Benutzer:JoKalliauer/ArtikelentwurfEinflusslinie

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Die Berechnung einer Kraft- oder Verschiebungsgröße, als Funktion von x infolge einer Wanderlast mit F=1 liefert eine Einflussfunktion, ihre graphische Darstellung heißt Einflusslinie. Sie dient (unter anderem) bei mehreren möglichen Belastungsfällen der effizienten Bestimmung der Belastung die zu einer maximalen (bzw. minimalen) Schnittgröße (N, V, M) führt für eine bestimmten Postition x_{Bemessungsstelle} Eine Einflusslinie sagt nicht nur aus ob eine Last günstig (entlastend) oder ungünstig(belastend) wirkt, sondern auch wie groß der quantitative Einfluss einer Last die an einem Punkt x_Belastung auf die zu suchende Schnittgröße an der Stelle x_{Bemessungsstelle} ist.

Definition

Eine Einflusslinie beschreibt, jenen Faktor, der angibt wie groß die gesuchte Zustandsgröße (Kraftgröße wie Schnittgröße oder Auflagerreaktion; oder eine Verschiebungsgröße wie Verschiebungen oder Verdrehungen) ist an der Stelle x_Bemessung ist, wenn eine Belastung angreift. Meistens werden Einflusslinien für Biegemomente oder Querkräfte bei einer Belastung durch eine Einzellast erstellt, diese sind auch für Beanspruchungen für Streckenlasten geeignet.

Vergleich mit Zustandslinien

Tabelle 1: Vergleich Zustandlinie - Einflusslinie

	Zustandslinien	Einflusslinien
Ort der Belastung:	ortsfest: (zuvor definiert, für den LF konstant)	variabeler Angriffspunkt: (dort wo die Linie aufgetragen wird)
Ort der Beanspruchung:	variabel: (dort wo die Linie aufgetragen wird)	ortsfest: (bestimmter Punkt)

→ Hauptartikel: Zustandslinie

Eine Einflusslinie ist wie eine Zustandslinie eine Funktion in Abhängigkeit der Stabachsenkoordinate x, Einflusslinien unterscheiden sich aber wesentlich von Zustandslinien. Während Zustandslinien nur für einen bestimmten Lastfall (LF) gelten, sind Einflusslinien universelle für beliebige Belastungen auswertbar. Einflusslinien werden in der Regel dafür angewandt, wenn man etwas an einer bestimmten Stelle Dimensionieren will. Beispiel hierfür wäre ein Montagestoß oder eine Auflagerreaktion.

Satz von Betti

2Belastungen

System 1: zuerst wird an der linken, dann an der rechten Stelle belastet

System 2: zuerst wird an der rechten, dann an der linken Stelle belastet

2 Belastungen mit jeweiligen Durchbiegungen

Sowohl für die Einflusslinien von Weggrößen, als auch für die Einflusslinie von Schnittgrößen bei statisch unbestimmten Systemen sind Reziprozitätstheoreme eine wesentliche Grundlage.

Bei rein linear elastischen Materialverhalten, sind Verformungen nicht von der Belastungsgeschichte abhängig, sondern nur aktuellen Belastung abhängig. Da die bei rein elastischen Materialverhalten sämtliche geleistete Arbeit im Sinne von Deformationsenergien rückgewinnbar ist, muss die geleistete Arbeit unabhängig davon sein, in welcher Reihenfolge die Belastungen aufgebracht wurden.

Betrachten wir System 1, wie im Bild rechts dargestellt: Dort wird zuerst F an der Stelle i und dann P an der Stelle j aufgebracht, hier ist bei linearer Elastizität die geleistete Arbeit der äußeren Kräfte:

$A_{1}^{(a)}=F^{(i)}\cdot \left({\frac {\delta _{ii}}{2}}+\delta _{ij}\right)+P^{(j)}\cdot \left({\frac {\delta _{jj}}{2}}\right)$

In System 2, wird zuerst an der Stelle j mit der Last P und anschließend mit der Last F an der linken Stelle belastet, wie im Bild rechts dargestellt. Unter Annahme der linearen Elastizität ist die Arbeit der äußeren Kräfte somit:

$A_{2}^{(a)}=F^{(i)}\cdot \left({\frac {\delta _{ii}}{2}}\right)+P^{(j)}\cdot \left(\delta _{ji}+{\frac {\delta _{jj}}{2}}\right)$

Da die geleistete Arbeit unabhänig vom Belastungsverlauf, also wegunahänig ist, folgt:

$A_{1}^{(a)}=A_{2}^{(a)}$

somit folgt der Satz von Betti:

$F^{(i)}\cdot \delta _{ij}=P^{(j)}\cdot \delta _{ji}$

Der Satz von Betti gilt für beliebige Belastungen, das heißt F und P stehen nur nicht für Kräfte, wie in diesem Fall sondern gelten für alle Kräftgrößen, wie zum Beispiel auch Momente. Hier ist anzumerken, dass dann die Weggrößen δ nicht nur für Verschiebungen, sondern für Weggrößen beliebiger Art sind unter anderem auch Verdrehungen Hieraus folgen folgende Formulierungen:

$F^{(i)}\cdot u_{ij}=F^{(j)}\cdot u_{ji}$

$F^{(i)}\cdot u_{ij}=M^{(j)}\cdot \varphi _{ji}$

$M^{(i)}\cdot \varphi _{ij}=M^{(j)}\cdot \varphi _{ji}$

Man beachte dass der erste Indizes der Weggröße den Ort der Weggröße und der zweite Indizes die Ursache beschreibt. Die Weggröße δ_ij muss der energetisch konjungierte Arbeitspartner der Kraftgröße P^{(j)} sein.

Spezialisiert man den Satz von Betti für F=1 und P=1 folgt der Satz von Maxwell:

$\delta _{ij}=\delta _{ji}$

Satz von Betti für Einflusslinien

Wenn wir an der Bemessungstelle x_i die Verschiebung zufolge einer Last an einer Belastungsstelle x_j wissen wollen ist es, mithilfe des Satzes von Maxwell, möglich statt die Last an Belasungsstelle x_j zu setzen, diese Belastung an die Bemessungstelle x_i zu setzen und die Verschiebung an der Belastungsstelle x_j zu bestimmen, da diese ident ist mit der gesuchten Verschiebung.

Diese Analogie wird für die Konstruktion von Einflusslinien von Verschiebungen verwendet indem man eine gedankliche Last F=1 ausschließlich an die Bemessungstelle x_i setzt mit dieser die Durchbiegungen des Systems bestimmt. Da diese Durchbiegungen δ_ij, an der Stelle x_i zufolge einer Einheitslast an der Stelle x_j, ident sind mit der Durchbiegung δ_ji, an der Stelle x_j zufolge einer Einheitslast an der Stelle x_i, folgt daraus, dass die Durchbiegungen der Einflusslinie für die Durchbiegung an der Stelle x_i.

Einflusslinien für Schnittgrößen bei statisch bestimmten Systemen

Einflusslinie für die Normalkraft in Punkt b

Bei statisch bestimmten Systemen bestehen die Einflusslinien aus stückweise linearen Funktionen. Die Konstruktion erfolgt in dem man eine energetisch konjugierte (virtuelle) Weggröße aufbringt. Diese ist so zu wählen, dass die Kraftgröße an ihr negative Arbeit leistet.