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Satz von John

Das Satz von John ist ein im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Teilgebieten Maßtheorie und Konvexgeometrie gelegener Lehrsatz , der auf einer Arbeit des Mathematikers Fritz John aus dem Jahr 1948 beruht. Der Satz behandelt eine wesentliche Eigenschaft des John-Ellipsoids.

Formulierung

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $m\geq 1$ sowie der zugehörige Maßraum $(\mathbb {R} ^{m},{\mathcal {B}}^{m},\lambda ^{m})$ über dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der zugehörigen Borel'schen σ-Algebra ${\mathcal {B}}^{m}$, welche mit dem üblichen Lebesgue-Borel-Maß $\lambda ^{m}$ versehen sein soll.

Weiter gegeben seien ein konvexer Körper $K\subset \mathbb {R} ^{m}$ und der zugehörige John-Ellipsoid ${\mathcal {E}}\subseteq K$.

Dann gilt:

(i) Falls das Zentrum von ${\mathcal {E}}\subseteq K$ mit dem Nullpunkt $0\in \mathbb {R} ^{m}$ zusammenfällt, so gilt $K\subseteq m{\mathcal {E}}$ .

(ii) Falls der konvexe Körper $K$ zentralsymmetrisch ist, so gilt sogar $K\subseteq {\sqrt {m}}{\mathcal {E}}$ .

Literatur

• Boris Makarov, Anatolii N. Podkorytov: Real Analysis: Measures, Integrals and Applications (= Universitext). Springer-Verlag, London, New York 2013, ISBN 978-1-4471-5121-0, doi:10.1007/978-1-4471-5122-7. 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Fortsetzungssatz für messbare Funktionen

Das Fortsetzungssatz für messbare Funktionen ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Maßtheorie, welchem eine Fragestellung zugrundeliegt, die der des Tietze'schen Fortsetzungssatz in der Topologie entspricht.

Formulierung des Fortsetzungssatzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien der Messraum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1})$, der aus dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ und der zugehörigen Borel'schen σ-Algebra ${\mathcal {B}}^{1}$ besteht, sowie irgend ein weiterer Messraum $(X,{\mathcal {A}})$ .

Weiter gegeben seien eine beliebige Teilmenge $M\subset X$ mit der ihr zugehörigen Spur-σ-Algebra ${\mathcal {A|_{M}}}$ und darauf irgend eine reellwertige ${\mathcal {A|_{M}}}$-${\mathcal {B}}^{1}$-messbare Funktion $f\colon (M,{\mathcal {A|_{M}}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1})$.

Dann gilt:

Eine solche Funktion $f$ besitzt stets eine ${\mathcal {A}}$-${\mathcal {B}}^{1}$-messbare Fortsetzung $F\colon (X,{\mathcal {A}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}^{1})$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, doi:10.1007/978-3-642-17905-1. 

Einzelnachweise

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Fortsetzungssatz von Choquet

Der Fortsetzungssatz von Choquet ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Maßtheorie und dem Gebiet der Funktionalanalysis und der auf den Mathematiker Gustave Choquet zurückgeht. Er zeigt, dass für einen Hausdorff-Raum ein von innen reguläres lokal endliches Maß auf der zugehörigen borelschen σ-Algebra schon unzweideutig festgelegt ist durch die zugehörige reelle Mengenfunktion auf dem Mengensystem der kompakten Teilmengen, sofern diese Mengenfunktion für sich allein schon gewissen einfachen (und naheliegenden) Bedingungen genügt. Der choquetsche Fortsetzungssatz ist eng verknüpft mit dem Darstellungssatz von Riesz-Markov-Kakutani und seine Bedeutung liegt nicht zuletzt darin, dass der Darstellungssatz auf ihn zurückgeführt werden kann.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum $X$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\mathcal {B}}(X)$ und dem Mengensystem ${\mathcal {K}}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X)$ der kompakten Teilmengen von $X$.

Weiter gegeben sei eine Mengenfunktion

${\mu }_{0}\colon {\mathcal {K}}(X)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$ ,

welche den folgenden Bedingungen genügen möge:

(R_1) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $K\subseteq L$ gilt stets

${\mu }_{0}(K)\leq {\mu }_{0}(L)$ .

(R_2) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ gilt stets

${\mu }_{0}(K\cup L)\leq {\mu }_{0}(K)+{\mu }_{0}(L)$ .

(R_3) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $K\cap L=\emptyset$ gilt stets

${\mu }_{0}{(K\cup L)}={\mu }_{0}(K)+{\mu }_{0}(L)$.

(R_4) Zu $K\in {\mathcal {K}}(X)$ und $\epsilon >0$ gibt es stets eine offene Umgebung $U$ von $K$ dergestalt, dass für alle $L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $L\subseteq U$ gilt:

${\mu }_{0}(L)\leq {\mu }_{0}(K)+\epsilon$ .

Unter diesen Gegebenheiten kann ${\mu }_{0}$ auf genau eine Weise zu einem von innen regulären lokal endlichen Maß

$\mu \colon {\mathcal {B}}(X)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}\cup \{\infty \}$

fortgesetzt werden.

Es ist also

${\mu }_{0}={\mu }|_{{\mathcal {K}}(X)}$

und dabei hat man für alle $A\in {\mathcal {B}}(X)$

$\mu (A)=\sup\{{\mu }_{0}(K):K\in {\mathcal {K}}(X)\;,\;K\subseteq A\}$ .

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ehrhard Behrends und Jürgen Elstrodt (und ebenso viele andere Autoren) bezeichen die im choquetschen Fortsetzungssatz genannten Maße $\mu$ auf borelschen σ-Algebren von Hausdorff-Räumen als Radon-Maße.
• Der Fortsetzungssatz beinhaltet also die Aussage, dass für einen Hausdorff-Raum die Radon-Maße und die auf dem System der kompakten Teilmengen definierten, den Bedingungen (R_1), (R_2), (R_3), (R_4) genügenden Mengenfunktionen einander umkehrbar eindeutig entsprechen.
• In seiner Darstellung des Fortsetzungssatzes zeigt Elstrodt - anschließend an die 1968er Arbeit On the generation of tight measures des polnischen Mathematikers Jan Kisyński - dass man an die Stelle der Bedingung (R_4) die sogenannte Straffheitsbedingung (S) setzen kann, welche folgendes besagt:

(S) Für $K,L\in {\mathcal {K}}(X)$ mit $K\subseteq L$ gilt stets

${\mu }_{0}(L)-{\mu }_{0}(K)=\sup\{{\mu }_{0}(C):C\in {\mathcal {K}}(X)\;,\;C\subseteq {L\setminus K}\}$ .

• Wie Elstrodt anmerkt, gibt es in der Fachliteratur verschiedene Varianten des Fortsetzungssatzes. Die hierzu entstandene rege Forschungstätigkeit hat gezeigt, dass die Straffheitsbedingung hinsichtlich der Fortsetzbarkeitsfrage von wesentlicher Bedeutung ist.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo 1987, ISBN 3-540-17850-3 (MR1028059). 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, doi:10.1007/978-3-642-17905-1. 
• J. Kisyński: On the generation of tight measures. In: Studia Mathematica. Band 30, 1968, S. 141–151 ([1]). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 

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Regularitätslemma

Das Regularitätslemma ist ein mathematischer Lehrsatz der Maßtheorie, welches als Hilfsmittel zum Nachweis gewisser Regularitätseigenschaften von Borel-Maßen dient.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum $X$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\mathcal {B}}$ und einer weiteren σ-Algebra ${\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}$ .

Weiter gegeben sei ein endliches Maß

$\mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$

und dabei sei

${\mathcal {R}}_{\mu }$

das Mengensystem derjenigen $A\in {\mathcal {A}}$, welche $\mu$-regulär sind in folgendem Sinne

$A\in {\mathcal {A}}$ ist $\mu$-regulär genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

(Innere $\mu$Regularität): $\mu (A)=\sup\{\mu (K)\mid K\subseteq A,\ K\ {\text{kompakt in }}X\}$

(Äußere $\mu$Regularität): $\mu (A)=\inf\{\mu (U)\mid A\subseteq U,\ U\ {\text{offen in }}X\}$

Unter diesen Bedingungen gilt:

${\mathcal {R}}_{\mu }$ ist ein σ-Ring.

Folgerung: Der Regularitätssatz

Der Regularitätssatz besagt folgendes:

Ist unter den oben genannten Bedingungen ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$ und $\mu \colon {\mathcal {B}}\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$ ein endliches Borel-Maß und gilt zudem, dass jede in $X$ offene Teilmenge von innen $\mu$-regulär ist, so ist $\mu$ ein reguläres Maß.

Korollar

Der Regularitätssatz zieht unmittelbar das folgende Korollar nach sich:

Ist in einem Hausdorff-Raum $X$ jeder offene Unterraum σ-kompakt, so ist jedes endliche Borel-Maß auf $X$ ein reguläres Maß.

Quelle

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, doi:10.1007/978-3-642-17905-1. 

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Satz von Steinhaus

Der Satz von Steinhaus ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Maßtheorie, der auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Hugo Steinhaus im ersten Band der Fundamenta Mathematicae (1920) zurückgeht. Er behandelt eine grundlegende topologische Eigenschaft der Lebesgue-messbaren Teilmengen des $n$-dimensionalen reellen Koordinatenraums $\mathbb {R} ^{n}$.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Steinhaus besagt:

Bildet man für eine Lebesgue-messbare Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n=1,2,3,\ldots )$ mit Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}(A)>0$ die Menge aller aus zwei Elementen von $A$ bildbaren Differenzen, so ist die dadurch gegebene Menge $A-A=\{a_{1}-a_{2}\;\colon \;a_{1}\in A\;,\;a_{2}\in A\}$ stets eine Umgebung der $\mathbf {0}$.

Mit anderen Worten:

Unter den genannten Bedingungen gibt es immer eine offene Vollkugel $U_{\delta }(\mathbf {0} )\subseteq A-A\;(\delta >0)$.

Folgerungen: Zwei Sätze von Sierpiński

Auf den Satz von Steinhaus können zwei Sätze des polnischen Mathematikers Wacław Sierpiński über Hamel-Basen von $\mathbb {R}$ als Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ zurückgeführt werden. Sie lassen sich angeben wie folgt:

Gegeben sei eine Hamel-Basis $B$ des $\mathbb {Q}$-Vektorraums $\mathbb {R}$.

Dann gilt:

(1) Ist $B$ Lebesgue-messbar in $\mathbb {R}$, so ist $B$ eine lebesguesche Nullmenge, also vom Lebesgue-Maß $\lambda ^{1}(B)=0$ .

(2) Ist $A$ eine nichtleere und höchstens abzählbare Teilmenge von $B$ und ist $M_{A}:={\operatorname {span} }_{\mathbb {Q} }(B\setminus A)$ die $\mathbb {Q}$-lineare Hülle von $B\setminus A$ , so ist $M_{A}$ eine nicht Lebesgue-messbare Teilmenge von $\mathbb {R}$.

Zum Beweis

An Jürgen Elstrodt anschließend lässt sich ein Beweis für (1) wie folgt führen:

Sofern eine solche Hamel-Basis $B$ als Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß $\lambda ^{1}(B)>0$ vorausgetzt wird, ergibt sich ein Widerspruch.

Da nämlich eine solche Hamel-Basis $B$ nicht die leere Menge ist, lässt sich ein $a\in B$ auswählen und damit die reelle Nullfolge $({\frac {a}{\nu }})_{\nu \in \mathbb {N} }$ bilden.

Nun kommt zum Tragen, dass dann jedoch nach dem Satz von Steinhaus $B-B$ eine Nullumgebung sein muss, weswegen fast alle Glieder der Nullfolge darin enthalten sein müssen.

Also gibt es auch eine natürliche Zahl $n$ und dazu zwei verschiedene $b,c\in B$ , für die

${\frac {1}{n}}\cdot a=b-c$

gilt.

Das aber bedeutet, dass auch

$0={\frac {1}{n}}\cdot a+(-1)\cdot b+1\cdot c$

gilt.

Damit hat man eine nichttriviale Darstellung der $0\in \mathbb {R}$ als Linearkombination von Elementen aus $B$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$, was unvereinbar mit der Voraussetzung ist, dass $B$ eine Hamel-Basis von $\mathbb {R}$ über $\mathbb {Q}$ sein soll.

Daher kann eine solche Lebesgue-messbare Hamel-Basis $B$ einzig und allein eine lebesguesche Nullmenge sein.

Der Beweis von (2) geht ähnlich und beruht auf der Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes und der Tatsache, dass stets $M_{A}-M_{A}=M_{A}$ gilt.

Anmerkungen

• Laut Jürgen Elstrodt bekräftigt der Satz die intuitive Vorstellung, jede Lebesgue-messbare Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ sei näherungsweise einer offenen Menge gleich. Hier gilt sogar, dass die Lebesgue-messbaren Teilmengen $A$ des $\mathbb {R} ^{n}$ die folgende charakteristische Eigenschaft aufweisen:

Zu einer vorgegebenen Schranke $\delta >0$ gibt es im $\mathbb {R} ^{n}$ stets eine offene Menge $U$ sowie eine abgeschlossene Menge $F$ mit

$F\subseteq A\subseteq U$ und $\lambda ^{n}(U\setminus F)<\delta$.

• Wie man der von Karl Stromberg in den Proceedings of the American Mathematical Society von 1972 gelieferten Note entnimmt, gibt es zu dem Satz eine Verallgemeinerung auf lokalkompakte Gruppen mit haarschem Maß, welche ebenfalls Satz von Steinhaus (englisch Steinhaus Theorem) genannt wird und deren Formulierung auf den französischen Mathematiker André Weil zurückgeht.
• Zu den Hamel-Basen von $\mathbb {R}$ über $\mathbb {Q}$ ist noch weit mehr bekannt. So lässt sich etwa zeigen, dass eine solche Hamel-Basis $B$ niemals eine Borel-Menge von $\mathbb {R}$ sein kann.

Quellen

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4. 
• Hugo Steinhaus: Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 93–104 ([2] [PDF]). 
• Karl Stromberg: An Elementary Proof of Steinhaus's Theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 36, 1972, S. 308 ([3]).  MR0308368

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Satz von Ulam

Der Satz von Ulam ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Teilgebiet der Maßtheorie, der auf den Mathematiker Stanisław Marcin Ulam zurückgeht. Der Satz behandelt spezielle Eigenschaften von Borelmaßen auf polnischen Räumen.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Ulam lässt sich angeben wie folgt:

Sei $X$ ein polnischer Raum und sei weiter $\mu \colon {\mathfrak {B}}(X)\to [0,\infty ]$ ein Borelmaß auf der σ-Algebra der Borelmengen von $X$ .

Dann gilt:

(1) $\mu$ ist ein reguläres Maß .

(2) $\mu$ ist ein moderates Maß in dem Sinne,

dass $X$ eine Darstellung als abzählbare Vereinigung der Form

$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$

hat, in der jedes $U_{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ eine offene Menge von $X$ mit $\mu (U_{n})<\infty$ ist.

Verschärfung

Wie Paul-André Meyer zeigte, lässt sich der Satz von Ulam noch erheblich verschärfen, indem man an die Stelle der polnischen Räume die sogenannten Suslinräume treten lässt. Dabei ist ein Suslinraum ein Hausdorffraum $S$ derart, dass dazu ein polnischer Raum $X$ mit einer stetigen Surjektion $f\colon X\to S=f(X)$ existiert.

Der Satz von Paul-André Meyer besagt dann:

Jedes Borelmaß $\mu \colon {\mathfrak {B}}(S)\to [0,\infty ]$ auf einem Suslinraum $S$ ist regulär und moderat .

Dass dieser Satz den ulamschen Satz verschärft, ergibt sich angesichts der Tatsache, dass jeder polnische Raum $X$ unter der identischen Abbildung stets auch ein Suslinraum ist.

Quellen

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4. 
• John C. Oxtoby, S. M. Ulam: On the existence of a measure invariant under a transformation. In: Ann. of Math. (2). Band 40, 1939, S. 560–566 ([4]).  MR0000097
• John C. Oxtoby: Invariant measures in groups which are not locally compact. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 60, 1946, S. 215–237 ([5]).  MR0018188

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Satz von Kuratowski (Maßtheorie) (Unfertig)

Der Satz von Kuratowski der Maßtheorie ist ein bedeutendes Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, welches auf den polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der maßtheoretischen Isomorphie von Borelmengen polnischer Räume.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Seien $X_{1}$ und $X_{2}$ polnische Räume und sei $B_{1}\subseteq X_{1}$ eine Borelmenge von $X_{1}$.

Sei weiter $\phi \colon \,B_{1}\to X_{2}$ eine injektive Borel-messbare Abbildung.

Dann ist $B_{2}:={\phi }(B_{1})\subseteq X_{2}$ eine Borelmenge von $X_{2}$ und ${\phi }^{-1}\colon \,B_{2}\to B_{1}$ ist ebenfalls Borel-messbar.

D. h.: $\phi \colon \,B_{1}\to B_{2}$ ist in diesem Sinne ein Isomorphismus.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Auflage. de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0. 

• Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability Measures on Metric Spaces. Academic Press, New York London 1967. 

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