Benutzer:Filomusa/Elementarteilertheorie: Klassifikation der Modul über Hauptidealringen

Elementarteiler

Der Elementarteilersatz liefert die Klassifikation endlich erzeugter Moduln über einem Hauptidealring (wie bspw. einem euklidischen Ring): Solche Moduln sind nämlich gerade durch die Familie ihrer Elementarteiler, ja durch ihre Elementarteilerkette gekennzeichnet, freilich bis auf Isomorphie bzw. Assoziiertheit. Zuerst waren es natürlich Moduln über dem Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, also abelsche Gruppen, für die dieser Satz erkannt wurde und häufig als „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ ausgesprochen wurde.

Es ist erhellend, sich zunächst das historische Verständnis des Begriffs „Elementarteiler“ zu vergegenwärtigen, denn dieses verrät wesentlich mehr von der Aussage des Elementarteilersatzes als man zunächst – bei landläufigem Verständnis der Wortbestandteile – vermuten möchte.

Bedeutung, Bedeutungswandel und Definition

Der Begriff Elementarteiler hat einen Bedeutungswandel erfahren. Ursprünglich bezeichnete dieser Begriff – analog zum noch heute üblichen Begriff des Normalteilers – eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe mit der Eigenschaft, elementar zu sein. Der Begriff „Theiler einer Gruppe“ (oder „Divisor einer Gruppe“) bezeichnete in den Anfängen der Gruppentheorie nämlich eine Untergruppe einer abelschen Gruppe (eines Moduls), und eine zyklische Gruppe wurde „elementar“ genannt, wird sie doch von einem Element erzeugt. Bspw. trägt noch 1898 Heinrich Weber in seinem Lehrbuch der Algebra den Begriff Untergruppe lediglich in der Fußnote nach, während er im Haupttext die Begriffe Theiler und Divisor nennt. In Ermangelung des Mengenbegriffs wurden seinerzeit noch kaum abstrakte Gruppen betrachtet, sondern stets Gruppen von Zahlen, Substitutionen oder Formen etc. Dass die wesentlichen Eigenschaften hierbei auf die Gruppenaxiome zurückführbar sind, die daher konstitutiv sind, trat freilich mehr und mehr ins Bewusstsein, wie aus Heinrich Webers Vorwort hervorgeht.

Die Kardinalität eines minimalen Erzeugendensystems einer abelschen Gruppe (einer „Basis“, wie es früher auch hieß) wurde Rang der Gruppe genannt. Gruppen vom Rang eins hießen also elementar, und „Elementarteiler einer Gruppe“ sind demnach zyklische Untergruppen.

Tatsächlich zerfällt jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $M$ nach dem Elementarteilersatz in eine direkte Summe $M=\bigoplus _{i=1}^{N}Z_{i}$ zyklischer Untergruppen $Z_{i}$, die gemäß altem Sprachgebrauch auch die „Elementarteiler der Gruppe“ hießen. Diese Untergruppen werden also jeweils von einem Element erzeugt: $Z_{i}=\langle z_{i}\rangle$, wobei $\langle z_{i}\rangle$ je nachdem, ob die Gruppe additiv oder multiplikativ notiert wird, $\mathbb {Z} \cdot z_{i}$ oder $z_{i}^{\mathbb {Z} }$ bedeuten möge. Diese Untergruppen sind nach dem Elementarteilersatz bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, das heißt, dass die Elemente $z_{i}\in M$ zwar nicht eindeutig festgelegt sind, wohl aber ihre Ordnung $\operatorname {ord} z_{i}:=\min\{h\geq 1\,|\,h\cdot z_{i}=0\}=\operatorname {ord} (Z_{i})$. Elemente gleicher Ordnung erzeugen nämlich isomorphe zyklische Gruppen und umgekehrt haben Erzeugende isomorpher zyklischer Gruppen dieselbe Ordnung. Der Elementarteilersatz besagt darüber hinaus, dass eben diese Ordnungen (bei passender Indizierung) einer Teilerkette bilden: $\varepsilon _{r}|\varepsilon _{r-1}|\varepsilon _{r-2}|\dots |\varepsilon _{1}$, wobei $\varepsilon _{i}:=\operatorname {ord} (z_{i})$ für $i=1,\dots ,r$, oder in äquivalenter Notation $(\varepsilon _{1})\subset (\varepsilon _{2})\subset \dots \subset (\varepsilon _{r-1}\subset (\varepsilon _{r})$. Für die Eindeutigkeit können triviale Faktoren $\varepsilon =1$ ignoriert werden, denn die Eins ist Teiler einer jeden ganzen Zahl und stünde ja nur für die triviale zyklische Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht, dem Null- bzw. Einselement. Aus demselben Grunde kann ebensogut die Folge der Elementarteiler $(\varepsilon _{i})_{i}$ für $i\geq r$ durch $\varepsilon _{i}:=1$ aufgefüllt werden. Die Null hingegen ist Vielfaches einer jeden ganzen Zahl, und ein Elementarteiler $\varepsilon _{i}=0$ zeigt, dass die Untergruppe $\langle z_{i}\rangle$ isomorph zu $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /(0)$ ist. Für endlich erzeugte Torsionsmoduln $M$ tritt dieser Fall jedoch nicht ein, denn jedes Element $x$ einer Torsionsgruppe hat Torsion, das heißt: Es gibt $h\in \mathbb {Z}$ mit $h\cdot x=0$. Für den Torsionsanteil endlich erzeugter Moduln ist daher stets $\varepsilon _{i}\neq 0$, während sich für den torsionsfreien Anteil Elementarteiler $\varepsilon =0$ zu Beginn der Elementarteilerkette (für $i=1,\dots ,s$, wenn $s$ der Rang des freien Anteils ist) einfügen. Damit ist der Rang der abelschen Gruppe gleich der Länge $r$ dieser Teilerkette, wenn $r$ maximal mit $\varepsilon _{r}\not \sim 1$. So spiegelt sich der Isomorphietyp eines endlich erzeugten Moduls über einem Hauptidelaring in der Folge $(\varepsilon _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ seiner Elementarteiler $\varepsilon _{i}\in R$, die (ohne Einschränkung) von einem Glied $i\geq r+1$ an identisch $1$ wird.

Auch diese Ordnungen $\varepsilon _{i}$ wurden gelegentlich als Elementarteiler bezeichnet: Das ist gut nachvollziehbar, lassen sich doch „elementare Gruppen von vertauschbaren Elementen“ (also zyklische Gruppen) der Ordnung $\varepsilon \in \mathbb {Z}$ mit dem Paradigma $\mathbb {Z} /(\varepsilon )$ identifizieren. Jede elementare abelsche Gruppe ist mit ihrer Ordnung identifiziert.

Elementarteiler $\varepsilon _{i}$ einer endlich erzeugten abelschen Gruppe $M$ sind also genau jene Teiler der Gruppenordnung $\operatorname {Ord} M$, welche die Ordnungen der elementaren Untergruppen $Z_{i}$ angeben, in welche die Gruppe nach dem Elementarteilersatz (als direkte Summe) zerfällt. Ihr Produkt ist die Gruppenordnung, falls diese endlich ist: $\#M=\prod _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}$. (Falls sie nicht endlich ist, so sind einige der $\varepsilon _{i}$ gleich Null. Die Gleichheit gilt nur für Torsionsmoduln.)

Allerdings muss unterschieden werden: Die Ordnungen der zyklischen Untergruppen bilden eine Teilerkette, nicht aber die Untergruppen $Z_{i}$ selbst, denn sie sind ja direkte Summanden, will sagen: Es gilt zwar $\operatorname {Ord} (Z_{r})|\operatorname {Ord} (Z_{r-1})|\operatorname {Ord} (Z_{r-2})|\dots |\operatorname {Ord} (Z_{1})$, nicht jedoch $Z_{r}\subset Z_{r-1}\subset Z_{r-2}\subset \dots \subset Z_{1}$. So mag die Verwendung des Begriffs „Elementarteilerkette“ ein Grund dafür sein, dass sich die Bedeutung des Begriffes „Elementarteiler“ auf die Ordnungen der zyklischen Untergruppen verengt hat, um Missverständnisse zu vermeiden.

Als Synonyme für die Elementarteiler werden verwendet: Invarianten oder invariante Faktoren einer Gruppe (engl.: invariant factor, elementary divisors)

Abelsche Gruppen sind Module über dem Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen. Dieser ist ein euklidischer Ring, ja sogar ein prinzipaler Ring. Tatsächlich gilt der Elementarteilersatz allgemeiner für Module über einem Hauptidealring $R$. Dazu muss jedoch der Begriff der Ordnung einer Gruppe geeignet definiert werden, weil das oben für die Ordnungsdefinition verwendeten Minimum seinen Sinn verliert: Anstelle der Ordnung $\operatorname {ord} (x)$ eines Elementes $x$ betrachtet man das von ihm erzeugte Ordnungsideal $\operatorname {Ord} (x)=\operatorname {ord} (x)\mathbb {Z}$ und verallgemeinert es folgendermaßen: $\operatorname {Ord} (x)=\{r\in R\,|\,r\cdot x=0\}=\operatorname {Ann} (x)$. Es wird auch Annullator(ideal) genannt.

Dass es sich um ein Ideal handelt, ist leicht nachzuprüfen. In Hauptidealringen ist jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\triangleleft R$ von einem geeigneten Element erzeugbar: ${\mathfrak {a}}=Ra$. Ein solches erzeugendes Element $a$ ist bis auf Assoziiertheit festgelegt, denn $a_{1}|a_{2}\Leftrightarrow Ra_{1}\supset Ra_{2}$, also $Ra_{1}=Ra_{2}\Leftrightarrow a_{1}|a_{2}\wedge a_{2}|a_{1}$.

Endlich erzeugte Torsionsmoduln über $\mathbb {Z}$ sind genau die endlichen abelschen Gruppen. Daher firmiert die Klassifikation der endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen in diesem Falle auch als Fundamentalsatz über endliche (oder endlich erzeugte) abelschen Gruppen. Die von einem Element $p\in G$ erzeugte zyklische Untergruppe $\langle p\rangle$ wurde übrigens auch als Periode von $p$ bezeichnet.

Elementarteilersatz

Der Elementarteilersatz lässt sich in verschiedene Versionen kleiden und liefert dabei folgende Aussagen:

• Die Strukturversion ist eine Klassifikation endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen. Sie stellt ferner einen Zusammenhang hang zwischen Elementarteilern und alternierenden Multilinearformen auf dem Modul her.
• Die Matrixversion ist eine Klassifikation quadratischer Matrizen aufgrund einer Äquivalenzrelation: der Assoziiertheit. Sie stellt ferner einen Zusammenhang zwischen Elementarteilern und Determinantenteilern her.

• Die Basisversion klassifiziert Untermoduln freier Moduln und gibt das Volumen der Grundmasche als eine Determinante an (und das Volumen von Grundmaschen niedrigeren Ranges).
• Die Homomorphismusversion klassifiziert folglich Kerne.

Somit liefert der Elementarteilersatz Invarianten: Invarianten eines endlicher erzeugten Moduls und einer Matrix sind die (bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmten) Elementarteiler und die Länge dieser Elementarteilerkette. Dabei hängen diese Invarianten nur von Isomororphieklasse des Moduls bzw. der Äquivalenzklasse der Matrix (in Bezug auf die arithemtische Äquivalenz ab). Die Elementarteiler heißen daher auch invariante Faktoren (engl. invariant factors).

Die Länge der Elementarteilerkette einer Matrix heißt der Rang dieser Matrix.

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Unter einer aufsteigenden Idealkette werde eine Kette von Idealen $(\varepsilon _{i})_{1\leq i\in \mathbb {N} }$ verstanden mit:

1. $(\varepsilon _{i})\subset (\varepsilon _{i+1})$,
2. $(\varepsilon _{1})\supset (0)$ und
3. $(\varepsilon _{s}+1)=(1)$ für ein $s\in \mathbb {N}$ und damit auch $(\varepsilon _{i})=(1)$ für jedes $i\leq s+1$.

Die Erzeugenden $\varepsilon$ sind bis auf Einheiten eindeutig durch das Ideal $(\varepsilon _{i})$ bestimmt. Zwei derartige Idealketten heißen gleich, wenn für jeden Index $i$ die zugehörigen Ideale gleich sind.

Beispiel: $\underbrace {(0)\subset (0)\subset \dots \subset (0)} _{r{\text{ Mal}}}\subset (1)\subset \dots$.

Der Elementarteilersatz lässt sich als eine Klassifikationsaussage verstehen, nämlich: Die Menge der (schwach) aufsteigenden Idealketten repräsentiert

• die Isomorphieklassen endlicher erzeugter Moduln über $R$ bzw.
• die Äquivalenzklassen endlicher Matrizen mit Einträgen aus $R$. Es handelt sich dabei um die Äquivalenzrelation der arithmetischen Äquivalenz von Matrizen.

Der Elementarteilersatz klassifiziert also endlich erzeugte Moduln oder – gleichbedeutend – endliche Matrizen über einem Hauptidealring.

Zur bequemen Formulierung sei deshalb

• der $R$-Modul $\bigoplus _{1\leq i\in \mathbb {N} }R/(\varepsilon _{i})=\bigoplus _{i=1}^{s}R/(\varepsilon _{i})$, wobei $(\varepsilon _{s})=(1)=R$, als der zur Idealkette $(\varepsilon _{i})_{i}$ gehörige oder von ihr induzierte $R$-Modul,
• und die Matrix $\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\varepsilon _{i}E_{i}^{i}$ als die zur Idealkette $(\varepsilon _{i})_{i}$ gehörige oder von ihr induzierte Matrix aus $\operatorname {Mat} (m\times n,R)$ bezeichnet. Dabei sei $E_{j}^{i}\in \operatorname {Mat} (m\times n,R)$ die Matrix, die überall Nullen hat, lediglich in der Stelle der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte eine Eins.

Nun ist ein Hauptidealring faktoriell, d. h., in ihm besteht also eine (bis auf Assoziiertheit) eindeutige Zerlegung in Primelemente (ZPE). Mit anderen Worten: Es ist ein ZPI-Ring, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, insbesondere auch die Primideale.

Eine aufsteigende Idealkette $(\varepsilon _{i})_{1\leq i\in \mathbb {N} }$ kann also auch durch gekennzeichnet werden, indem für jedes Primideal $(p)$ und für jede natürliche Zahl $k\in \mathbb {N}$ der folgende Werte angegeben wird: $m_{p,k}:=\#\left\{i\in \mathbb {N} \;|\;(p^{k})\supset (\varepsilon _{i})\,\land \,(p^{k+1})\not \supset (\varepsilon _{i})\right\}$. Diese Kennzahl gibt also die Anzahl derjenigen Elementarteiler an, in denen $p$ mit der genauen Potenz $p^{k}$ aufgeht. Diese Werte $m_{p,k}$ verschwinden für fast alle Primelemente $p$ und fast alle natürliche Zahlen $k$. Zudem sind sie fast alle endlich, wenn die Null nicht als Elementarteiler erscheint: Die Häufigkeit des Wertes $\infty$ gibt die Häufigkeit der Null als Elementarteiler an.

Arithmetische Äquivalenz

Definition: text text.

Ein wichtiges Kriterium für die arithmetische Äquivalenz zweier Matrizen formuliert der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium): Zwei Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,R)$ sind genau ähnlich $A\approx B$, wenn ihre zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,R[X])$ arithmetisch äquivalent ($A-XE\sim B-XE$) sind.

Dieses Kriterium stiftet den Zusammenhang zwischen der Eigenwerttheorie und der Elementarteilertheorie: text text text.

Matrixversion

Elementarteilersatz (Matrixversion): Jede Matrix ist arithmetisch äquivalent zu einer Matrix, die von einer wachsenden Idealkette induziert ist. Das heißt: Jede Matrix $A\in \operatorname {Mat} (m\times n,R)$ gibt es zwei Matrizen $P\in \operatorname {GL} (m\times m,R)$ und $Q\in \operatorname {GL} (n\times n,R)$, so dass $PAQ$ von einer aufsteigenden Idealkette $(\varepsilon _{i})$ in $R$ induziert wird, das heißt die folgende Gestalt hat:

${\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&\varepsilon _{2}&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&0&\varepsilon _{3}&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\varepsilon _{s}&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}$, wobei $s\leq \min\{m,n\}$ und $\varepsilon _{s}|\varepsilon _{s-1}|\varepsilon _{s-2}|\cdots |\varepsilon _{1}$.

Eigentlich wäre es (im Sinne der aufsteigenden Kette) schöner, wenn <nochmal über die Indexreihenfolge nachdenken>

mit Determinantenteilern ...

Insbesondere sind torsionsfreie endlich erzeugte Moduln frei, denn ein minimales Erzeugendensystem ist linear unabhängig.

Strukturversion

Elementarteilersatz (Strukturversion) Jeder endlich erzeugte Modul über einem Haupidealring $R$ ist isomorph zu einem von einer aufsteigenden Idealkette in $R$ induzierten Modul.

Idee: Bei Elementarteilerzerlegung $G=\bigoplus _{i=1}^{n}R/\varepsilon _{i}$ sei $a_{G}(p^{k}):=\#\left\{i\in \{1,\dots ,n\}|v_{p}(\varepsilon _{i})=k\right\}$, so das also $\varepsilon _{i}=\prod _{p}p^{v_{p}(\varepsilon _{i})}$. (So ist es auch im Artikel Hauptidealringe dargestellt.)

Insbesondere sind torsionsfreie Moduln frei, denn für sie ist $(\varepsilon _{s})=(0)$, also verschwinden alle Elementarteiler $\varepsilon _{i}=$.

Der Elementarteilersatz lässt sich offensichtlich noch in zwei weitere Versionen kleiden:

Basisversion

Elementarteilersatz (Basisversion) mit Determinantenteilern und alternierenden Multilinearformen ..

IDEE: Die Basisversion (ebenso wie die Homomorphismenversion) offenbart, dass endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen endlich präsentierbar sind.

Homomorphismenversion

Elementarteilersatz (Homomorphismenversion)

Primärzerlegung

Gewissermaßen „quer“ zur Zerlegung des Elementarteilersatzes gibt es eine weitere Zerlegung, für die der Chinesische Restsatz paradigmatisch ist. Beachte, dass Hauptidealringe faktoriell sind.

Satz: Es sei $M$ ein endlicher erzeugter $R$-Modul mit dem Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M):=\{z\in \mathbb {Z} \,|\,\forall m\in M:z\cdot m=0\}=\{z\in \mathbb {Z} \,|\,z\cdot M=0\}=Ra$ mit $a\neq 0$ (also ein Torsionsmodul). Dabei sei $a=a_{1}\cdot a_{2}$ mit zwei teilerfremden $a_{i}\in R$, das heißt mit $Ra_{1}+Ra_{2}=R$. Dann lässt sich $M$ in eine direkte Summe $M=M_{1}\oplus M_{2}$ zweiter Untermoduln $M_{i}$ zerlegen, für die gilt: $\operatorname {Ann} (M_{1})=Ra_{1}$ und $\operatorname {Ann} (M_{2})=Ra_{2}$. Setzt man die Zerlegung von $a$ bis zu einer Zerlegung $a=\prod _{p|a}p^{v_{p}(a)}$ in Potenzen von Primelementen $p\in R$ fort, so erhält man die Primärzerlegung : $M=\bigoplus _{p|a}M_{p}$ mit $\operatorname {Ann} (M_{p})=Rp^{v_{p}(a)}$. Die Summe erstreckt sich natürlich nur über endlich viele Primelemente, nämlich jene, die $a$ teilen: $p|a$.

Anmerkung: Hat $M$ einen torsionsfreien Anteil, so kann dieser zunächst (gemäß Elementarteilersatz) abgespalten werden und sodann die Primärzerlegung angewendet werden. Der torsionsfreie Anteil ist ein freier Modul.

• Auf jede dieser Primärkomponenten $M_{p}$ lässt sich nun der Elementarteilersatz anwenden und somit ihre Elementarteilerkette bestimmen: Notwendigerweise werden sämtliche $\varepsilon _{p,i}$ Teiler von $p^{v_{p}(a)}$ sein, also Potenzen von $p$.
• Auch das umgekehrte Vorgehen ist möglich: Zerlege $M$ zuerst in seine „Elementarteiler“ (will sagen: in zyklische Untergruppen, deren Ordnungen $\varepsilon _{i}$ eine Teilerkette bilden) und anschließend zerlege jede zyklische Untergruppe in ihre Primärkomponenten.

Ob zuerst die zyklischen Untergruppen $Z_{i}<M$ (also die Elementarteiler, deren Ordungen eine Teilerkette bilden,) eines Moduls $M$ bestimmt wird und dann jede von ihnen in ihre Primärkomponenten $Z_{i}=\bigoplus _{p}Z_{(i,p)}$ zerlegt wird oder aber umgekehrt zunächst der Modul in seine Primärkomponenten $M=\bigoplus _{p}M_{p}$ und dann jede von diesen in ihre Elementarteiler $M_{p}=\bigoplus _{i}M_{(p,i)}$, ist gleichgültig: Beides läuft auf isomorphe Zerlegungen, das heißt auf Zerlegungen in primärzyklische Untergruppen, die paarweise einander isomorph sind: $Z_{(i,p)}\cong M_{(p,i)}$.

Text der Überschrift

$M$	zugehöriger Elementarteiler $\varepsilon$	Primärzerlegung →	$M_{p_{1}}$	$M_{p_{2}}$	$\cdots$	$M_{p_{s}}$	Überschrift
Zerlegung in zyklische Untergruppen („Elementarteiler“) ↓	$(\varepsilon _{i})=\operatorname {Ann} (Z_{i})=\operatorname {Ord} (z_{i})$	↓ oder →	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Beispiel
$Z_{1}$	$\varepsilon _{1}\sim \prod _{p}(\dots )$ Es ist $(\varepsilon _{1})=\operatorname {Ann} (M).$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{2}$	$\varepsilon _{2}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{3}$	$\varepsilon _{3}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\vdots$	$\varepsilon _{i}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{r}$	$\varepsilon _{r}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\{0\}$	$\varepsilon _{r+1}\sim 1$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\vdots$	$\varepsilon _{r+2}\sim 1$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel

Da $R/(p)$ für ein Primelement $p\in R$ ein Körper ist, lassen sich zum Beweis der Sätze der Elementarteilertheorie die Primärzerlegung zusammen mit Ergebnissen der Linearen Algebra verwenden. So lassen sich bspw. die Ulmschen Invarianten betrachten: $U(i,p,M):=\dim _{R/pR}\left(p^{k-1}M/p^{k}M\right)$.

Elementarteiler von Primärmoduln

Beweis mit Mitteln der linearen Algebra möglich. Ulmsche Invarianten. Heckescher Beweis. etc.

Induktiver Beweis über reine Untermoduln

Nach Heinz Prüfer lässt sich der Elementarteilersatz auch durch Induktion über so genannte reine Untermoduln führen.

Literatur

• Nathan Jacobson: Basic Algebra. Seite 188 letzte drei Aufgaben.
• Irvin Kaplansky: Infinite Abelian Groups, Ann Arbor, The University of Michigan Press, 1954, 1969 (Revised Edition).
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1988.
• Heinz Prüfer (Mathematiker):
  • Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen, Math. Zeit., Band 17 (1923), Seiten 35-62. DigiZeitschriften online
  • Theorie der abelschen Gruppen, I, Grundeigenschaften, Math. Zeit., Band 20 (1924), Seiten 165-187. DigiZeitschriften online
  • Theorie der abelschen Gruppen, II, Ideale Gruppen, Math. Zeit., Band 22 (1925), Seiten 222-249. DigiZeitschriften online

Folgerungen

Kriterium für Zyklizität

Für endliche zyklische Gruppen (Module über $\mathbb {Z}$ oder allgemeiner über euklidischen Ringen oder gar Hauptidealringen) sind Annullator(ideal) und Ordnung(sideal) gleich:

$G=\langle x\rangle \Rightarrow \operatorname {Ann} (G)=\operatorname {Ord} (G)\;,$

wobei $\operatorname {Ann} (G):=\operatorname {min} \{0\neq r\in \mathbb {N} |\forall x\in G:rx=0\}$ und $\operatorname {Ord} (G):=(G:1)=\#G$. Bei multiplikativ notierten abelschen Gruppen spricht man den Annullator auch als den Exponenten der Gruppe an. Der Elementarteilersatz liefert auch die Umkehrung: Stimmen Ordnung und Annullator überein, so ist die Gruppe zyklisch. Der Elementarteilersatz liefert überdies eine allgemeinere Aussage: Jede abelsche Gruppe ist isomorph einem direkten Produkt zyklischer Gruppen, deren Ordnungen eine Teilerkette bilden. Dabei ist die Teilerkette (bis auf Einheiten, also im Falle von Moduln über $\mathbb {Z}$ bis auf $\pm 1$) eindeutig bestimmt, insbesondere auch ihre Länge. Zyklische Moduln sind gerade dadurch gekennzeichnet, dass ihre Elementarteilerkette die Länge 1 hat. Anmerkung: Dies sind sämtlich Torsionsgruppen. Nimmt man auch torsionsfreie Anteile hinzu und gibt ihnen die Ordnung 0 (Die Null ist Vielfaches einer jeden Zahl), so gelangt auch die unendliche Gruppe $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /(0)$ in den Blick.

Die Aussagen des Elementarteilertheorie gelten nicht nur für Moduln über dem Ring $\mathbb {Z}$ (also abelsche Gruppen), sondern für beliebige Moduln über Hauptidealringen. Typisches Beispiel ist die Polynomalgebra $K[X]$ in einer Unbestimmten $X$ über einem Körper $K$.

Torsionsfreiheit und Freiheit

Nachdem Elementarteilersatz sind torsionsfreie Moduln über Hauptidealringen frei. Nach dem Artikel über flache und über torsionsfreie Moduln fallen also für Moduln über einem Hauptidealring $R$ die Begriffe „frei“, „projektiv“, „flach“ und „torsionsfrei“ zusammen.

Tatsächlich ist $R$ Dedekind-Ring, so dass aus Torsionsfreiheit die Flachheit folgt. Ferner sind endlich erzeugte Moduln über $R$ nach der Basisversion des Elementarteilersatzes endlich präsentabel, so dass aus der Flachheit die Projektivität folgt. Über Hauptidealringen folgt aus der Projektivität die Freiheit.

Anwendungen

Der Elementarteilersatz besitzt eine Reihe interessanter Anwendungen. Umgekehrt ordnen sich eine Reihe bekannter Ergebnisse aus verschiedenen Bereichen ihm unter. Hier seien aufgeführt:

• Fall $R=\mathbb {Z}$
  • Kriterium für endliche zyklische Gruppen
  • Zyklizität endlicher Untergruppen der Einheitengruppe von Körpern
  • Existenz primitiver Einheitswurzeln bzw. einer Primitivwurzel modulo p
• Fall $R=K$: Klassifikation endlicher erzeugter Vektorräume anhand ihrer Dimension.
• Fall $R=K[X]$
  • Struktur von Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension $n<\infty$ und $n$ reihigen quadratischen Matrizen
  • Satz über die Existenz einer Normalbasis einer zyklischen Galoiserweiterung
  • Rekursive Folgen
  • Lösungen linearer DGl erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
  • Partialbruchzerlegung

Endlich erzeugte Moduln über Z: Abelsche Gruppen und Kriterium für Zyklizität

Im Falle $R=\mathbb {Z}$ heißt der Elementarteilersatz auch Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Beschränkt man sich dabei auf endlich erzeugte Torsionsmoduln, so ist es der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.

Es ergeben sich Kriterien für Zyklizität endlicher abelscher Gruppen, denn für eine endliche abelsche Grupppe $G$ sind gemäß Elementarteilersatz (und Primärzerlegung) äquivalent:

• $G$ ist zyklisch.
• Annullatorideal (ihr Exponent) und Ordnung(sideal) von $G$ sind gleich.
• Zu jedem Teiler $d|(G:1)$ der Gruppenordnung gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $d$.
• Zu jedem Primzahlpotenzteiler $p^{m}|(G:1)$ der Gruppenordnung gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p^{m}$.
• Zu jedem maximalen Primzahlpotenzteiler $p^{m}|(G:1)$ (also mit $p^{m+1}\not |(G:1)$) gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p^{m}$.
• Zu jedem Primteiler $p|(G:1)$ gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p$.
• Zu jedem Primteiler $p|(G:1)$ gibt es genau $p-1$ Elemente aus $G$ mit der Ordnung $p$.
• Für jedes $0<k\in \mathbb {N}$ ist $\#\{x\in G\;|\;x^{k}=1\}\leq k$.

Zyklizität endlicher Untergruppen der Einheitengruppe von Körpern

Satz: Jede endliche Untergruppe $G\leq K^{\times }$ der multiplikativen Gruppe $K^{\times }$ eines Körpers $K$ ist zyklisch. Zum Beweis wähle man $h\in \mathbb {N}$ wie folgt:

$h=\operatorname {min} \{h\in \mathbb {N} \backslash \{0\}\,|\,\forall x\in G\colon x^{h}=1\}=:\operatorname {ann} (G)$

Diese Zahl wird bei multiplikativ notierten abelschen Gruppen auch der Exponent der Gruppe $G$ genannt. Sie erzeugt das Annullatorideal der Gruppe $G$ betrachtet als $\mathbb {Z}$-Modul: $(h)=\operatorname {Ann} (G)$. Dann ist jedes Gruppenelement aus $G$ Nullstelle des Polynoms $X^{h}-1$. Da dieses Polynom (schon in einem Integritätsring, also erst recht in einem Körper) einerseits höchstens $h$ Nullstellen besitzt, andererseits der Exponent $h$ ein Teiler der Gruppenordnung $n:=(G:1)\in (h)$ ist, folgt die Gleichheit: $n:=(G:1)\leq h|n$, also $h=n$. Vor dem Hintergrund der Elementarteilertheorie ist dies gerade das Kriterium ($\operatorname {char} M=\operatorname {ann} M$) für die Zyklizität.

Ohne Berufung auf den Elementarteilersatz und sein Kriterium für Zyklizität kann der Beweis auf folgende Weisen zu Ende geführt werden. Dazu vergegenwärtige man sich zunächst, dass obige Überlegung natürlich auch auf jede Untergruppe $U<G$ zutrifft: Die Gruppenordnung $(U:1)$ stimmt mit dem Annullator (Exponent) der abelschen Gruppe (betrachtet als Modul über $\mathbb {Z}$) überein.

1. Nachvollzug der Primärzerlegung: Zerlege $h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in G$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann. Für $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $(\langle y_{i}\rangle :1)=:\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$. Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun: $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h.$ – Tatsächlich erhält man auf diese Weise die Primärzerlegung der Gruppe $G$ in $p_{i}$-primäre Torsionsmoduln: $G=\bigoplus _{i}\langle y_{i}\rangle \cong \bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(p_{i}^{v_{i}})$ – Für die beiden folgenden Beweise genügt als Voraussetzung über die Gruppe $G$: Zu jedem Teiler $d|n:=(G:1)$ enthält die Untergruppe (!) $U:=\{x\in G\,|\,x^{d}=1\}$ höchstens $d$ Elemente. Es bezeichne $f(m):=\#\{x\in G|\operatorname {ord} x=m\}$.
2. Nutzung der Möbiussche Umkehrformel: Für Teiler $d|n:=(G:1)$ der Gruppenordnung gibt dann die Summe $F(d):=\sum _{m|d}f(m)$ die Anzahl der Nullstellen von $X^{d}-1$ in $G$ an. Dabei ist $F(d)=d$, denn das Polynom $X^{n}-1$ zerfällt schon in der betrachteten Gruppe $G$ in Linearfaktoren $\prod _{x\in G}(X-x)$, also auch seine Polynomteiler $X^{d}-1|X^{n}-1$. Nach der Möbiusschen Umkehrformel ist also $f(m)=\sum _{d|m}F({\frac {m}{d}})\mu (d)=\sum _{d|m}{\frac {m}{d}}\mu (d)=\varphi (m)$, was für $m=n$ zu zeigen war. – Der strukturelle Hintergrund dieser Argumentation tritt deutlicher hervor (und die Möbiussche Umkehrformel in den Hintergrund), wenn man die Reihenfolge der Argumente ändert und dazu die zahlentheoretische Funktion $f$ gleich mit Hilfe der Eulerschen Phi-Funktion notiert, wie in der folgenden Argumentation:
3. Nachweis, dass die Kette der Elementarteiler die Länge 1 hat: Für eine endliche abelsche Gruppe $G$ der Ordnung $n:=(G:1)$ bezeichne $\kappa _{G}(d)$ die Anzahl ihrer zyklischen Untergruppen der Ordnung $d$. Da jedes Element von $G$ eine zyklische Gruppe erzeugt, deren Ordnung $d$ ein Teiler von $n$ ist und die genau $\varphi (d)$ (Eulersche Phi-Funktion) erzeugende Elemente enthält, gilt $f(d)=\kappa _{G}(d)\varphi (d)$ für jeden Teiler $d|n$, und durch Summation erhält man $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)$. Wenn es sich bei $G$ um eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Körpers handelt, so ist $\kappa _{G}(d)\in \{0,1\}$, d. h., es kann zu einem Teiler $d|n$ höchstens eine solche zyklische Untergruppe geben, da $X^{d}-1$ höchstens $d$ Nullstellen hat. Also folgt in diesem Falle $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)\leq \sum _{d|n}\varphi (d)=n$, mithin $\forall d|n\colon \kappa _{G}(d)=1$, was für $d=n$ zu zeigen war.

Dabei wurde die Summationsformel $\sum _{d|n}\varphi (d)=n$ benutzt: Ihr elementarer Beweis enthält also im Kern ein Kriterium für die Zyklizität einer endlichen abelschen Gruppen der Ordnung $n$: Gibt es zu jedem ihrer echten Teiler $d|n$ genau eine zyklische Untergruppe dieser Ordnung, so ist sie selbst auch zyklisch (vgl. Frey). Ein anderer elementarer Beweis dieser Summationsformel nutzt hingegen die Möbiussche Umkehrformel (siehe Vinogradov). – Wendet man die Möbiussche Umkehrformel auf die obige Gleichung $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)$ an, so erhält man $\kappa _{G}(n)\cdot \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}$. Zusammen mit $\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=\varphi (n)$ ergibt sich $\kappa _{G}(n)=1$.

Es ist hiermit zugleich erneut (ohne Nutzung der Elementarteilertheorie) der allgemeine Satz gezeigt: Verfügt eine endliche Gruppe der Ordnung $n$ zu jedem Teiler $d|n$ über höchstens $d$ Elemente mit $X^{d}=1$, so ist sie zyklisch.

Beispiele hierfür sind die folgenden Anwendungen:

Existenz primitiver Einheitswurzeln

Angewandt auf die Untergruppe $\mu _{n}$ der $n$-ten Einheitswurzeln, falls $\operatorname {Char} K\not |\;n$, d. h., falls $n\cdot 1_{K}\neq 0_{K}$: Es gibt $\varphi (n)$ primitive Einheitswurzeln. Hierbei wird benutzt, dass $X^{n}-1$ separabel ist. Dabei beachte, dass die Polynome $X^{n}-1$ und $X^{p^{k}n}-1=(X^{n})^{p^{k}}-1^{p^{k}}=(X^{n}-1)^{p^{k}}$ aus dem Polynomring $K[X]$ für $\operatorname {Char} K=:p\not |\;n$ dieselben Nullstellen haben, mit dem einzigen Unterschied, dass es für das zweite Polynom $p^{k}$-fache Nullstellen sind.

Existenz von Primitivwurzeln (modulo p)

Speziell für die Einheitengruppen endlicher Primkörper $K=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ ergibt sich der Satz über die Existenz von Primitivwurzeln modulo $p$, wobei $n=p-1$ zu setzen ist.

Moduln über R = K: Vektorräume, Dimension und Rang als Invarianten

Im Falle eines Körpers als Hauptidealring erhält man bekannte Ergebnisse aus der linearen Algebra:

• die Klassifikation von Vektorräumen durch ihre Dimension und
• die Klassifikation quadratischer Matrizen (bzw. von Vektorraum-Endomorphismen) durch ihren Rang.

Denn: Körper sind Hauptidealringe mit nur zwei Idealen: Da ein Körper $K=\{0\}\;{\stackrel {\bullet }{\cup }}\;K^{*}$ neben der Null nur Einheiten enthält, sind die beiden trivialen Ideale $(0)$ und $(1)=K$ die einzigen Ideale. Das Nullideal ist maximal und Primideal. Als Elementarteiler ist nur die Null von Interesse und liefert nach der Strukturversion einen eindimensionalen freien Anteil. Ein endlich erzeugter Vektorraum über $K$ ist also durch den Rang des freien Anteils bis auf Isomorphie gekennzeichnet, und dieser heißt bekanntlich die Dimension des Vektorraums.

Die Basisversion liefert den bekannten Basisergänzungssatz.

Die Homomorphismusversion liefert für eine $K$-lineare Abbildung $T:V\to W$ die bekannte Beziehung $\dim \ker f+\dim \operatorname {bild} f=\dim V$.

Für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n,K)$ liefert die Matrixversion des Elementarteilersatzes eine Äquivalenzrelation der Assoziiertheit:

$A\sim B:\Longleftrightarrow \exists Q,P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon A=QBP$

Die Äquivalenzklassen sind gekennzeichnet durch den Rang einer Matrix, das heißt es sind äquivalent:

• $A\sim B$
• $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B$

Repräsentanten für die Äquivalenzklassen sind Matrizen mit lauter Nullen und genau $\operatorname {rang} A$ Einsen in der Hauptdiagonale:

$A\sim {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

Die Äquivalenzklassen von Matrizen $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)=:\mathbf {R}$ gleichen Ranges sind sehr groß. Das spiegelt sich darin wider, dass die Elementarteiler für Körper $R=K$ trivial (1 oder 0) sind und die Äquivalenzklassen „nur“ Ergebnisse aus der linearen Algebra zurückliefern, nämlich die Klassifikation endlichdimensionaler Vektorräume durch ihre Dimension.

Interessanter ist in diesem Falle eine feinere Klassifikation, welche von der Äquivalenzrelation der Ähnlichkeit geliefert wird:

$A\approx B:\Longleftrightarrow \exists P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon A=PBP^{-1}$.

Ähnliche Matrizen stellen bekanntlich denselben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen dar.

Ein Licht auf die Ähnlichkeitsklassen wird bemerkenswerterweise durch die nun folgende Anwendung $R=K[X]$ geworfen. Dies ist vor allem der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium) zu danken. Aus diesem Grund versteht man in der Regel – in abkürzender Sprechweise – unter den Elementarteilern einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)=:\mathbf {R}$ nicht die obigen trivialen Elementarteiler (nur Einsen und Nullen), sondern die Elementarteiler der zugehörigen so genannten charakteristischen Matrix $A-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\mathbf {R} [X]$: Diese sind also Polynome aus dem Polynomring $K[X]$, einem Hauptidealring. Sie sind nicht a priori trivial und enthalten tieferliegende Information über die Matrix $A$. Dies ist Gegenstand der nun folgenden Anwendung.

Torsionsmoduln über R = K[X]: Zerlegung quadratischer Matrizen und von Vektorraum-Endomorphismen

Wählt man als Hauptidealring $R$ die Polynomalgebra $R=K[X]$ über einem Körper $K$, so liefert die Strukturversion des Elementarteilersatzes – angewandt auf endlich erzeugte Torsionsmoduln – strukturelle Erkenntnisse über einen $K$-Vektorraum $V$ endlicher Dimension $n:=\dim V$ und seine Endomorphismen: Denn ein endlich erzeugter $K[X]$-Torsionsmodul $V$ ist ein Vektorraum endlicher Dimension über $K$ mit einem ausgezeichneten Endomorphismus $V\to V\colon v\mapsto X\cdot v$. Umgekehrt induziert jeder Endomorphismus $f$ auf einem $K$ Vektorraum $V$ auf diesem eine Struktur als $K[X]$-Modul durch $X\cdot v:=f(v)$. Die Struktur eines endlich erzeugten $K[X]$-Moduls $V$ zu beschreiben, heißt also, die Struktur des $K$ Vektorraumes $V$ in Bezug auf den Endomorphismus $v\mapsto X\cdot v$ zu beschreiben.

In dieser Perspektive besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass der charakteristische Divisor (das charakteristischen Polynom) eines Endomorphismus (bzw. einer Matrix) ein Vielfaches des zugehörigen Annullatorideals (des Minimalpolynoms) ist und daher ebenfalls den Endomorphismus (die Matrix) annulliert.

Dabei hat das Minimalpolynom $\mu _{f}(X)=\epsilon _{r}(X)$ den höchsten Grad in der Kette der Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)|\varepsilon _{i+1}(X)$ aus $R=K[X]$, annulliert daher den gesamten Raum und ist it dieser Eigenschaft von minimalem Grad. Das Produkt $\prod _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}(X)$ der Elementarteiler gerade das charakteristische Polynom $\chi _{f}(X)$ vom Grad $\deg \chi _{f}(X)=\dim _{K}V$ ist. Zu jedem Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)$ gehört ein zyklischer $K[X]$-Untermodul des $K[X]$-Moduls $V$: Dies sind also $f$-invariante $K$-Unterräume $V_{i}$ des Vektorraumes $V$, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie als $K[X]$-Moduln zyklisch sind: Minimalpolynom $\mu _{i}(X):=\mu _{f|_{V_{i}}}(X)$ und charakteristisches Polynom $\chi _{i}(X):=\chi _{f|_{V_{i}}}(X)$ der auf $V_{i}$ eingeschränkten Abbildung $f|_{V_{i}}$ sind also gleich $\varepsilon _{i}(X)$ und haben den Grad $\deg \mu _{i}(X)=\deg \chi _{i}(X)=\deg \varepsilon _{i}(X)=\dim _{K}V_{i}=:n_{i}$. Dabei ist die Summe $\sum _{i=1}^{r}n_{i}=\deg \chi (X)=\dim _{K}V=n$.

Die Darstellungsmatrix derartiger zyklischer Endomorphismen ist (bei geeigneter Basiswahl) die Frobeniussche Begleitmatrix zum Polynom $\mu _{i}(X)=\chi _{i}(X)$.

Hat man zuvor die Primärzerlegung des $K[X]$-Moduls $V$ in seine Primärkomponenten $V_{p}$ vorgenommen, so lässt sich (ohne Einschränkung der Allgemeinheit also) annehmen, dass jedes $\mu _{i}=\chi _{i}=\varepsilon _{i}$ eine Potenz $\mu _{i}(X)=p_{i}(X)^{m_{i}}$ eines irreduzible Polynoms $p_{i}(X)$ ist.

Wenn ein Elementarteiler $\mu _{i}(X)=\chi _{i}(X)=(X-\alpha _{i})^{n_{i}}\in K[X]$ Potenz eines Linearpolynoms ist, so handelt sich beim zugehörigen Teilraum $V_{i}$ um den Hauptraum zum Eigenwert $\alpha _{i}$ von der Dimension $\dim V_{i}=n_{i}$. Ist dabei $n_{i}=1$, so ist es der Eigenraum zum Eigenwert $\alpha _{i}$, denn es gilt für jedes $v\in V_{i}$: $X\cdot v=f(v)=\alpha _{i}\cdot v$, mit anderen Worten: $V_{i}=\ker(f-\alpha _{i})$. <STIMMT NOCH NICHT GANZ. Algebraische und geometrische Vielfachheit unterscheiden ...>

Ist $K$ algebraisch abgeschlossen, so ist jedes irreduzible Polynom linear.

Dieser Endomorphismus $v\mapsto X\cdot v=f(v)$ wird – nach Wahl einer willkürlich gewählten Basis – durch eine quadratische Matrix dargestellt. So spiegeln sich die strukturellen Einsichten in dieser Matrix wider. Dabei wird die Wahl einer anderen Basis eine ähnliche Darstellungsmatrix liefern, also aus derselben Ähnlichkeitsklasse.

So wird sich die Strukturversion des Elementarteilersatzes in Ähnlichkeitsklassen von Matrizen widerspiegeln, die in der Diagonalen aus Frobeniusschen Begleitmatrizen bestehen.

Nun betrachtet die Matrixversion des Elementarteilersatzes eine Klassifikation der quadratischer Matrizen $A(X),B(X)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ durch die Äquivalenzrelation der arithmetischen Äquivalenz („$\sim$“):

$A(X)\sim B(X):\Longleftrightarrow \exists P(X),Q(X)\in \operatorname {GL} (n,K[X])\colon A(X)=P(X)B(X)Q(X)$.

Der Satz von Frobenius erkennt nun einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Ähnlichkeit von Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ und der arithmetischen Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\mathbf {R} [X]$: Er besagt nämlich, dass die Ähnlichkeit zweier Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ gleichbedeutend mit der arithmetischen Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X]$ ist. Die beiden folgenden Aussagen sind nach diesem Satz (bzw. der Definition arithmetischer Äquivalenz) äquivalent:

• $A\approx B$
• $\exists P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon AP=PB$.
• $A-XE\sim B-XE$
• $\exists P,Q\in \operatorname {GL} (n,K[X])\colon AQ=PB$

Die Determinante der charakteristischen Matrix $A-XE$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix $A$ und hängt also nur von ihrer Ähnlichkeitsklasse ab. Die Zerlegung des charakteristischen Polynoms in irreduzible Faktoren liefert die Primärzerlegung und birgt aus Sicht des Elementarteilersatzes die Zerlegung in zyklische Unterräume.

Nullstellen $\alpha$ des charakteristischen Polynoms sind Eigenwerte, weil für sie die Matrix $A-\alpha E$ nicht regulär ist, die dargestellte Abbildung also einen nicht verschwindenden Kern hat: Dieser besteht aus Eigenwerten zu $\alpha$.

Basisversion: <text text>

Homomomorphismen von Moduln über Polynomringen

Es seien $V$ ein (endlich erzeugter) Modul über dem Polynomring $K[X]$ und $W$ ein (endlich erzeugter) Modul über dem Polynomring $K[Y]$. Die Unterscheidung der beiden Unbestimmten $X$ und $Y$ dient nur der augenfälligen Unterscheidung der beiden Endomorphismen $V\to V,\,v\mapsto X\cdot v$ und $W\to W,\,w\mapsto Y\cdot w$.

Ein Homomomorphismus $T\colon V\to W$ ist offenbar ein $K$-Vektorraum-Homomorphismus $V\to W$ mit der Eigenschaft $T(X\cdot v)=Y\cdot T(v)$, also auch $T(X^{i}\cdot v)=Y^{i}\cdot T(v)$ und folglich $T(f(X)\cdot v)=f(Y)\cdot T(v)$.

Sind $V,W$ als $K$-Vektorräume gleich, so ist ein Homomorphismus $T\colon \sideset {_{K[X]}}{}{V}\to \sideset {_{K[Y]}}{}{V}$ als ein Endomorphismus der $K$-Vektorräume zu verstehen, der die Eigenschaft hat: $T(X\cdot v)=Y\cdot T(v)$. Im Falle von $X=Y$ (soll heißen: gleicher Abbildung $X\cdot v=Y\cdot v$ für alle $v\in V$) ist also $T$ mit $X$ vertauschbar: Beide sind vertauschbare $K$-Vektorraumhomomorphismen auf $V$. Ein $K[X]$-Endomorphismus auf $V$ ist also ein $K$-linearer Endomorphismus auf $V$ der mit einem anderen (nämlich dem durch $X$ induzierten) vertauschbar ist. Die Vertauschbarkeit zweierEndomorphismen lässt sich also in der Sprache von $K[X]$-Endomorphismen beschreiben.

Homomorphismusversion: <text text>

Existenz einer Normalbasis für zyklische Körpererweiterungen

Endliche Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis. Der Beweis für den Fall einer zyklischen Galoiserweiterung $L/K$ ergibt sich als Folge der Theorie von Moduln über euklidischen oder allgemeiner Hauptidealringen. Die Argumentation ist analog derjenigen zum Beweis, dass endliche Untergruppen der Einheitengruppen von Körpern zyklisch sind. Als wesentliches Argument tritt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind an die wesentliche Stelle des Satzes über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms. Der Beweis ist beim Zeichen „◀“ erbracht, wenn das Zyklizitätskriterium genutzt werden kann. Wenn es nicht genutzt werden soll, so kann der Beweis durch Primärzerlegung zu Ende geführt werden, wie nach dem Zeichen dargestellt.

Beweis, dass Länge der Elementarteilerkette gleich 1: Gegenüberstellung der Beweisführungen

Satz: Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers sind zyklisch.	Satz: Zyklische Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis.
Voraussetzungen: Es sei $U<K^{\times }$ endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers. Es sei $n:=(U:1)$, so dass nach dem Satz von Lagrange $x\in U\Rightarrow x^{n}=1$. Also ist der Annullator (Exponent) $h:=\operatorname {ann} (U):=\operatorname {min} \{k\geq 1|\forall x\in K:x^{k}-1=0\}$ ein Teiler von $n$.	Voraussetzungen: Es sei $L/K$ eine zyklische Erweiterung vom Grade $[L:K]=n$ mit Galoisgruppe $G=G(L/K)$, so dass $(G:1)=n$ und $K=L^{\sigma }=L^{G}$ für ein $\sigma \in G$ mit $G=\langle \sigma \rangle$ und $\operatorname {ord} \sigma =n$. Es gilt dann $\sigma ^{n}=1$. Also ist das Minimalpolynom $\mu _{\sigma }(X)$ von $\sigma$ ein Teiler von $X^{n}-1$, mithin $\deg \mu _{\sigma }\leq n$.
Andererseits liefert der Satz über die Anzahl von Nullstellen die umgekehrte Implikation, also die Gleichheit von Annullator und Ordnung der Gruppe $U$: $h=n$.	Andererseits liefert der Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Umkehrung: $(G:1)\leq \deg \mu _{\sigma }$. Also gilt die Gleichheit $\deg \mu _{\sigma }(X)=n=(G:1)=\dim _{K}L$, mithin sind Minimal- und charakteristisches Polynom gleich, nämlich $\mu _{\sigma }(X)=X^{n}-1=\chi _{\sigma }(X)$.
Also ist $U$ zyklisch über $\mathbb {Z}$, das heißt es gibt ein $x\in U$ mit $U=x^{\mathbb {Z} }$. ◀	Also ist $L$ zyklisch als Modul über dem Hauptidealring $K[X]$ bezogen auf $\sigma$ mit $X^{n}-1$ als Minimalpolynom. Das heißt, es gibt ein $y\in L$ mit $L=K[X]\cdot y=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\cdot \sigma ^{i}(y)$. Damit ist die gesuchte Normalbasis gefunden. ◀
Wenn die Gleichheit von Annullator (Exponent) und charakteristischem Divisor (Ordnung) als Kriterium für Zyklizität nicht zur Verfügung stehen, kann der Beweis durch Primärzerlegung wie folgt zu Ende geführt werden.	Wenn die Gleichheit von Annullator (Minimalpolynom) und charakteristischem Divisor (Charakeristischem Polynom) als Kriterium für Zyklizität nicht zur Verfügung stehen, kann der Beweis durch Primärzerlegung wie folgt zu Ende geführt werden.
Zerlege $n=h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in U$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann, aber $h_{i}<h=n=(U:1)$.	Zerlege $\mu (X)=\prod _{i}p_{i}(X)^{v_{i}}$ in irreduzible Faktoren, setze $\mu _{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)}}$ und finde $x_{i}\in L$ mit $\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0$ für jedes $i$. Das ist möglich, weil $\deg \mu _{i}<\deg \mu =\operatorname {ord} \sigma$.
Für die Ordnung $\operatorname {ord} y_{i}:=(\langle y_{i}\rangle :1)$ von $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$.	Für das Minimalpolynom $\mu _{y_{i}}(X)$ von $y_{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)^{v_{i}}}}\cdot x_{i}$ gilt somit $\mu _{y_{i}}(X)=p_{i}(X)^{v_{i}}$, denn ${p_{i}(X)^{v_{i}-1}}\cdot y_{i}=\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0=\mu \cdot x_{i}=p_{i}(X)^{v_{i}}\cdot y_{i}$
Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h=n\,.$	Für die Summe $y:=\sum _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}\in L$ gilt nun $\operatorname {ann} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ann} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ann} y_{i}=\mu (X)\,.$
Also ist $\mathbb {Z} \to U,\,k\mapsto y^{k}$ surjektiv mit Kern $(h)=(n)$, d. h. $U=\{y^{i}|i=0,\dots ,h-1\}$.	Also ist $K[X]\to L,\,f(X)\mapsto f(X)\cdot y$ surjektiv mit Kern $\mu (X)=X^{n}-1$, d. h. $L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\sigma ^{i}(y)$.

Hintergrund: Diese Polynomalgebra $R:=K[X]$ ist ein euklidischer Ring, also ein Hauptidealring. Für das charakteristische Ideal $\operatorname {Char} L$ des $R$-Moduls $L$ gilt im Allgemeinen: $\operatorname {Ann} L{\big \vert }\operatorname {Char} L$. Nun wurde sogar gezeigt: $\operatorname {Char} L=\operatorname {Ann} L$. Diese Bedingung ist gleichwertig damit, dass die Länge der Elementarteilerkette des Moduls $L$ über $R$ gleich $1$ ist. Dies aber bedeutet, dass der Modul zyklisch ist.

Da endliche Galois-Erweiterungen endlicher Körper zyklisch sind, ist damit der Fall endlicher Körper erledigt: Endliche Erweiterungen von Galois-Feldern besitzen eine Normalbasis.

Für endliche nicht-zyklische Erweiterungen, die notwendig unendliche Grundkörper besitzen, wird der Beweis auf andere Weise geführt.

Rekursive Folgen

Die Polynomalgebra $K[X]$ über dem Körper einem $K$ operiert auf dem Modul aller Folgen $f\colon \mathbb {N} \to K$ (auch als $(f_{i})$ mit $f_{i}:=f(i)$ notiert) durch punktweise Multiplikation mit einem $x\in K$ und durch $(X\cdot f)(i):=f(i+1)$ für jedes $i\geq 0$.

Für eine Folge $f$ sind dann offensichtlich äquivalent:

• $f$ erfüllt die Rekursionsgleichung $f_{n+k}:=x_{0}\cdot f_{n}+x_{1}\cdot f_{n+1}+\dots x_{k-1}\cdot f_{n+k-1}$
• $f$ wird vom Polynom $\mu _{f}=X^{k}-x_{k-1}X^{k-1}-\dots -x_{0}$ annulliert.

Das minimale Polynom, welches eine Folge $f$ annulliert, heißt minimales Rekursionspolynom $\mu _{f}(X)$ und ist zugleich Minimal- und charakteristisches Polynom des zyklischen Folgenraumes $K[X]\cdot f$, welcher über $K$ die Dimension $k$: Dies ist der Freiheitsgrad, der bei der Festlegung der ersten $k$ Folgenglieder $f_{0},\dots f_{k-1}$ besteht. Die nachfolgenden Glieder sind durch die Rekursion festgelegt.

Beispielsweise wird die Fibonacci-Folge vom Polynom $X^{2}-X-1$ annulliert, dessen positive Nullstelle gerade der goldene Schnitt (aurea divisio) ist: $x^{2}-x-1=0\Leftrightarrow x(x-1)=1\Leftrightarrow x:1=1:(x-1)$.

Kein Zufall, dass in der Fibonacci-Folge auch die Nullstellen dieses Polynoms schlummern, nämlich in Gestalt der Formel von Moivre-Binet.

Für ein über $K$ zerfallendes Rekursionspolynom $f(X)=\prod _{i}(X-\alpha _{i})\in K[X]$ besitzt diese Formel eine Verallgemeinerung in Abhängigkeit von ihren Wurzeln $\alpha _{i}\,(i=1,\dots ,\deg f)$.

Partialbruchzerlegung

Es sei $R$ ein Hauptidealring und $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper, betrachtet als $R$-Modul, so dass sich der Faktormodul $K/R$ bilden lässt. Dieser ist ein $R$-Modul. Allerdings ist er nicht endlich erzeugt.

Literatur

• Bartel Leendert van der Waerden
• Serge Lang

Originalarbeiten

Für den Elementarteilersatz sind folgende Originalarbeiten von Georg Frobenius zu nennen:

• Ferdinand Georg Frobenius: „Über lineare Substitutionen und bilineare Formen“, Crelles Journal, Band 84, 1878, Seiten 1-63. Darin § 6 (Aequivalenz), Abschnitt 2, Seite 21 und § 7 (Ähnlichkeit). Frobenius verweist auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker in: Monatsberichte der Berliner Akademie des Wisssenschaften 1868 und 1874), die jedoch mit aufwendigeren Beweisen erzielt wurden.
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 146-208. (datiert: Zürich, April 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger: „Über Gruppen von vertauschbaren Elementen“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 217-262. (datiert: Zürich, Juli 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten (Forts.)“, Crelles Journal, Band 88, 1880, Seiten 96-116. (datiert: Zürich, Januar 1879).

Im genannten Band 86, Seite 147, verweist Frobenius auf folgende Arbeiten:

• Karl Weierstraß: „Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen“, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monatsberichte Berlin, „B.M.“), Sitzung vom 18. Mai 1868.
• Leopold Kronecker: ebenda, 1874.
• Camille Jordan, Comptes rendus 1871, II. sém, p. 787
• Camille Jordan, Liouv. Journ. 1874, p. 35.
• Gaston Darboux, Liouv. Journ. 1874, p. 347.
• Meyer Hamburger: „Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten“ Crelles Journal, Bd. 76, 1873, S. 113-125. (Berlin, Februar 1873)

Ferner verweist Frobenius auf Arbeiten von „Herrn Smith“, die ihm erst nach Vollendung seiner Arbeit zu Gesicht gekommen seien:

• Henry John Stephen Smith: „On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (Phil. Trans.) vol. 151, p. 293. (siehe auch [1])
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes I: On the Arithmetical Invariants of a Rectangular Matrix, of which the Constituents are Integral Numbers“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 236.
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes II: On Systems of Linear Congruences“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 241.

Laut Meyer Hamburger (loc. cit., Seite 124), war es Karl Weierstraß, der in der zitierten Arbeit B.M. 1868 die Definition der Elementartheiler eingeführt hat, siehe auch Karl Weierstraß.