. Aus einer der Lösungen für $y$ ergeben sich zwei quadratische Gleichungen in $x$, die zu insgesamt vier Lösungen für $x$ führen.

Zusammenfassung

Zunächst wird geprüft, ob die erste Ableitung an der Stelle $x=-{\frac {B}{4A}}$ verschwindet, das heißt

$p'\!\left(-{\frac {B}{4A}}\right)={\frac {B^{3}}{8A^{2}}}-{\frac {BC}{2A}}+D=0$.

Spezialfall

Gilt $p'\!\left(-{\frac {B}{4A}}\right)=0$, haben wir

$y=-{\frac {a}{24A}}$,

mit    $a=36B^{2}-96AC$

$w=0$ und $z={\sqrt {c+4Cy+y^{2}}}$

mit    $c=4C^{2}-144AE$

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall werden folgende Rechenschritte durchgeführt:

$P=36BD-144AE-12C^{2}$,

$Q={\frac {4ac-b^{2}}{96A}}$,

mit    $a=36B^{2}-96AC$, $b=24BC-144AD$ und $c=4C^{2}-144AE$

$y={\begin{cases}-{\sqrt[{3}]{Q}}&{\text{ falls }}P=0\\U-{\frac {P}{3U}}&{\text{ falls }}P\neq 0\end{cases}}$

mit    $U={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}+{\sqrt {{\frac {Q^{2}}{4}}+{\frac {P^{3}}{27}}}}}}$

$w={\sqrt {36B^{2}-96AC+24Ay}}$ und $z=-{\tfrac {12BC-72AD+6By}{w}}$.

Lösen der quadratischen Gleichungen

Aus den beiden quadratischen Gleichungen

$0=p''(x)+y\pm (wx-z)$

können die Nullstellen wie folgt berechnet werden

$x_{1,2,3,4}=-{\frac {B}{4A}}+{\frac {s\cdot w}{24A}}+{\frac {r}{24A}}{\sqrt {(6B-s\cdot w)^{2}-48A\,(2C+y+sz)}}$.

Die Parameter $r,s\in \{-1,1\}$ geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von $r$ und $s$ sind nötig, um alle 4 Lösungen zu erhalten.

--Tobi (Diskussion) 18:34, 24. Feb. 2019 (CET)

Vorzeichen vor z1,z2,z3,z4 in sqrt(...)

Ungesichert war die Änderung in ...

${\begin{array}{lcl}y_{1}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{2}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{3}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}}\right)\\[5pt]y_{4}&=&\sigma {\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}}\right),\end{array}}$

... indem sqrt(z1),sqrt(z2),sqrt(z3) und sqrt(z4) geändert wurde in sqrt(-z1),sqrt(-z2),sqrt(-z3) und sqrt(-z4)

Ich habe es an einem Beispiel nacherechnet und festgestellt, dass diese Änderung ein falsches Ergebnis liefert. Deshalb habe ich die Änderung rückgängig gemacht. --Joachim Mohr (Diskussion) 09:08, 7. Aug. 2022 (CEST)