Benutzer:Rotkaeppchen68/Waffelfabrikation

Komische Mathe-Aufgabe mit runden Waffeln

(aus der wp:Auskunft)

Kein Trollposting, ernst gemeint!

In einer Waffelfabrik werden täglich X Tonnen kreisrunde Schichtwaffeln von 5 cm Durchmesser und 11 mm Dicke hergestellt, von denen jede aus 3 je 2 mm dicken, krachtrockenen Lagen Waffelbrot und zwei je 2,5 mm dicken Lagen aus fetthaltiger Kakao-Haselnusscreme besteht. Alle 5 Schichten werden nacheinander in abfolgender Fließfertigung aufgebracht, das Band bleibt normalerweise nie stehen. Faktisch wird aber täglich eine Strecke A gefertigt.

Nach Ende der Beschichtung fährt das Band kurz durch einen Kühltrockentunnel und danach werden aus der Endlosplatte (zu 1,24 m Breite) automatisch die kreisrunden Waffeln lochgesägt, fallen dann auf ein Gitter und fahren zur Verpackung. Durch das Gitter hindurch rieseln die Spähne in einen Auffangbehälter. Außerdem entsteht Waffelbruch - oder Verschnitt, um genau zu sein. (Um es kurz zu sagen: Es sind die runden Vienna-Waffeln von Favorini, die es bei Lidl gibt.)

• Die Lochsägeblätter, ihrerseits Kreise, sind 0,5 mm dick (Innendurchmesser genau 50 mm, der Außendurchmesser 51,0 mm) und sie erzeugen eine dementsprechende Menge Sägespäne aus festem Waffel-Creme-Gemisch.
• Die Lochkreissägen sind so positioniert, dass kein gesägtes Loch weniger als 3 mm am nächsten ist, d.h. die Mittelpunkte der Löcher sind symmetrisch im platzsparenden Sechseck-Wabenmuster angeordnet. Oder anders ausgedrückt: fortlaufend einfach versetzt.
• Die Kakao-Haselnusscreme macht 85% Gewichtsanteil aus, egal welche Menge man wo betrachtet. Es ist ein sehr fetthaltiges Gebäck.

Die Sägespäne enthalten so gut wie kein Wasser und können deshalb der Kakao-Haselnuscreme-Rohmasse wieder zugesetzt werden, die zuvor bei der Beschichtung gebraucht wird. D.h. der Arbeiter rollt den Auffangbehälter zum Anfang der Produktionsstrecke und kippt ihn in einen Trichter, aus dem er gleichmäßig in die Rohmasse rieselt, wo er mit den übrigen Zutaten zur Rohcreme eingeschmolzen und erneut zur automatischen Beschichtung verwendet wird. Jetzt die Fragen:

• Wie hoch ist der Anteil der Sägespäne am gesägten laufenden Meter Endlosband?
• Wie hoch ist der Anteil am Waffelbruch am gesägten laufenden Meter Endlosband?
• Was passiert mit der Schoko-Haselnuss-Rohmasse, wenn fortwährend Späne zugesetzt werden? Sie enthält dann ja einen zunehmenden Anteil Waffelbrot, weil bereits zugesetzte Waffelspäne erneut mit aufbeschichtet und dann auch wieder mit zersägt und zum wiederholten Mal rückgeführt werden. Pegelt sich der Anteil von Waffelspänen in der Rohmasse irgend wo ein oder wird die Creme zunehmend waffellastiger? --46.114.184.161 23:46, 6. Sep. 2010 (CEST)

Wie herum ist das Lochmuster auf der Endloswaffelbahn orientiert? Immer 23, 22, 23, 22 Waffeln auf der Bahnbreite in 53,5 mm Abstand mit 46,3 mm Abstand und 26,75 mm Versatz zwischen den Reihen und Wiederholung alle 92,7 mm oder andersrum, also 13 Löcher in 92,7 mm Abstand, dann 26,75 mm weiter 12 Löcher, die gegenüber der ersten Reihe 46,3 mm versetzt sind und sich alle 53,5 mm wiederholen? --Rotkaeppchen68 00:06, 7. Sep. 2010 (CEST)

Wie in der ersten Form, also 23, 22 usw.. Es gibt zwei Reihen von Lochsägen, wobei eine gerade sägt während die andere nach hinten gesetzt wird. Die Späne sind sehr fein, eine Art lockeres Sägemehl, das sich bei Fingerdruck zu einer Paste verdichtet, aber im Gegensatz zu richtigem Sägemehl nicht wieder locker wird. --46.114.152.253 01:55, 7. Sep. 2010 (CEST)

Ähm... keine Ahnung. Aber entweder ist der Außendurchmesser der Lochsägeblätter einen ganzen mm größer als der Innendurchmesser, oder die Sägeblätter sind nur 0,25 mm dick. Bei 0,5 mm Dicke kann der Außendurchmesser nicht nur einen halben mm größer sein als der Innendurchmesser. --Snevern ^{(Mentorenprogramm)} 00:14, 7. Sep. 2010 (CEST)

Ja, war ein Tippfehler von mir. 51 mm sind es natürlich, habs korrigiert. In Wirklichkeit sind es auch keine vollständigen Zylinder, sondern haben im Blech profilartige Aussparungen, die irgendwie das Schnellsägen erleichtern. Aber das wird für die Berechnung nicht benötigt. (Auf einer neueren Plattform werden die Chips mit einem dünnen Hochdruckstrahl aus Luft ausgesägt, aber das erzeugt ebenfalls Spähne. Außerdem platzt an der Unterseite eine zusätzliche Menge Waffelbrot weg ... ein unschöner Anblick, den man im Konsumenteninteresse nur durch einen Überzug kaschieren könnte - wobei das Gebäck unerträglich fett würde. Es ist so schon kaum auszuhalten!) --46.114.152.253 01:55, 7. Sep. 2010 (CEST)

Angenommen, die Späne enthalten keine Luft, so enthält die Cremefraktion in der Waffel asymptotisch 6,77 Volumenprozent Späne. 20,7 Prozent der Fläche des Endlosbandes gehen in den Waffelbruch. --Rotkaeppchen68 17:23, 7. Sep. 2010 (CEST)

Und 3,08 Prozent der Bandfläche werden zerspant. --Rotkaeppchen68 17:26, 7. Sep. 2010 (CEST)

Danke für die Antwort. Wie bist Du drauf gekommen?

Wäre es möglich, den Waffelbruch selbst zu zerspanen und wieder zuzuführen oder würde irgend wann eine Grenze überschritten, bei der der Spananteil im laufenden Prozesse derart ansteigt, dass keine creme mehr vorliegt? (Der Bruch geht derzeit zu einem Teil in den Handel als "Waffelbruch", was die rhombenförmigen größeren Stücken sind, zu einem anderen Teil als Futtermittelzusatzstoff in die Schweinefütterung, was das lockere Substrat betrifft.) --46.114.9.212 00:21, 8. Sep. 2010 (CEST)

Ich hab die Daten ohne Skizze und Kommentar ein ein Excelblatt gekloppt und fertig. Eine ordentliche Ausarbeitung, die jeden Mathe- oder Physiklehrer freuen würde, muss ich noch anfertigen. Ich werde unter Benutzer:Rotkaeppchen68/Waffelfabrikation mal was ansetzen... --Rotkaeppchen68 14:14, 8. Sep. 2010 (CEST)

Ausarbeitung

Gegeben:

• Waffeldurchmesser $d_{W}=5\mathrm {\ cm}$
• Lochdurchmesser $d_{L}=5,1\mathrm {\ cm}$
• Stegbreite $b_{S}=0,3\mathrm {\ cm}$
• Bandbreite $b_{W}=124\mathrm {\ cm}$
• Waffeldicke $t=1,1\mathrm {\ cm}$
• Brotdicke $t_{B}=3\cdot 0,2\mathrm {\ cm} =0,6\mathrm {\ cm}$
• Cremedicke $t_{C}=2\cdot 0,25\mathrm {\ cm} =0,5\mathrm {\ cm}$

Gesucht:

• Späneanteil am gesägten laufenden Meter Endlosband $A_{S}$
• Waffelbruchanteil am gesägten laufenden Meter Endlosband $A_{B}$

Die Zwischen- und Endergebnisse sind mit drei gültigen Ziffern angegeben, weitergerechnet wurde mit den ungerundeten Zahlen.

Durch die Wabenanordnung haben die Waffeln in Querrichtung $d_{q}=d_{S}+b_{S}=5,1\mathrm {\ cm} +0,3\mathrm {\ cm} =5,4\mathrm {\ cm}$ Abstand. Der Abstand der Reihen in Längsrichtung ist $d_{l}=d_{q}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=4,68\mathrm {\ cm}$. Alle $d_{R}=2\cdot d_{l}=2\cdot 4,68\mathrm {\ cm} =9,35\mathrm {\ cm}$ wiederholt sich das Muster. Auf der Waffelbandbreite $b_{w}$ finden $n_{1}=\lfloor {\frac {b_{w}+b_{S}}{d_{q}}}\rfloor =\lfloor {\frac {124\mathrm {\ cm} +0,3\mathrm {\ cm} }{5,4\mathrm {\ cm} }}\rfloor =23$ Waffeln Platz, jede zweite Reihe enthält eine Waffel weniger. Damit finden auf der Waffelbandlänge $d_{R}$ insgesamt $n=2\cdot n_{1}-1=2\cdot 23-1=45$ Waffeln Platz.

Eine Waffel hat die Fläche $A_{1W}=d_{W}^{2}\cdot {\frac {\pi }{4}}=(5\mathrm {\ cm} )^{2}\cdot {\frac {\pi }{4}}=19,6\mathrm {\ cm} ^{2}$.

Ein ausgesägtes Loch hat die Fläche $A_{1L}=d_{L}^{2}\cdot {\frac {\pi }{4}}=(5,1\mathrm {\ cm} )^{2}\cdot {\frac {\pi }{4}}=20,4\mathrm {\ cm} ^{2}$.

Damit wurden pro Waffel $A_{1S}=A_{1L}-A_{1W}=(d_{L}^{2}-d_{W}^{2})\cdot {\frac {\pi }{4}}=((5,1\mathrm {\ cm} )^{2}-(5,0\mathrm {\ cm} )^{2})\cdot {\frac {\pi }{4}}=0,793\mathrm {\ cm} ^{2}$ Waffelband zerspant.

Pro laufenden Meter $l=100\mathrm {\ cm}$ ergeben sich so folgende Flächen:

Späne: $A_{S}=A_{1S}\cdot n\cdot {\frac {l}{d_{R}}}=(d_{L}^{2}-d_{W}^{2})\cdot {\frac {\pi }{4}}\cdot n\cdot {\frac {l}{d_{R}}}=((5,1\mathrm {\ cm} )^{2}-(5,0\mathrm {\ cm} )^{2})\cdot {\frac {\pi }{4}}\cdot 45\cdot {\frac {100\mathrm {\ cm} }{5,4\mathrm {\ cm} \cdot {\sqrt {3}}}}=382\mathrm {\ cm} ^{2}$

Waffelbruch $A_{B}=(b_{W}\cdot d_{R}-n\cdot A_{1L})\cdot {\frac {l}{d_{R}}}=(124\mathrm {\ cm} \cdot 5,4\mathrm {\ cm} \cdot {\sqrt {3}}-45\cdot (5,1\mathrm {\ cm} )^{2}\cdot {\frac {\pi }{4}})\cdot {\frac {100\mathrm {\ cm} }{5,4\mathrm {\ cm} \cdot {\sqrt {3}}}}=2570\mathrm {\ cm} ^{2}$

Pro 45 Waffeln fallen

$V_{S}=A_{1S}\cdot n\cdot t=45\cdot 0,793\mathrm {\ cm} ^{2}\cdot 1,1\mathrm {\ cm} =((5,1\mathrm {\ cm} )^{2}-(5,0\mathrm {\ cm} )^{2})\cdot {\frac {\pi }{4}}\cdot 45\cdot 1,1\mathrm {\ cm} =39,3\mathrm {\ cm} ^{3}$

Späne an, die sich nachher in

$V_{C}=b_{W}\cdot d_{R}\cdot t_{C}=124\mathrm {\ cm} \cdot 5,4\mathrm {\ cm} \cdot {\sqrt {3}}\cdot 0,5\mathrm {\ cm} =580\mathrm {\ cm} ^{3}$

Creme wiederfinden. Das System hat keinen unbegrenzten Speicher, deshalb müssen sich asymptotisch genausoviel Späne im Cremeanteil des betrachteten Waffelbandabschnitts befinden, wie beim Zersägen anfallen. Das ergibt also

$\upsilon _{S}={\frac {V_{S}}{V_{C}}}=0,0677=6,77\ \%$.

angenommen, sowohl Waffelbruch, als auch Späne würden der Creme beigegeben, ergäbe sich ein Späne- und Bruchanteil von

$\upsilon _{SB}=t\cdot {\frac {b_{W}\cdot d_{R}-n\cdot A_{1W}}{b_{W}\cdot d_{R}\cdot t_{C}}}=1,1\mathrm {\ cm} \cdot {\frac {124\mathrm {\ cm} \cdot 5,4\mathrm {\ cm} \cdot {\sqrt {3}}-45\cdot (5\mathrm {\ cm} )^{2}\cdot {\frac {\pi }{4}}}{124\mathrm {\ cm} \cdot 5,4\mathrm {\ cm} \cdot {\sqrt {3}}\cdot 0,5\mathrm {\ cm} }}=0,524=52,4\%$.