Benutzer:Gschuchhardt

Ich habe einen Artikel, weiss aber nicht genau, wohin damit. Natürlich weiss ich auch nicht, ob der Sachverhalt schon von jemand anders veröffentlicht ist. Mein Artikel:

Wie weit ist die menge der reellen Zahlen abzählbar?

Die Aussage Cantors, die Menge der reellen Zahlen sei nicht abzählbar, ist zwar korrekt, sollte jedoch genauer spezifiziert werden, und zwar wie fplgt:

Die Menge derjenigen reellen Zahlen, die man als reguläre Zahlen bezeichnen mag, ist in der Tat abzählbar. Dies sind solche Zahlen, die einen konkreten, angebbaren Wert besitzen. Dies setzt voraus, dass sie durch eine Formel oder Beschreibung definiert werden. Hierzu gehören nicht nur alle algebraischen und alle trigonometrischen Zahlen wie Wurzeln und Sinus, ebenso die Potenzen und Logarithmen, ferner alle über eine konvergierende unendliche Reihe oder auf andere Art definierten Zahlen wie zum Beispiel e und pi.

Im Gegensatz zu dieser Menge steht die Menge derjenigen reellen Zahlen, die man als irreguläre Zahlen bezeichnen kann. Dies sind solche Zahlen, die zwar existieren, jedoch keinen konkreten definierten Wert besitzen und mit denen man daher auch nicht normal rechnen kann. Auf diese Menge lassen sich natürlich die Gedanken Cantors ohne weiteres anwenden. Man mag aqber darüber streiten, ob oder wie weit man diese fiktiven Zahlen überhaupt Zahlen nennen darf.

Um zu beweisen, dass die Menge derjenigen reellen Zahlen, die oben als reguläre Zahlen bezeichnet wurden, abzählbar ist, denke man sich einen sortie Satz von n Zeichen. Zu diesen Zeichen mögen zweckmäßigerweise alle Buchstaben sowie das Leerzeichen, die 10 Ziffern, mathematische Symbole und ggf. weitere Zeichen gehören. Die Zahl n dürfte in der Größenordnung von 100 liegen. Die Zählung beginnt mit den n sortierten Texten, die aus nur einem Zeichen bestehen. Weiter folgen mit ansteigendem i die n hoch i sortierten Texte, die aus i Zeichen bestehen. Auch, wenn i gegen Unendlich geht, bleibt die gesamte Menge der Texte abzählbar. Da die Menge der oben genannten regulären Zahlen auf einer Teilmenge dieser Texte basiert, ist sie ebenfalls abzählbar.

Als Kuriosum ist zu bemerken, dass der Beweis Cantors, der unter der Bezeichnung "Zweites Cantor'sches Diagonalverfahren" bekannt geworden ist, mit einer Zahl experimentiert, die zwar in einem Text beschrieben ist und somit unter den Beweis der Abzählbarkeit fällt, dennoch aber nicht aqls reguläre Zahl gelten mag, da sie keinen konkreten Wert besitzt.