Benutzer:Georg Roch/Spielwiese

Funktionen, auch spricht man oft von Abbildungen, ordnen mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Üblicherweise, so auch im vorliegenden Artikel, gelten nur solche Zuordnungen als Funktionen die eindeutig sind, das heißt, die keinem Objekt mehr als 1 Objekt zuordnen.  Funktionen stehen wie die Mengen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt.

Allgemeine Definitionen und Notationen

Man sieht, wenn eine Funktion $\,{f}$ dem Objekt $\,{u}$ das Objekt $\,{v}$ zuweist, das geordnete Paar $\,{(u,v)}$ als Element vom $\,{f}$ an und schreibt für $\,{(u,v)\in f}$ auch $\,{f\colon u\mapsto v}$.

Funktionsargument, Funktionswert, Definitionsbereich, Bildbereich, injektiv

• Ist $\,{f\colon x\mapsto y}$, dann nennt man

$\,{x}$ ein »Funktionsargument von $\,{f}$ für (den Funktionswert) $\,{y}$«

$\,{y}$ den »Funktionswert von $\,{f}$ für (das Funktionsargument) $\,{x}$« und bezeichnet ihn mit $\,{f(x)}$

• Die Funktionsargumente von $\,f$ bilden den »Definitionsbereich von $\,f$«, den man mit $\,{\mathrm {Def} \,f}$ bezeichnet; formal: $\,{\mathrm {Def} \,f:=\{u\,|\,\exists v\colon (u,v)\in f\}}$
  

• Die Funktionswerte von $\,f$ bilden den »Bildbereich von $\,f$«, den man mit $\,{\mathrm {Bild} \,f}$ bezeichnet; formal: $\,{\mathrm {Bild} \,f:=\{v\,|\,\exists u\colon (u,v)\in f\}}$
  

• Gibt es zu jedem Element $\,{y\in \mathrm {Bild} \,f}$ nur 1 Funktionsargument von $\,{f}$ für $\,{y}$, dann heißt $\,{f}$ »injektiv«
  

Klassifikation bezüglich Definitions- und Bildbereiche: totale-, surjektive-, bijektive Funktion aus A in B

Ist  $\,{\mathrm {Def} \,f\subseteq A}$  und  $\,{\mathrm {Bild} \,f\subseteq B}$,  dann nennt man $\,{f}$ eine »Funktion aus $\,{A}$ in $\,{B}$« mit den Attributen »total«, wenn $\,{\mathrm {Def} \,f=A}$ und »surjektiv«, wenn $\,{\mathrm {Bild} \,f=B}$.
Eine surjektive Funktionen aus $\,{A}$ in $\,{B}$, die injektiv ist, nennt man »bijektive Funktionen aus $\,{A}$ in $\,{B}$«.

Man sagt auch		anstelle von
$\,{f}$ ist eine Funktion von $\,{A}$ in/auf $\,{B}$		$\,{f}$ ist eine totale Funktion aus $\,{A}$ in/auf $\,{B}$
$\,{f}$ ist eine Funktion aus/von $\,{A}$ auf $\,{B}$		$\,{f}$ ist eine surjektive Funktion aus/von $\,{A}$ in $\,{B}$
$\,{f}$ ist eine partielle Funktion von $\,{A}$ in/auf $\,{B}$		$\,{f}$ ist eine Funktion aus $\,{A}$ in/auf $\,{B}$ und $\,{\mathrm {Def} \,f\subset A}$

Für die Aussage “$\,{f}$ ist eine Funktion aus$\,{A}$ in $\,{B}$” schreibt man “${f\colon A\rightsquigarrow B}$” und setzt auf den Pfeil Abkürzungen oder Anfangsbuchstaben zutreffender Attribute (total, surjektiv, injektiv, bijektiv, partiell).

Übliche Pfeilalternativen:	${\stackrel {\mathsf {t}}{\rightsquigarrow }}$	$\to$	${\displaystyle }$
	${\stackrel {\mathsf {ts}}{\rightsquigarrow }}$	${\stackrel {\mathsf {s}}{\to }}$	$\twoheadrightarrow$
	${\stackrel {\mathsf {ti}}{\rightsquigarrow }}$	${\stackrel {\mathsf {i}}{\to }}$	$\rightarrowtail$
	${\stackrel {\mathsf {tb}}{\rightsquigarrow }}$	${\stackrel {\mathsf {b}}{\to }}$	$\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\rightarrowtail$

Der herkömmliche Funktionsbegriff, Funktion als Tripel oder geordnetes Paar, Graph einer Tripel/Paar-Funktion

Im herkömmlichen Funktionsbegriff, der vielfach in der Literatur anzutreffen ist, sind alle Bestandteile der Aussage  ${f\colon A\rightsquigarrow B}$  Mengen, während im allgemeineren Funktionsbegriff es auch echte Klassen sein können. Demnach ist zum Beispiel die Potenzmengenfunktion, die jeder Menge die Menge ihrer Teilmengen zuordnet, im Sinne des herkömmlichen Funktionsbegriffs keine Funktion, im Sinne des allgemeineren jedoch.

In einiger Literatur findet sich der Funktionsbegriff auch noch anders definiert, indem man im Rahmen des herkömmlichen Funktionsbegriffs die Aussagen $\,{f\colon A\rightsquigarrow B}$ und $\,{f\colon A\to B}$ als Tripel $\,{(f,A,B)}$ respektive geordnetes Paar $\,{(f,B)}$ ansieht und $\,{f}$ ihren »Graph« nennt.

Wie man Funktionen beschreiben kann

Bei endlichen Funktionen kann man die Menge ihre Elemente explizit angeben, zum Beispiel mittels einer zweizeiligen oder zweispaltigen Tabelle.

Eine in vielen Fällen ausreichende Beschreibungsform einer Funktion  $\,{f\colon A\rightsquigarrow B}$ lautet  $\,{f:=\{(x,y)\,|\,x\in A\wedge y\in B\wedge y=\mathrm {T} \}}$,  wobei $\,{\mathrm {T} }$ ein Term ist.
Man schreibt hierfür üblicherweise

• $\,{f\colon A\longrightarrow B,x\mapsto \mathrm {T} }$   oder
• $\,{A\longrightarrow B,f(x):=\mathrm {T} }$.
  

Bestimmen sich $\,{A}$ und $\,{B}$ aus dem Kontext, dann verzichtet man auf den Passus “$\,{A\longrightarrow B,}$”

Beispiele:  $\,{f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$   oder   $\,{\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,f(x):=x^{2}}$.   Im Kontext reellzahliger Funktionen:   $\,{f\colon x\mapsto x^{2}}$   oder  $\,{f(x):=x^{2}}$

    $\,{f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \{0,1\},i\mapsto i^{2}}$   oder   $\,{\mathbb {N} \longrightarrow \{0,1\},f(i):=i^{2}}$.   Das ist die Funktion  $\,{\{(0,0),(1,1),(-1,1)\}}$

Mehrstellige Funktion/Verknüpfung, binäre Verknüpfung

Sind für n>1 in $\,{\mathrm {Def} \,f}$ alle Elemente n-Tupel, dann nennt man $\,{f}$ eine »n-stellige Funktion« oder »n-stellige Verknüpfung«, für n=2 auch »binäre Verknüpfung« und schreibt für $\,{f((x_{1},\cdots ,x_{n}))}$ auch $\,{f(x_{1},\cdots ,x_{n})}$, wenn n=2 auch $\,{x_{1}fx_{2}}$, wählt man hier als Funktionsnamen das Zeichen “$\,{\cdot }$”, dann schreibt man anstelle $\,{x_{1}\!\cdot \!x_{2}}$ auch einfach $\,{x_{1}x_{2}}$.

Beschränkung einer Funktion

Man nennt

• $\,{f|\,\!_{X\to Y}:=\{(x,y)\in f\,|\,x\in X\wedge y\in Y\}}$ »Beschränkung für $\,{f}$ aus $\,{X}$ in $\,{Y}$«
• $\,{f|\,\!_{\to Y}:=\{(x,y)\in f\,|\,y\in Y\}}$ »Beschränkung für $\,{f}$ in $\,{Y}$«
• $\,{f|\,\!_{X}:=\{(x,y)\in f\,|\,x\in X\}}$ »Beschränkung für $\,{f}$ aus $\,{X}$«
  

Auswahlfunktion, Kartesisches Produkt

Es seien $\,{f,g\colon A\to B}$.  $\,{g}$ heißt »Auswahlfunktion zu $\,{f}$«, wenn für alle $\,{x\in A}$ gilt: $\,{g(x)\in f(x)}$.
Die Gesamtheit der Auswahlfunktionen zu $\,{f}$ nennt man »kartesisches Produkt über $\,{f}$« und bezeichnet es mit $\,{^{\times }\!\!f}$.
Ist $\,{\mathrm {Def} \,f=\{1,\cdots ,n\}}$, dann schreibt man für $\,{^{\times }\!\!f}$ auch $\,{f(1)\times \cdots \times f(n)}$

Komposition/Verkettung zweier Funktionen

Es seien $\,f\colon B\to C,\,g\colon A\to B$.  Die Funktion $\,f\circ g:A\longrightarrow C,x\mapsto f(g(x))$ nennt man  »Komposition«  oder »Verkettung von $\,f$ und $\,g$«

Funktion auf A, Identität, Fixpunkt, idempotente Funktion, Involution, Permutation

• $\,{f\colon A\to A}$ nennt man »Funktion auf $\,{A}$«
  
• Die Funktion $\,{\mathrm {id} _{A}\colon A\longrightarrow A,x\mapsto x}$ heißt »Identität auf $\,{A}$«
  
• Ist $\,{f}$ eine Funktion auf $\,{A}$ und $\,{a\in A}$, sodass $\,{f(a)=a}$, dann nennt man $\,{a}$ einen »Fixpunkt von $\,{f}$«

Man nennt eine Funktion, $\,{f}$, auf $\,{A}$

• »idempotent«, wenn $\,{f\circ f=f}$
• eine »Involution«, wenn $\,{f\circ f=\mathrm {id} _{A}}$
• eine »Permutation«, wenn sie bijektiv ist.