Benutzer:Nijdam/Vorschlag Ziegenproblem

Vorschlag Nijdam

(NB noch nicht alle Referenzen und Verweisungen sind korrekt dargestellt) (Baustelle)

Auf der Suche nach einem Auto wählt der Kandidat Tor 1. Der Moderator wählt immer ein Tor, hinter dem sich eine Ziege verbirgt (hier Tor 3), öffnet es und schlägt dem Kandidaten vor, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, das Tor zu wechseln?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow „Let's make a deal“, Monty Hall) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

1975 schrieb Steve Selvin in einem Brief an dem American Statistician über ein Problem, das mehr oder weniger auf der Fernsehschau Let's Make a Deal (Selvin 1975a) basierte. In einem weiteren Brief nannte er es das "Monty Hall problem" (Selvin 1975b). Das Problem ist mathematisch gleichwertig (Morgan et al., 1991) mit dem Gefangenenparadoxon aus Martin Gardner's Mathematical Games column in Scientific American in 1959 (Gardner 1959a).

Selvin's Problem wurde 1990 herformuliert in seine wohlbekannte Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's Ask Marilyn column in Parade:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?“

– Game-Show-Problem

Gegenüber der Definition des Ziegenproblems in diesem Artikel fehlen unter anderem zwei wesentliche Punkte: die Regeln für den Showmaster sind nicht formuliert und es ist nicht ersichtlich, ob der Kandidat die Regeln kennt. Damit der Kandidat trotzdem mindestens eine 50-prozentige Chance auf den Gewinn hat, muss er zufällig eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Wechsel wäre beispielsweise Null, wenn der Showmaster nur anbietet zu wechseln, wenn hinter dem gewählten Tor ein Auto steht. Sie beträgt 50 %, wenn er das vom Teilnehmer gewählte Tor öffnet und dahinter eine Ziege ist. Sie ist nicht wohldefiniert, wenn der Showmaster die entsprechenden Strategien willkürlich ändert.

In ihrer ersten Antwort auf den Leserbrief erklärte Marilyn vos Savant die Lösung des Problems ähnlich wie bei „eine Million Tore“ dargestellt.

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief, die richtige – aber unerwartete – Strategie sei „immer wechseln“, wurde das Problem international auch außerhalb der Mathematik in großem Maße bekannt und erzielte große Aufmerksamkeit und Kontroversen.

Whitaker's frage wurde später präzisiert von Krauss und Wang (2003:10)

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Auto und die Ziegen sind zufällig hinter den Tore platziert worden bevor der Show. Die Regeln des Spiels sind Folgenden: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt das Tor vorübergehend verschlossen. Der Showmaster, Monty Hall, der weiss was sich hinter den Toren befindet, soll nun eines der restlichen Toren öffnen, und hinter dem Tor das er öffnet soll eine Ziege sein. Wenn sich hinter beiden der restlichen Toren eine Ziege befindet, wählt er zufällig Eines. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie zu entscheiden ob Sie bei Ihrem ersten Wahl bleiben möchten, oder tauschen wollen zum restlichem Tor. Unterstellen Sie Sie wählen Tor Nummer 1, und der Showmaster öffnet das Tor Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: "Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil deinen Wahl zu ändern?“

– (Krauss and Wang 2003:10)

Die Antwort ist dass der Kandidat wechseln soll, denn für das Tor 2 ist seine Gewinnchance 2/3. Damit ist gemeint dass bei Wiederholungen des Spiels, das Auto sich in 2 von 3 Fällen hinter dem Tor 2 befindet, wenn der Kandidat am Anfang das Tor 1 wählt und der Moderator das Tor 3 öffnet und eine Ziege zeigt.

Problem und Lösung

Problem

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?

Lösung

Der Kandidat sollte das Tor wechseln. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dann 2/3.

Einfache Erklärung

Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen. Diese Chance wird nicht dadurch beeinflußt, dass der Moderator anschließend gemäß den festgelegten Regeln eine Tür öffnet. Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, dass das Auto hinter der usrprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht, und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür. Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto. (Wheeler 1991; Mack 1992; Schwager 1994; vos Savant 1996:8; Martin 2002) Dass das Auto auch nach dem Öffnen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Tür ist, wird auf verschiedene Weise in den folgenden Abschnitten gezeigt.

Erklärung

Als Ausgangslage wird angenommen der Kandidat wählt anfangs Tor 1 und der Moderator öffnet Tor 3. Andere Kombinatione lassen sich auf ähnlicher Weise analysieren, und führen zum gleichen Ergebnis.

Tree showing the probability of every possible outcome if the player initially picks Door 1

Wenn dem Kandidaten die Moglichkeit geboten wird zu wechseln, ist eine neue Situation eingetreten, indem das Tor 3 geöffnet worden ist. Damit der Kandidat die richtige Entscheidung trifft, berechnet er die Wahrscheinlichkeit dass in der neue Situation das Auto sich hinter dem Tor 2 befindet. Diese Wahrscheinlichkeit ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137).

Die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto zu gewinnen durch wechseln, vorausgesetzt Tor 3 ist geöffnet worden durch dem Moderator, kan bestimmt werden anhand der unterstehende Figur, oder gleichwertige anhand der Entscheidungsbaum rechts (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138).

Wenn der Kandidat wechselt zum Tor 2, gewinnt er das Auto mit Wahrscheinlichkeit 1/3 im Fall das Auto ist hinter Tor 2, und bekommt er mit Wahrscheinlichkeit 1/6 nur eine Ziege, im Fall das Auto ist hinter Tor 1. Die Möglichkeiten wobei der Moderator das Tor 2 öffnet, sind nicht eingetreten. Durch wechseln zum Tor 2 gewinnt der Kandidat das Auto zweimal so oft als wen er bei seinem Wahl bleibt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto zu gewinnen durch wechseln, vorausgesetzt Tor 3 ist geöffnet worden durch dem Moderator, ist also (1/3)/(1/3 + 1/6) = 2/3.

Der Kandidat wählt Tor 1
Auto hinter Tor 1		Auto hinter Tor 2	Auto hinter Tor 3
Der Moderator öffnet eins der Tore mit einer Ziege		Der Moderator kann nur Tor 3 öffnen	Der Moderator kann nur Tor 2 öffnen
Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/6	Wahrscheinlichkeit 1/3	Wahrscheinlichkeit 1/3
Dieser Fall ist nicht eingetreten	Dieser Fall wäre eine Möglichkeit	Dieser Fall wäre eine Möglichkeit	Dieser Fall ist nicht eingetreten
	Wechslen gewinnt eine Ziege	Wechslen gewinnt das Auto
	Wechslen gewinnt in 2 von 3 Fälle das Auto

Formelle Lösung

Das Problem lässt sich mittels die nächsten Ereignissen beschreiben:

$G_{1},\ G_{2},\ G_{3}$: Der Auto ist bzw. im Tor 1, Tor 2 oder Tor 3.

$M_{1},\ M_{2},\ M_{3}$: Der Moderator hat bzw. das Tor, das Tor 2 oder das Tor 3 geöffnet

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat das Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{2}|M_{3})$, dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung (1), (4) und (5) gelten folgende Voraussetzungen:

(1) $P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}$

(4) $P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{2}}$

(5) $\!\,P(M_{3}|G_{2})=1$

(5) $\!\,P(M_{3}|G_{3})=0$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

$P(G_{2}|M_{3})={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}=$

$={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.$

Ziegenproblem Alternativvorschlag

Auf der Suche nach einem Auto wählt der Kandidat Tor 1. Der Showmaster öffnet Tor 3, hinter dem sich eine Ziege verbirgt und schlägt dem Kandidaten vor, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, das Tor 2 zu wählen?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach Monty Hall, dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow Let's make a deal, in Deutschland Geh aufs Ganze!) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Das Problem wurde 1990 in seiner wohlbekannten Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's "Ask Marilyn"-Kolumne im Parade Magazine formuliert:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Sie erklärte die Lösung des Problems anhand einer Million Tore. Ihre Antwort lautete: "Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3."

Kontroversen

Es gibt zwei Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Lösung führen. Während das erste Argument nicht stichhaltig ist und auf falsch angewendeter Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, verdeutlicht das zweite Argumemt, dass das Originalproblem ohne geeignete weitere Einschränkung keine eindeutige Lösung hat:

• Unter der Voraussetzung, dass der Showmaster den im nächsten Abschnitt ausgeführten Spielregeln folge, sei ein Wechsel des Tores nicht schlecht. Die Gewinnchance für das zweite Tor sei aber niemals 2/3 sondern generell nur 1/2, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl ständen. Die Chancen seien deshalb auf beide Tore immer gleichverteilt.
• Die Fragestellung im Leserbrief enthält keinerlei Hinweise darauf, dass der Showmaster einer bestimmten Verhaltensregel folgt. Solch eine Regel ließe sich nur mittels der Annahme ableiten, dass das Spiel mehrmals unter den gleichen Bedingungen wiederholt würde: Sie wählen ein beliebiges Tor, der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem eine Ziege steht, und Sie dürfen die Wahl ihres Tores ändern. Von solch einer Wiederholung des Spiels ist aber im Leserbrief keine Rede. Also basiert Savants Lösung auf willkürlichen Annahmen, die sie unzulässigerweise in den Leserbrief hinein interpretiert hat.

Das erste Argument wird von Marilyn vos Savants Lösung widerlegt, das Zweite wird anhand mehrerer Spielvarianten ausgeführt.

Allgemeine Gewinnwahrscheinlichkeit

Einfache Lösung

Der Kandidat wählt ein Tor ohne es zu öffnen. Da wir wissen, dass der Moderator mit Sicherheit ein anderes Tor mit einer Ziege öffnen wird und dem Kandidaten anbietet, das verbleibende Tor ebenfalls zu öffnen, kann er dem Kandidaten stattdessen auch anbieten, entweder sein zuerst gewähltes Tor oder aber die beiden anderen anfangs noch geschlossenen Tore selbst zu öffnen. Da der Kandidat nun ein Tor gegen zwei Tore tauschen darf, sollte er das natürlich tun und damit seine Gewinnchance auf p=2/3 verdoppeln. Die Antwort auf die Frage "Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?" ist also "Ja!"

Schema für die Wechselstrategie

Für die folgende Erklärung wird festgelegt, dass der Kandidat Tor 1 wählt. (Die gleiche Erklärung lässt sich auch für Tor 2 oder Tor 3 durchführen.) Das Auto steht hinter einem der drei Tore. Wählt der Kandidat die Immer-Wechseln-Strategie, dann führt das in den drei Situationen zu folgendem Resultat.

	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird entweder die Ziege von Tor 2 oder Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.
	Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel. (nicht signierter Beitrag von 89.50.26.255 (Diskussion | Beiträge) 15:44, 14. Jul 2009 (CEST))

Bedingte Gewinnwahrscheinlichkeit

Hier fehlt noch was...

Hauptvariante nach Marilyn vos Savant

Weil die im Leserbrief von Whitaker formulierte Fragestellung keine eindeutige Lösung zulässt, haben Krauss und Wang eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen, die bestimmte zur eindeutigen Lösbarkeit fehlenden Zusatzinformationen bereitstellt:

Angenommen Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig hinter die Tore verteilt worden. Die Regeln der Spielshow sind folgende: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß was sich hinter den Toren befindet, muss nun eine der beiden verbleibenden Tore öffnen, und hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Wenn hinter beiden verbleibenden Toren jeweils eine Ziege steht, öffnet er eines der beiden Tore zufällig. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbleibenden Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an Sie wählen Tor 1 und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann:"Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?" Ist es zu Ihrem Vorteil, Ihre Wahl zu ändern?

Um zu der Lösung von Marilyn vos Savant zu gelangen, ist lediglich zu ergänzen, dass bei der Zufallswahl des Showmasters zwischen zwei Ziegentoren beide Tore mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geöffnet werden.

Spielregeln

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?

Tabellarische Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Es müssen sechs Fälle betrachtet werden um die Gleichwahrscheinlichkeit des Öffnens der Tore 2 und 3 durch den Moderator gemäß Regel 4 modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

1		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 4)		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
2		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
3		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
4		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 4)		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
5		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
6		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet. Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei von drei dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Außerdem kann aus der Tabelle leicht abgelesen werden, dass wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.

Formelle Lösung

Es sind die Ereignisse definiert:

$G_{i}\$: Der Gewinn ist hinter Tor i (i = 1, 2, 3)

$M_{j}\$: Der Moderator hat das Tor j geöffnet (j = 1, 2, 3)

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{2}|M_{3})\$, dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung (Regeln 1, 4 und 5) gelten folgende Voraussetzungen:

${\begin{aligned}&(1)&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&(4)&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{2}}\\&(5)&P(M_{3}|G_{2})=1\\&(5)&P(M_{3}|G_{3})=0\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.\end{aligned}}$

Der Kandidat sollte also wechseln um seine Gewinnchancen von anfangs 1/3 auf nun 2/3 zu verdoppeln.

Eine Million Tore

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, z.B. Tor 1, öffnet der Moderator alle anderen Tore, jeweils mit einer Niete dahinter, bis auf eines, z.B. Tor 777777. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle Nieten bis auf eine entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Andere Spielvarianten

Aus dem Leserbrief geht nicht hervor, dass sich der Moderator an bestimmte Verhaltensregeln hält. Selbst wenn er gemäß solcher Regeln handeln würde, wäre nicht gewährleistet, dass der Kandidat diese Regeln auch kennt. Darüberhinaus gibt die Problemstellung keine Auskunft darüber, ob sich der Kandidat in einer einmaligen Spielsituation befindet oder ob das Spiel schon häufiger stattgefunden hat. Im zweiten Fall wäre es denkbar, dass der Kandidat Verhaltensweisen des Moderators verallgemeinern und daraus bestimmte Regeln ableiten konnte. Wegen dieser Unklarheiten in der Fragestellung existieren verschiedene Interpretationsvarianten, von denen einige im Folgenden vorgestellt werden. Dabei wird immer Bezug genommen auf die im Leserbrief beschriebene konkrete Spielsituation. Außerdem wird vorausgesetzt, dass der Kandidat die Verhaltensregeln des Moderators kennt. Die Entscheidung des Kandidaten ist dann in bestimmten Spielsituationen trivial zu treffen. Kennte er diese Regeln nicht müsste er sich so entscheiden als ob der Moderator sich an keine Regel halten würde.

Keine Regel

In diesem Fall bleibt dem Kandidaten nichts weiter übrig als seine Wahl zufällig oder nach einem Münzwurf zu treffen. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demgemäß p=1/2.

Der nette Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor 1 nicht die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, wählt er natürlich jetzt Tor 2 und gewinnt sicher.

Der fiese Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor1 die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, bleibt er natürlich bei Tor 1 und gewinnt sicher.

Der faule Moderator

Der Moderator, der nicht gerne große Wege zurücklegt, öffnet am liebsten Tor 3, weil er dort in der Nähe seinen Standort als Showmaster hat. Wenn also hinter dem vom Kandidaten gewählten Tor 1 das Auto stände, dann würde er mit Sicherheit Tor 3 öffnen, auf keinen Fall aber Tor 2.

Tabellarische Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung in Marilyn vos Savant's Variante modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

1		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
2		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
3		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
4		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
5		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
6		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet. Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach hier nur p = 1/2. Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Formelle Lösung

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})=1\\&P(M_{3}|G_{2})=1\\&P(M_{3}|G_{3})=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{1\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls

${\begin{aligned}P(G_{1}|M_{3})&={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der nicht eingeschränkte Moderator

Der Moderator, der alle Tore einschließlich des vom Kandidaten zuvor gewählten Tores 1 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit öffnet, öffnet zufällig Tor 3. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{2})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der zufallsbestimmte Moderator

Wenn der Moderator die Möglichkeit hat, aus zwei Toren mit jeweils einer Ziege dahinter ein Tor auszusuchen (der Kandidat hat also das Tor mit dem Auto dahinter ausgewählt), dann öffnet er das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q und das Tor mit der niedrigeren Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q* = 1 - q. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})=q\\&P(M_{3}|G_{2})=1\\&P(M_{3}|G_{3})=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{q\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{q+1}}.\end{aligned}}$

Diese Berechnung beschreibt den allgemeinen Fall, aus dem sich die Lösungen von Marilyn vos Savant (q = 1/2) und "Der faule Moderator" (q = 1) als Spezialfälle ableiten lassen.

Literatur

• Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9
• Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23050-5
• Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0521833299
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3
• Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004, ISBN 3-11-018282-3
• Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger. Vieweg 1997, ISBN 3-528-06894-9, S. 51-52, 105-107
• Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie, Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (dartmouth.edu [PDF; abgerufen am 2. April 2008]). 

Weblinks

Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Visualisierte Demonstration und Evaluation des Ziegenproblems
• Recht anschauliche Beschreibung
• Die Zeit: Das Rätsel der drei Türen
• Matheprisma der Uni Wuppertal: Ziegenproblem – Online Simulation, bedingte und totale Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel

Siehe auch

• Gefangenenparadoxon
• Geh aufs Ganze!