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Einführung

Animation zur Corioliskraft auf einen Körper, der sich vom Mittelpunkt einer rotierenden Scheibe ohne Reibung nach außen bewegt. Im nicht rotierenden Bezugssystem (oben) bewegt sich der Körper gleichförmig geradlinig. In einem mit der Scheibe mitrotierenden Bezugssystem steht die Scheibe und der Körper bewegt sich auf einer gekrümmten Bahn (unteres Bild). Die Krümmung der Bahn kann als Folge der Corioliskraft gedeutet werden.

Bewegung eines Körpers vom Mittelpunkt einer rotierenden Scheibe ohne Reibung nach außen; oben: im ruhenden Bezugssystem bewegt sich der Körper gleichförmig geradlinig; unten: im mitrotierenden Bezugssystem (Scheibe) bewegt sich der Körper auf einer gekrümmten Bahn, und die Ablenkung auf die gekrümmte Bahn wird als Folge der Corioliskraft gedeutet

In einem bekannten Demonstrationsexperiment zum Corioliseffekt lässt man eine Kugel möglichst reibungsfrei vom Mittelpunkt aus über eine rotierende Scheibe rollen. Nach dem Anstoßen rollt die Kugel, wenn man sie von außerhalb der Scheibe beobachtet, geradlinig; sie bewegt sich gleichförmig. Im realen Experiment wird sie von der Scheibe etwas in Drehrichtung mitgenommen. Auf der Scheibe hingegen, also im rotierenden Bezugssystem, wird die Kugel im zur Scheibendrehung entgegengesetzten Sinn abgelenkt und beschreibt eine deutlich gekrümmte Bahn. Diese kann im rotierenden Bezugsystem weitgehend mit der Coriolisbeschleunigung erklärt werden.

Die Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{C}$ lässt sich nach der Formel

${\vec {a}}_{\mathrm {C} }=-2\,({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')$

berechnen. In der Formel bezeichnen ${\vec {\omega }}$ die vektorielle Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Bezugssystems, deren Betrag angibt, wie schnell das Bezugssystem rotiert, und deren Richtung die Drehachse ist. Die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper im rotierenden Bezugssystem bewegt, wird mit ${\vec {v}}'$ bezeichnet.

Die Richtung des resultierenden Vektors ${\vec {a}}_{\mathrm {C} }$ ist sowohl senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung als auch zur Drehachse des Systems. Deshalb kann die Verknüpfung beider Größen durch das Kreuzprodukt mit dem Symbol $\times$ ausgedrückt werden. Die drei Vektoren bilden dabei ein Rechtssystem. Zu seiner didaktischen Veranschaulichung kann man die sogenannte „Drei-Finger-Regel“ benutzen: Bei größtmöglicher Spreizung der Finger der rechten Hand stellt der Daumen die Bewegungsrichtung ${\vec {v}}'$ dar, der Zeigefinger die Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ und der Mittelfinger die Richtung der Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{C}$.

Der vorliegende Artikel folgt dieser heute in der Physik gebräuchlichen Definition des Vorzeichens. Abweichend davon wird in der Technischen Mechanik die Coriolisbeschleunigung mit entgegengesetztem Vorzeichen definiert: ${\vec {a}}_{\mathrm {C} }^{\mathrm {TM} }=-{\vec {a}}_{\mathrm {C} }^{\mathrm {Phys} }$. Dies ist diejenige Beschleunigung, die dem bewegten Körper senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung erteilt werden muss, um seine Ablenkung gerade zu verhindern.

In der Physik wird analog zum zweiten Newtonschen Gesetz für die Beschleunigung eine dazu proportionale Kraft verantwortlich gemacht, die Corioliskraft:

${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=m\,{\vec {a}}_{\mathrm {C} }=-2\,m\,({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')$

Der Betrag dieses Vektors, gewissermaßen die „Stärke“ der Corioliskraft, berechnet sich durch:

$F_{\mathrm {C} }=2\,m\,\omega \,v'\sin \theta$

wobei $\theta$ der Winkel zwischen Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektor ist. Diese Formel ist hilfreich, wenn die Richtung der Corioliskraft durch vorherige Überlegungen bereits bekannt ist. Bewegt sich der Körper wie im angenommenen Beispiel in einer Ebene senkrecht zur Drehachse ($\theta =90^{\circ }$), liegt die Corioliskraft ebenfalls in dieser Ebene und der Körper verlässt die Ebene nicht; die Corioliskraft erreicht in diesem Fall wegen $\sin \theta =\sin 90^{\circ }=1$ ihren höchsten Wert. Schaut man im rotierenden Bezugssystem entgegen der Richtung der Winkelgeschwindigkeit, d. h. senkrecht, auf die Ebene, wird der Körper immer nach rechts abgelenkt.

Da die Corioliskraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Körpers steht, verrichtet sie an dem Körper keine Arbeit.

Einen weiteren Versuch gibt es vereinzelt auf Fahrgeschäften zu sehen, bei dem das erste Newtonsche Gesetz erfahrbar gemacht wird. Personen sollen auf einer sich drehenden Scheibe laufen. Bewegen sie sich z. B. geradlinig radial zum Zentrum, sind dafür Kräfte erforderlich, da die Bewegung von außen betrachtet kein Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung ist. Äußere Kraft und Trägheitskräfte sind entgegengesetzt gleich groß. Da die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft bei diesen Bedingungen senkrecht aufeinander stehen, könnten sie von den Personen unterschieden werden.

Anschauliche Herleitung

Beobachtungen auf einer rotierenden Scheibe

Fährt eine Person auf einer Drehscheibe (wie z. B. auf manchen Spielplätzen oder auf einem Karussell) einfach nur mit, so wirkt eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft auf sie. Bewegt sich die Person aber auch noch relativ zu der Scheibe, wird sie auf Grund der Coriolisbeschleunigung aus ihrer momentanen Bewegungsrichtung zur Seite ablenkt. Möchte man geradeaus laufen, so muss dafür eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung aufgebracht werden. Diese ist die Corioliskraft entgegengerichtet. Ohne einige Übung macht sie das einfache Geradeausgehen zunächst praktisch unmöglich, wenn das „Geradeausgehen“ in Bezug auf die rotierende Scheibe gemeint ist. Besonders deutlich bemerkt man diese Kraft, wenn man von der Drehachse weg oder zu ihr hin gehen will. In diesem Fall steht die Corioliskraft senkrecht auf der Zentrifugalkraft und ist leicht von ihr zu unterscheiden. Aber auch, wenn man sich auf der Scheibe in beliebiger anderer Richtung bewegt, zieht die Corioliskraft mit gleicher Stärke zur Seite. In diesem Fall hat sie eine Komponente in Richtung der Zentrifugalkraft und ist von dieser nicht mehr so einfach zu unterscheiden. Dreht sich die Scheibe von oben gesehen linksherum, zieht die Corioliskraft seitlich nach rechts, immer bezogen auf die augenblickliche Richtung der Bewegung relativ zur Scheibe. Die folgenden Überlegungen, die dieses Phänomen anhand endlicher Intervalle in Zeit und Raum näherungsweise verständlich machen, ergeben im Grenzfall infinitesimal kleiner Intervalle eine exakte Begründung der Corioliskraft.

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung von der Drehachse weg

Ablenkung durch die Corioliskraft bei radialer Bewegung

Wenn dem mit der Scheibe rotierenden Körper (roter Kreis in der nebenstehenden Abbildung) zusätzlich eine Radialgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ erteilt wird, wächst sein Abstand zur Achse in der Zeit $\Delta t$ um $\Delta r=v\,\Delta t$. Im Bezugsystem der Scheibe würde er bei geradliniger Bewegung (also ohne Corioliskraft) am Ende des durchgezogenen roten Pfeils an der Position 1 ankommen. Im erdfesten Bezugssystem bewegt sich der Körper entlang des Pfeils, der die Vektorsumme der Radialbewegung und der Tangentialbewegung um die Strecken $v\,\Delta t$ (roter Pfeil) bzw. $\omega \,r\,\Delta t=r\,\,\Delta \varphi$ (blauer durchgezogener Pfeil) darstellt, zum blauroten Punkt mit der Markierung 2. Jedoch dreht sich in dieser Zeit die Scheibe um den Winkel $\Delta \varphi =\omega \,\Delta t$, und dabei hat der auf der Scheibe erwartete Endpunkt (Markierung 1) eine größere Strecke zurückgelegt, nämlich insgesamt $(r+\Delta r)\,\Delta \varphi$ bis zum roten Punkt mit der Markierung 3. Demnach ist der Körper in tangentialer Richtung von der geradlinigen radialen Bahn auf der Scheibe nach rechts abgewichen. Die mit $\Delta s$ bezeichnete Abweichung ergibt sich aus der Skizze zu $\Delta s=\Delta r\,\Delta \varphi$. Wegen

$\Delta s=\Delta r\,\Delta \varphi =v\Delta t\,\omega \Delta t={\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$

wächst $\Delta s$ quadratisch mit der Zeit $\Delta t$, was einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Coriolisbeschleunigung entspricht:

$a_{C}=2\,v\,\omega$.

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herum

Kreisbewegung, Zentripetalbeschleunigung geometrisch hergeleitet

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass ganz allgemein zur Beibehaltung einer Kreisbewegung (rot) mit der (beliebigen) Geschwindigkeit ${\tilde {v}}$ eine Beschleunigung $a_{\text{radial}}$ quer zur geradlinigen Trägheitsbewegung erfolgen muss. Während des Zeitintervalls $\Delta t$ muss sie eine radiale Bewegung um die Strecke $\Delta r$ bewirken (grün). Diese ergibt sich, wenn man die Strecke $r+\Delta r$ in dem gezeigten rechtwinkligen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras berechnet und dabei im Grenzfall infinitesimaler Intervalle die Länge der kleinen Kathete mit der des roten Kreisbogens (${\tilde {v}}\Delta t$) gleichsetzt. Ergebnis:

$\Delta r={\frac {1}{2}}{\frac {{\tilde {v}}^{2}}{r}}\Delta t^{2}$.

Die quadratische Abhängigkeit von der Zeitspanne zeigt (wie beim freien Fall), dass eine konstante Beschleunigung

$a_{\text{radial}}={\frac {{\tilde {v}}^{2}}{r}}$

vorliegt. Dies Ergebnis kann man auf drei verschiedene Weisen auswerten, je nach der Bedeutung, die man den Größen ${\tilde {v}}$ bzw. ${\tilde {\omega }}={\tilde {v}}/r$ gibt:

Im ersten Fall sei ${\tilde {v}}$ die Bahngeschwindigkeit eines mitfahrenden Körpers ohne Bewegung relativ zur Scheibe: ${\tilde {v}}=v_{\text{Umlauf}}$. Dann ist ${\tilde {\omega }}=\omega$ die Drehgeschwindigkeit der Scheibe, und es ergibt sich $a_{\text{radial}}=\omega ^{2}\,r$. Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und die durch die Zentripetalkraft bewirkt wird, die die im rotierenden Bezugssystem herrschende Zentrifugalkraft kompensiert (denn in diesem ersten Fall ruht der Körper relativ zur Scheibe).

Im zweiten Fall sei ${\tilde {v}}=v_{\text{relativ}}$ die Geschwindigkeit, mit der der Körper relativ zu der Drehscheibe auf einem Kreis um die Achse läuft, so dass sich im Bezugssystem der Scheibe eine Kreisbewegung mit Bahngeschwindigkeit $v_{\text{relativ}}$ zeigt. Dann ergibt sich aus der obigen Formel $a_{\text{radial}}={\frac {v_{\text{relativ}}^{2}}{r}}$, das ist im Bezugssystem der Scheibe die zu dieser Kreisbewegung gehörige Zentripetalbeschleunigung.

Im dritten Fall wählt man ${\tilde {v}}=v_{\text{Umlauf}}+v_{\text{relativ}}$, das ist die Geschwindigkeit, die der Körper aus dem zweiten Fall im ruhenden Bezugssystem hat. Dann ergibt sich nach obiger Gleichung:

$a_{\text{radial}}={\frac {v_{\text{Umlauf}}^{2}}{r}}+{\frac {v_{\text{relativ}}^{2}}{r}}+2{\frac {v_{\text{relativ}}v_{\text{Umlauf}}}{r}}$

Umformung gemäß $v_{\text{Umlauf}}=\omega \,r$ und $v_{\text{relativ}}=\omega _{\text{relativ}}\,r$ ergibt für die wirkende Radialbeschleunigung:

$a_{\text{radial}}=\omega ^{2}\,r+\omega _{\text{relativ}}^{2}\,r+2\,v_{\text{relativ}}\,\omega$

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Die Formel zeigt, dass diese radial gerichtete Beschleunigung nicht einfach die Summe aus den beiden Zentrifugalbeschleunigungen der beiden Kreisbewegungen mit bzw. auf der Drehscheibe ist, sondern einen dritten Summanden hat, nämlich die Coriolisbeschleunigung.

Zusätzlich zeigt dies Beispiel, dass die Aufteilung der radialen Komponente einer Trägheitskraft in Zentrifugal- und Corioliskraft vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herum (modifiziert)

Kreisbewegung, Zentripetalbeschleunigung geometrisch hergeleitet

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass ganz allgemein zur Beibehaltung einer Kreisbewegung (rot) mit der (beliebigen) Geschwindigkeit ${\tilde {v}}$ eine Beschleunigung $a_{\text{radial}}$ quer zur geradlinigen Trägheitsbewegung erfolgen muss. Während des Zeitintervalls $\Delta t$ muss sie eine radiale Bewegung um die Strecke $\Delta r$ bewirken (grün). Diese ergibt sich, wenn man die Strecke $r+\Delta r$ in dem gezeigten rechtwinkligen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras berechnet und dabei im Grenzfall infinitesimaler Intervalle die Länge der kleinen Kathete mit der des roten Kreisbogens (${\tilde {v}}\Delta t$) gleichsetzt. Ergebnis:

$\Delta r={\frac {1}{2}}{\frac {{\tilde {v}}^{2}}{r}}\Delta t^{2}$.

Die quadratische Abhängigkeit von der Zeitspanne zeigt (wie beim freien Fall), dass eine konstante Beschleunigung

$a_{\text{radial}}={\frac {{\tilde {v}}^{2}}{r}}$

vorliegt. Dies Ergebnis kann man auf verschiedene Weisen auswerten, je nach der Bedeutung, die man den Größen ${\tilde {v}}$ bzw. ${\tilde {\omega }}$ gibt:

Im ersten Fall sei $v={\tilde {v}}$ die Geschwindigkeit eines eines im Inertialsystem rotierenden Körpers. Es ergibt sich $a_{\text{radial}}=v^{2}/r$. Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und die durch die Zentripetalkraft bewirkt wird.

Dieselbe Geschwindigkeit kann auch ein Körper haben, der sich auf einer rotierenden Scheibe mit der Relativgeschwindigkeit $v'$ im Kreis bewegt. Die Drehgeschwindigkeit der Scheibe sei $\omega$ und damit ist die Geschwindigkeit eines fest mit der Scheibe verbundenen Punkts $v_{\text{Umlauf}}=\omega \,r$. Die Geschwindigkeit im Inertialsystem ist die Summe aus Umlaufgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit $v=v_{\text{Umlauf}}+v'$. Dann ergibt sich aus der obigen Formel für die Zentripetalbeschleunigung.

$a_{\text{radial}}={\frac {v_{\text{Umlauf}}^{2}}{r}}+{\frac {v{'}^{2}}{r}}+2{\frac {v'v_{\text{Umlauf}}}{r}}$,

bzw.

$a_{\text{radial}}=\omega ^{2}\,r+{\frac {v{'}^{2}}{r}}+2\,\omega \,v'$

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Die Formel zeigt, dass diese radial gerichtete Beschleunigung nicht einfach die Summe aus den beiden Beschleunigungen der beiden Kreisbewegungen mit bzw. auf der Drehscheibe ist, sondern einen dritten Summanden hat. Dieser ist der Coriolisbeschleunigung wie sie in der Physik definiert ist entgegengesetzt.

Zusätzlich zeigt dies Beispiel, dass die Aufteilung der radialen Komponente einer Trägheitskraft in Zentrifugal- und Corioliskraft vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herum zweite

Siehe auch: Zentripetalbeschleunigung#Herleitung im kartesischen Koordinatensystem

Ganz allgemein ist zur Beibehaltung einer Kreisbewegung im Abstand $r$ von der Drehachse mit der beliebigen Geschwindigkeit ${\tilde {v}}$ eine radiale Beschleunigung ${\tilde {a}}_{\text{r}}={\tilde {v}}^{2}/r$ in Richtung Mittelpunkt erforderlich.

Bei einer Kreisbewegung mit der Geschwindigkeit $v$ im Inertialsystem:

$a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}$,

bei einer Relativbewegung mit der Geschwindigkeit $v'$ im rotierenden Bezugssystem:

$a'_{r}={\frac {v'^{2}}{r}}$.

Die radiale Beschleunigung im Inertialsystem ist zugleich auch die Zentripetalbeschleunigung, die durch die Zentripetalkraft bewirkt wird.

Bewegt sich ein Körper in einem Bezugssystem, das mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotiert kreisförmig, dann ist seine Geschwindigkeit im Inertialsystem die Summe aus Umlaufgeschwindigkeit $v_{\text{Umlauf}}=\omega \cdot r$ und Relativgeschwindigkeit $v'$: $v=v_{\text{Umlauf}}+v'$. Mit obiger Formel ergibt sich dann für die Zentripetalbeschleunigung:

$a_{\text{r}}={\frac {(v_{\text{Umlauf}}+v')^{2}}{r}}={\frac {v_{\text{Umlauf}}^{2}}{r}}+{\frac {v{'}^{2}}{r}}+2\omega \,v'$.

Die Formel zeigt, dass die Zentripetalbeschleunigung die sich aus zwei Kreisbewegungen zusanmmensetzt, nicht einfach die Summe aus den beiden Beschleunigungen der beiden Kreisbewegungen mit bzw. auf der Drehscheibe ist, sondern einen dritten Summanden hat. Der Term $-2\omega \,v'$ ist die Coriolisbeschleunigung.

Zusätzlich zeigt dies Beispiel, dass die Aufteilung der radialen Komponente der Beschleunigung in Zentrifugal- und Coriolisanteile vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.

Keine Coriolisbeschleunigung bei Bewegung parallel zur Drehachse

Eine Bewegung parallel zur Rotationsachse, also senkrecht zur Drehscheibe, ruft keine Corioliskraft hervor. Beim senkrechten Hochhüpfen oder beim Hochschießen eines Gegenstandes parallel zur Drehachse ist jedoch zu beachten, dass er dann im Allgemeinen den mechanischen Kontakt zur Drehscheibe verliert, sodass diese keine Zentripetalkraft mehr auf ihn ausüben kann. Der Körper wird dann im Bezugssystem der Scheibe durch die horizontal wirkende Zentrifugalkraft beschleunigt und beginnt sich nach außen zu bewegen. Dadurch erhält er eine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Drehachse und somit auch eine Corioliskraft. Der Körper wird dann (in Bezug auf die Drehscheibe) durch die vektorielle Summe aus Zentrifugalkraft und Corioliskraft weiter beschleunigt. Wenn der Körper wieder landet, z. B., weil eine Gravitationskraft (parallel zur Rotationsachse) ihn wieder herunter zieht, kommt er nicht mehr am Ausgangspunkt an.

Beobachtungen in einem Paraboloid

Die isolierte Wirkung der Corioliskraft lässt sich näherungsweise bei einer Kugel beobachten, die sich in einem mit konstanter Drehgeschwindigkeit rotierenden Paraboloid reibungsfrei bewegt. Für jede Drehzahl gibt es einen Betriebspunkt, bei dem die Resultierende aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft senkrecht zur Oberfläche steht. Eine Bewegung auf der Oberfläche des Paraboloids um diesen Betriebspunkt ist eine Folge der Corioliskraft im mitrotierenden Bezugssystem. Da diese Bedingungen nur in der Nähe des Betriebspunkts auftreten, sind nur kleine Kreise um diesen Betriebspunkt so erklärbar. Bei größeren Bewegungen müssen alle Kräfte berücksichtigt werden.

Allgemeine Bewegung

Befindet sich ein Körper im Abstand $r'$ zur Rotationsachse einer Scheibe, die aus einem Inertialsystem heraus betrachtet mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotiert, mit der Relativgeschwindigkeit $v'$, dann bewegt sich dieser Körper im Inertialsystem insgesamt mit einer Geschwindigkeit $v=\omega r'+v'$.

Die Beschleunigung im Inertialsystem ergibt sich dann mit $a={\frac {dv}{dt}}$:

$a={\dot {\omega }}r'+\omega ^{2}r'+\omega v'+a'+\omega v'$

Zusammengefasst:

$a={\dot {\omega }}r'+\omega ^{2}r'+a'+2\omega v'$

Der letzte Term wird in der Technischen Mechanik als Coriolisbeschleunigung bezeichnet. Möchte man eine Bewegungsgleichung im beschleunigten Bezugssystem aufstellen, so muss die Gleichung nach $a'$ aufgelöst werden:

$a'=a-{\dot {\omega }}r'-\omega ^{2}r'-2\omega v'$

Die Benennung der Coriolisbeschleunigung erfolgt in der Physik erst an dieser Stelle. Das wird mit der Analogie zum zweiten Newtonschen Gesetz begründet, wonach eine Beschleunigung durch eine dazu proportionale Kraft verursacht wird.

Überlagerung mit der Zentrifugalkraft bei tangentialer Bewegung

Im Gegensatz zur Corioliskraft, die senkrecht auf der Rotationsachse und der momentanen Richtung der Geschwindigkeit steht und daher sowohl eine radiale als auch eine tangentiale Komponente haben kann, d. h. den Körper auch aus der Drehebene hinaus vertikal ablenken kann, ist die Zentrifugalkraft rein radial ausgerichtet. Die Aufteilung der radialen Komponente einer insgesamt wirkenden Trägheitskraft, die sich additiv aus Zentrifugal- und Corioliskraft zusammensetzt, ist jedoch willkürlich und hängt von der Beschreibung der Bezugssysteme ab. Dies lässt sich zeigen, wenn eine tangentiale Bewegung auf einer Scheibe betrachtet wird, da in diesem Fall die Corioliskraft nur eine Radialkomponente hat.

Bewegt sich der Körper in konstantem Abstand $r$ zur Rotationsachse einer Scheibe, die aus einem Inertialsystem $S$ heraus betrachtet mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotiert, mit der Relativgeschwindigkeit $v'=r{\dot {\phi }}$, dann rotiert dieser Körper im Inertialsystem insgesamt mit einer Geschwindigkeit $v=r\omega +r{\dot {\phi }}$. Um ihn auf der Kreisbahn zu halten, ist also eine nach innen gerichtete (negatives Vorzeichen) Zentripetalkraft notwendig:

$F_{\mathrm {Zp} }(v)=-mr(\omega +{\dot {\phi }})^{2}$

Diese Zentripetalkraft ist im Inertialsystem die einzige zu berücksichtigende Kraft $F$, da in diesem keine Trägheitskräfte auftreten.

In den beiden rotierenden Systemen Scheibe $S'$ und Körper $S''$ werden die Trägheitskräfte unterschiedlich gebildet. Im Körper-System ist dieser ortsfest, also $v''=0$, und rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega ''=\omega +{\dot {\phi }}$ in Bezug zum Inertialsystem. Im Scheiben-System führt der Körper eine Kreisbahn mit Relativgeschwindigkeit $v'=R{\dot {\phi }}$ zur Scheibe aus, während die Scheibe relativ zum Inertialsystem mit Winkelgeschwindigkeit $\omega '=\omega$ rotiert.

Für das System des Körpers auf der Scheibe $S''$ ergibt sich also allein eine Zentrifugalkraft:

$F''_{\mathrm {Tr} }=F''_{\mathrm {Zf} }(\omega '')=mR(\omega +{\dot {\phi }})^{2}=mR\omega ^{2}+2mR\omega {\dot {\phi }}+mR{\dot {\phi }}^{2}$

Die ersten beiden Terme treten ebenfalls als Terme im System Scheibe $S'$ separat als Zentrifugal- und Corioliskraft auf:

$F'_{\mathrm {Tr} }=F'_{\mathrm {Zf} }(\omega ')+F'_{\mathrm {C} }(\omega ',v')=mR\omega ^{2}+2mR\omega {\dot {\phi }}$

Addiert man zu diesen Trägheitskräften die Zentripetalkraft des Inertialsystems, die als einzige nach innen gerichtete Kraft in allen Bezugssystemen denselben Wert annimmt, dann ist die resultierende Gesamtkraft im Körper-System $F''=0$, der Körper bleibt also wie zu erwarten an seinem Ort. Im Scheiben-System beträgt sie $F'=-mR{\dot {\phi }}^{2}$, entspricht also der Zentripetalkraft, die benötigt wird, damit der Körper mit Relativgeschwindigkeit $v'$ rotiert.

Im Extremfall bewegt sich der Körper mit einer Geschwindigkeit, die gleich der Rotationsgeschwindigkeit ist, in die Gegenrichtung. Dann steht der Körper sowohl im Körper-System als auch im Inertialsystem still, es sind $F''=F=0$ nebst $F_{\mathrm {Zp} }=0$, aber im Scheiben-System gilt:

$F'=F'_{\mathrm {Tr} }=F'_{\mathrm {Zf} }(\omega ')+F'_{\mathrm {C} }(\omega ',-R\omega ')=-mR\omega ^{2}$

und der Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Geschwindigkeitsbetrag $v'=R\omega$ (aus dieser Betrachtung ist nur der Betrag ablesbar, da $v'$ quadratisch in die Zentripetalkraft eingeht und deshalb die Information über das Vorzeichen verloren geht).

Herleitung aus den kinematischen Grundgleichungen

Herleitung durch Transformation aus einem Inertialsystem

Siehe auch: Beschleunigtes Bezugssystem#Kinematik

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem $K'$, das sich in einem Inertialsystem $K$ befindet und mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ rotiert. Der Koordinatenursprung des Systems $K'$ sei fest im Inertialsystem verankert, außer der Rotation trete also keine Relativbewegung auf.

Gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse $m$ und Beschleunigung ${\vec {a}}$ im Inertialsystem gleich der äußeren Kraft ${\vec {F}}$ :

$m{\vec {a}}={\vec {F}}$

Möchte man eine analoge Gleichung in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen, müssen die Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen, wie sie im rotierenden Bezugssystem $K'$ zu beobachten sind, ausgedrückt werden. Diese sind der Ortsvektor ${\vec {r}}'$, die Geschwindigkeit ${\vec {v}}'$ und die Beschleunigung ${\vec {a}}'$. Für die im Inertialsystem zu beobachtende Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ist zu beachten, dass der Körper nicht nur die Geschwindigkeit ${\vec {v}}'$ hat, sondern zusätzlich mit der Bahngeschwindigkeit ${\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ umläuft. Daher gilt:

${\vec {v}}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,.$

Die Beschleunigung ${\vec {a}}$ erhält man in gleicher Weise durch Ableiten der Geschwindigkeit. Dabei ist die Produktregel zu beachten.

${\vec {a}}=({\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')+({\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'))\,.$

Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Auflösen nach der Beschleunigung im rotierenden System ${\vec {a}}'$ ergibt:

${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

Durch Multiplikation mit der Masse erhält man die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

$m{\vec {a}}'=m{\vec {a}}-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz ist $m{\vec {a}}$ gleich der äußeren Kraft ${\vec {F}}$. Es ergibt sich:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

In dieser Gleichung finden sich die äußere Kraft und alle Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem wieder. Der letzte Term ist hierbei die Corioliskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {C} }$:

${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m\left({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\right)$

Fasst man die äußere Kraft und die Trägheitskräfte zu der im rotierenden Bezugssystem wirkenden Kraft ${\vec {F}}\,'$ zusammen, erhält man die Newtonsche Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}\,'$

Spezialfälle bei konstanter Winkelgeschwindigkeit

• Ist die Bewegung z. B. durch Zwangsbedingungen auf die Oberfläche eines Körpers beschränkt und kompensieren sich äußere Kräfte ${\vec {F}}$ und die Zentrifugalkraft $-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')$, erhält man bei konstanter Winkelgeschwindigkeit (${\dot {\vec {\omega }}}={\vec {0}}$):

${\vec {a}}'=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

Diese Bedingungen sind beim Experiment mit einem rotierenden Paraboloid zu erreichen (siehe Visualisierung des Corioliseffekts).

• Wegen ${\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ ist die nach innen gerichtete Coriolikraft auf Grund der Bahngeschwindigkdeit doppelt so groß wie die nach aussen gerichtete Zentrifugalkraft. Sie addieren zu:

${\vec {F}}_{\mathrm {F} }=m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')$

Das ist diejenige Kraft die benötigt würde, wenn der Körper mit der Scheibe fest verbunden wäre. Fehlt die äußere Kraft (siehe Experiment auf der ebenen Scheibe) ergibt sich die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem zu:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}_{F}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,.$

Der erste Term führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung. Der zweite Term beinhaltet einerseits die Beschleunigung die zur Steigerung der Umfangsgeschwindigkeit erforderlich ist, andererseits die Beschleunigung die für die konstante Richtung der Geschwindigkeit im Inertialsystem sorgt. Die Überlagerung der Kreisbewegung mit einer konstanten Radiusvergrößerung ergibt eine Archimedische Spirale.

Siehe auch: Beschleunigtes Bezugssystem#Kinematik

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem $K'$, das sich in einem Inertialsystem $K$ befindet und mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ rotiert. Der Koordinatenursprung des Systems $K'$ sei fest im Inertialsystem verankert, außer der Rotation trete also keine Relativbewegung auf.

Gemäß dem Zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse $m$ und Beschleunigung ${\vec {a}}$ im Inertialsystem gleich der äußeren Kraft ${\vec {F}}$:

$m{\vec {a}}={\vec {F}}$

Möchte man eine analoge Gleichung in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen, müssen die Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen, wie sie im rotierenden Bezugssystem $K'$ zu beobachten sind, ausgedrückt werden. Diese sind der Ortsvektor ${\vec {r}}'$, die Geschwindigkeit ${\vec {v}}'$ und die Beschleunigung ${\vec {a}}'$. Die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ im Inertialsystem setzt sich aus der Geschwindigkeit ${\vec {v}}'$ und der Umlaufgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ aus der Rotationsbewegung zusammen. Für jeden Vektor x' in K' gilt:$\textstyle {{\frac {\mathrm {d{\vec {x}}'} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d'{\vec {x}}'} }{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {x}}'}$. Die zeitliche Ableitung des Ortsvektors ${\vec {r}}={\vec {r}}'$, ergibt sich damit zu:

${\vec {v}}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,.$

Die Beschleunigung ${\vec {a}}$ im Inertialsystem erhält man in gleicher Weise als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$.

${\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'} +\underbrace {{\vec {\omega }}\times ({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')}$

Die Terme über den geschweiften Klammern sind die Ableitungen der beiden Summanden Relativgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit. Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Auflösen nach der Beschleunigung im rotierenden System ${\vec {a}}'$ ergibt:

${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

Multipliziert man die Gleichung mit der Masse und setzt gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz $m{\vec {a}}$ gleich der äußeren Kraft ${\vec {F}}$, erhält man die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

In dieser Gleichung finden sich die äußere Kraft, die Zentrifugalkraft und als letzter Term die Corioliskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {C} }$ wieder:

${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

Fasst man die äußere Kraft und die Trägheitskräfte zu der im rotierenden Bezugssystem wirksamen Kraft ${\vec {F}}\,'$ zusammen, sind in der Bewegungsgleichung formal äußere Kraft und Trägheitskräfte nicht mehr unterscheidbar:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}\,'$

Herleitung mit dem Lagrange-Formalismus

Im Lagrange-Formalismus ist die Lagrangefunktion $L$ die Differenz aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Unter Vernachlässigung eines Potentials ist

$L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')^{2}\,.$

Nach den Euler-Lagrange-Gleichungen ist

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}}}=0\,.$

Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant unter einer Koordinatentransformation sind, ist irrelevant, ob nach den Größen im bewegten Bezugssystem $K'$ oder nach den Größen im Inertialsystem $K$ abgeleitet wird. Es folgt also im bewegten Bezugssystem für die beiden Terme

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}'}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')=m{\vec {a}}'+m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

und

${\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}'}}=m{\vec {v}}'\times {\vec {\omega }}+m({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')\times {\vec {\omega }}\,.$

In die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt und umgestellt nach $m{\vec {a}}'$ ist

$m{\vec {a}}'=-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

die Auflistung aller Kräfte im rotierenden Bezugssystem, die zusätzlich zu den durch das Potential bereits im Inertialsystem bewirkten Kräften auftreten. Wie in der kinematischen Herleitung ist der erste Term die Eulerkraft, der zweite die Zentrifugalkraft und der letzte Term die Corioliskraft, ${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$.

Formal gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ also auch im rotierenden Bezugssystem, wenn Scheinkräfte berücksichtigt werden.

Spezialfälle

Die folgenden Spezialfälle gehen von einer konstanten Winkelgeschwindigkeit aus (${\dot {\vec {\omega }}}={\vec {0}}$) aus. In der Bewegungsgleichung müssen noch die äußere Kraft, die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft berücksichtigt werden.

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

• Ist die Bewegung z. B. durch Zwangsbedingungen auf die Oberfläche eines Körpers beschränkt und kompensieren sich äußere Kraft ${\vec {F}}$ und die Zentrifugalkraft $-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')$, so erhält man:

${\vec {a}}'=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

Die Relativbewegung kann ausschließlich mit der Coriolisbeschleunigung erklärt werden. Diese Bedingungen sind beim Experiment mit einem rotierenden Paraboloid zu erreichen (siehe Visualisierung des Corioliseffekts), treten aber auch auf der Erde näherungsweise bei Meeresströmungen auf.

• Wegen ${\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ ist die nach innen gerichtete Corioliskraft auf Grund der Bahngeschwindigkeit doppelt so groß wie die nach aussen gerichtete Zentrifugalkraft. Beide Scheinkräfte addieren sich zur Kraft ${\vec {F}}_{F}$:

${\vec {F}}_{\mathrm {F} }=m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')$

Sie ist genauso groß wie diejenige Kraft die benötigt würde, wenn der Körper mit der Scheibe fest verbunden wäre. Beim Scheibenexperiment ist die tangentiale Komponente der Relativgeschwindigkeit der Bahngeschwindigkeit entgegengesetzt:

${\vec {v}}'_{t}=-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\Rightarrow {\vec {F}}_{\mathrm {F} }=-m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{t}$

Fehlt die äußere Kraft ${\vec {F}}$, ergibt sich die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem zu:

$m{\vec {a}}'=-m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{t}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,.$

Da ${\vec {v}}$ beim Experiment auf der Scheibe stets in Richtung des Ortsvektors ${\vec {r}}'$ zeigt, also radial gerichtet ist, erhält man schließlich:

$m{\vec {a}}'=-m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{t}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{r}\,.$

Dabei ist ${\vec {v}}'_{r}$ die radiale Komponente der Relativgeschwindigkeit.

Die Gleichung kann auch als die Summe der Corioliuskräfte in radialer und tangentialer Richtung verstanden werden:

$m{\vec {a}}'={\frac {1}{2}}m\,{\vec {a}}_{C,r}+m{\vec {a}}_{C,t}\,.$

Der erste Term führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung. Der zweite Term beinhaltet einerseits die Beschleunigung, die zur Steigerung der Umfangsgeschwindigkeit erforderlich ist, andererseits die Beschleunigung, die für die konstante Richtung der Geschwindigkeit im Inertialsystem sorgt. Die Überlagerung der Kreisbewegung mit einer konstanten Radiusvergrößerung ergibt eine Archimedische Spirale.

noch'n Versuch

• Die Relativgeschwindigkeit ist die Differenz zwischen der Geschwindigkeit im Inertialsystem und der Umlaufgeschwindigkeit: ${\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ Die nach innen gerichtete Corioliskraft auf Grund der Umlaufgeschwindigkeit doppelt so groß wie die nach aussen gerichtete Zentrifugalkraft. Beide Scheinkräfte addieren sich zur Kraft ${\vec {F}}_{F}$:

${\vec {F}}_{\mathrm {F} }=m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')$

Sie ist genauso groß wie diejenige Kraft die benötigt würde, wenn der Körper mit der Scheibe fest verbunden wäre. Da die Kugel beim Experiment auf der ebenen Scheibe keiner äußeren Kraft $F$ ausgesetzt ist, macht sie die Drehung der Scheibe nicht mit. Die Relativgeschwindigkeit in tangentialer Richtung $v'_{t}$ ist entgegengesetzt gleich groß wie die Umlaufgeschwindigkeit. Die nach innen gerichtete Scheinkraft ergibt sich damit zu:

${\vec {F}}_{\mathrm {F} }=-m{\vec {\omega }}\times {\vec {\vec {v}}}'_{t}={\frac {1}{2}}F_{C,t}$.

Sie ist halb so groß wie die Corioliskraft auf Grund der tangentialen Geschwindigkeit $v'_{t}$.

Die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem ergibt sich zu:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}_{F}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,.$

Da ${\vec {v}}$ beim Experiment auf der Scheibe stets in Richtung des Ortsvektors ${\vec {r}}'$ zeigt, also radial gerichtet ist, erhält man schließlich:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}_{F}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{r}\,.$

Dabei ist ${\vec {v}}'_{r}$ die radiale Komponente der Relativgeschwindigkeit.

Der erste Term führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung. Der zweite Term ist die Corioliskraft auf Grund der radialen Geschwindigkeit und beinhaltet einerseits die Beschleunigung, die zur Steigerung der Umfangsgeschwindigkeit erforderlich ist, andererseits die Beschleunigung, die für die konstante Richtung der Geschwindigkeit im Inertialsystem sorgt. Die Überlagerung der Kreisbewegung mit einer konstanten Radiusvergrößerung ergibt eine Archimedische Spirale.

Corioliskraft aufgrund der Erdrotation

Coriolisparameter

Der Coriolisparameter auf der Erde in Abhängigkeit vom Breitengrad

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde wird in eine Komponente parallel zur Erdoberfläche in Süd/Nordrichtung und eine Komponente senkrecht zur Erdkugel zerlegt. Die Erdrotation (eine Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4,09 Sekunden = 1 Sterntag = 86164,09 s) erfolgt mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von $\textstyle \omega ={\frac {2\pi }{86164,09\,\mathrm {s} }}=7{,}2921\cdot 10^{-5}\,{\frac {\mathrm {1} }{\mathrm {s} }}.$

Zur Berechnung der Corioliskraft für einen Ort in einer bestimmten geographischen Breite $\varphi$ ist es vorteilhaft, die Variablen mit konstanten Werten zu einem Coriolisparameter zusammenzufassen:

$\textstyle f_{\mathrm {C} }=2\,\omega \,\sin \varphi$

In mittleren Breiten liegt der Coriolisparameter in der typischen Größenordnung von $\textstyle f_{\mathrm {C} }\approx \,10^{-4}\,{\mathrm {s} }^{-1}$.

Horizontale Bewegungen

Auf jedes Objekt, das sich auf der Erde bewegt, wirkt die Corioliskraft, da die Erde ein rotierendes System darstellt. Ausgenommen sind lediglich Bewegungen parallel zur Erdachse, z. B. an den Polen die vertikalen Bewegungen nach oben oder nach unten, am Äquator die parallelen Bewegungen. Für die Betrachtung von Bewegungen in beliebiger geographischer Breite $\varphi$ ist es daher sinnvoll, die Relativbewegung in die Komponenten parallel zur Erdoberfläche ${\vec {v}}_{\parallel }$ und senkrecht dazu ${\vec {v}}_{\perp }$ zu zerlegen.

Die Coriolisbeschleunigung parallel zur Erdoberfläche ${\vec {a}}_{\parallel }$ bewirkt eine horizontale Ablenkung:

$a_{\parallel }=-2\,({\vec {\omega }}_{\perp }\times {\vec {v}}_{\parallel })$

mit der Stärke:

$a_{\parallel }=\textstyle f_{\mathrm {C} }v_{\parallel }$

Sie spielt in den höheren geographischen Breiten eine wichtige Rolle.

Vertikale Bewegungen

→ Hauptartikel: Fallexperimente zum Nachweis der Erdrotation

Wenn ein Körper aus der Höhe $h$ im freien Fall herunterfällt, trifft er nicht genau auf dem Punkt auf, der sich vom Startpunkt aus in Lotrichtung unter ihm befindet, sondern er wird während der Fallzeit von der Coriolisbeschleunigung abgelenkt. Da die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ergibt das Kreuzprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem mit x=Ost eine Ostablenkung:

${\vec {a}}_{hor}=-2\,{\vec {\omega }}_{hor}\times {\vec {v}}_{vert}={\begin{pmatrix}a_{Ost}\\a_{Nord}\\0\end{pmatrix}}=-2\omega \cos \varphi \,{\begin{pmatrix}v\\0\\0\end{pmatrix}}$

Die Abweichung wird am Äquator (φ = 90°) maximal und ist an den Polen (φ = 0°) Null. Mit Einsetzung von $v=-g\,t$ für den freien Fall erhält man eine Abweichung nach Osten $d_{Ost}$ durch zweimalige Integration nach der Zeit $t$:

$a_{Ost}=2\,\omega v\cos \varphi =2\,\omega g\,t\cos \varphi$

$v_{Ost}=2\,\omega g\cos \varphi \int t{\text{d}}t=\omega g\,\cos \varphi \,t^{2}$

$d_{Ost}=\omega g\,\cos \varphi \int t^{2}{\text{d}}t={\frac {1}{3}}\omega g\,\cos \varphi \,t^{3}$

Mit der Fallzeit $t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}$ erhält man:

$d_{Ost}={\frac {1}{3}}\omega g\,\cos \varphi \,t^{2}{\sqrt {\frac {2h}{g}}}={\frac {2}{3}}\omega \,\cos \varphi \,h{\sqrt {\frac {2h}{g}}}$

Die Ostabweichung führt auf der Nordhalbkugel wiederum zu einer sehr geringen Südabweichung, die aber sowohl am Äquator als auch am Pol Null wird. Auf der Südhalbkugel wäre entsprechend eine Nordabweichung zu erwarten:

$d_{\text{Süd}}={\frac {2}{3}}\omega ^{2}\cos \varphi \cdot \sin \varphi \cdot {\frac {h^{2}}{g}}={\frac {1}{3}}\omega ^{2}\sin 2\varphi \cdot {\frac {h^{2}}{g}}$

Das Gedankenexperiment von Mersenne

Historische Karikatur zum Experiment von Mersenne

Eine alte Frage, über die schon im 17. Jhdt. Marin Mersenne spekulierte, ist die, wo eine senkrecht nach oben geschossene Kanonenkugel wieder am Boden ankommt – ohne Berücksichtigung von Luftbewegung und Luftwiderstand. Zur Beantwortung dieser Frage wird die zuvor beim freien Fall hergeleitete Beziehung für die Coriolisbeschleunigung verwendet.

${\vec {a}}_{hor}={\begin{pmatrix}a_{Ost}\\a_{Nord}\\0\end{pmatrix}}=-2\omega \cos \varphi \,{\begin{pmatrix}v\\0\\0\end{pmatrix}}$

Die vertikale Geschwindigkeit $v$ der Kanonenkugel folgt während des Flugs dem Weg-Zeit-Gesetz:

$v=v_{0}-g\,t$

Eingesetzt in die Ostkomponente der Coriolisbeschleunigung entsteht beim Aufstieg eine westliche Geschwindigkeitskomponente (negative Ostkomponente), die im Umkehrpunkt ihr Maximum erreicht und beim Abstieg gleichermaßen wieder abnimmt. Unten erreicht sie wieder den Wert Null.

$v_{West}=2\omega \,\cos \varphi (v_{0}\,t-\,{\frac {1}{2}}gt^{2})$,

bzw. durch nochmalige Integration die Ablenkung:

$d_{West}=2\omega \,\cos \varphi ({\frac {1}{2}}v_{0}t^{2}-\,{\frac {1}{6}}gt^{3})$

Hat sie in der Zeit $t={\frac {v_{0}}{g}}$ die Steighöhe $h_{\text{Steig}}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$ erreicht, so besitzt sie eine Westgeschwindigkeit von $v_{\text{West}}=\omega \cdot \cos \varphi {\frac {v_{0}^{2}}{g}}$.

So hat während des gesamten Fluges die Geschwindigkeit eine nach Westen gerichtete Komponente. Im Ergebnis wird die Kugel daher nach Westen abgelenkt. Bei 50° geographischer Breite beträgt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/s (Steighöhe ca. 500 m) die Westweichung theoretisch 65 cm.

$d_{\text{West}}={\frac {2}{3}}\,\omega \cdot \cos \varphi \cdot {\frac {v_{0}^{3}}{g^{2}}}$.

Diese Westgeschwindigkeit wird beim Fall nach unten symmetrisch zum Aufstieg wieder bis auf Null abgebaut. Der gesamte Versatz nach Westen ist damit doppelt so groß wie beim Aufstieg

$d_{\text{West}}={\frac {4}{3}}\,\omega \cdot \cos \varphi \cdot {\frac {v_{0}^{3}}{g^{2}}}$ .

Am Äquator ist der Versatz am größten ($\cos \varphi =1$). Wegen $\cos(-\varphi )=\cos(\varphi )$ ergibt sich kein Unterschied zwischen Nord- und Südhalbkugel.

<<<< Eine alte Frage, über die schon im 17. Jhdt. Marin Mersenne spekulierte, ist die, wo eine senkrecht nach oben geschossene Kanonenkugel wieder am Boden ankommt – ohne Berücksichtigung von Luftbewegung und Luftwiderstand. Zur Beantwortung dieser Frage wird die zuvor beim freien Fall hergeleitete Beziehung für die Coriolisbeschleunigung verwendet.

${\vec {a}}_{hor}={\begin{pmatrix}a_{Ost}\\a_{Nord}\\0\end{pmatrix}}=-2\omega \cos \varphi \,{\begin{pmatrix}v\\0\\0\end{pmatrix}}$

Die vertikale Geschwindigkeit $v$ der Kanonenkugel folgt während des Flugs dem Weg-Zeit-Gesetz:

$v=v_{0}-g\,t$

Eingesetzt in die Ostkomponente der Coriolisbeschleunigung entsteht beim Aufstieg eine westliche Geschwindigkeitskomponente (negative Ostkomponente), die im Umkehrpunkt ihr Maximum erreicht und beim Abstieg gleichermaßen wieder abnimmt. Unten erreicht sie wieder den Wert Null.

$v_{West}=2\omega \,\cos \varphi (v_{0}\,t-\,{\frac {1}{2}}gt^{2})$,

bzw. durch nochmalige Integration die Ablenkung:

$d_{West}=2\omega \,\cos \varphi ({\frac {1}{2}}v_{0}t^{2}-\,{\frac {1}{6}}gt^{3})$

Die Kugel hat nach der Zeit $t=2{\frac {v_{0}}{g}}$ den Boden wieder erreicht. Der gesamte Versatz nach Westen ergibt sich zu:

$d_{\text{West}}={\frac {4}{3}}\,\omega \cdot \cos \varphi \cdot {\frac {v_{0}^{3}}{g^{2}}}$.

Bei 50° geographischer Breite beträgt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/s (Steighöhe ca. 500 m) die Westweichung theoretisch 65 cm.

Am Äquator ist der Versatz am größten ($\cos \varphi =1$). Wegen $\cos(-\varphi )=\cos(\varphi )$ ergibt sich kein Unterschied zwischen Nord- und Südhalbkugel.

Einführung

Durch eine Regelung soll z. B. erreicht werden, dass sich die Regelgröße möglichst schnell, aber ohne zu starkes Überschwingen auf einen neuen Sollwert einstellt. Dies erfordert eine Anpassung des Reglers an die Regelstrecke. Der mathematischen Behandlung des Regelkreises geht daher bei eine Systemanalyse der Regelstrecke voraus. Im einfachsten Fall liegt ein lineare zeitinvariantes Systeme vor, das sich durch die Übertragungsfunktion beschreiben läßt. In Verbindung mit dem Regelstreckenmodell $G_{S}(s)$ kann ein Regler $G_{R}(s)$ parametriert werden, der für den geschlossenen Regelkreis nach der Schließbedingung $G(s)={\tfrac {G_{R}\cdot G_{S}}{1+G_{R}\cdot G_{S}}}$ die Stabilität sichert.

Allgemein können die Parameter des Reglers bei komplizierteren Regelstrecken nicht optimal von Hand eingestellt werden. Industrielle Regelprozesse mit Fehlanpassungen des Reglers können infolge aufschaukelnder Amplituden der Regelgröße Zerstörungen der Anlagen herbeiführen.

Die häufigsten mathematischen Systembeschreibungen sind die Differentialgleichung $f(t)$, die Übertragungsfunktion $G(s)$, der Frequenzgang $H(j\omega )$ und die zeitdiskrete Differenzengleichung $y(k)=y(k-1)+f\,[u(k),\,System]$.

Ziel der mathematischen Beschreibungen von Regelkreisgliedern ist die Berechnung des dynamischen Eingangs- Ausgangsverhalten von Einzelkomponenten, geschlossenen Regelkreisen und deren Stabilität.

Wegen geforderter Gütekriterien (Regelgüte) des Einschwingvorgangs der Regelgröße ist die heuristische Methode „Versuch und Irrtum“ in der offline-Simulation des Regelkreises meist üblich.

Simulation des Eingangs- Ausgangsverhaltens eines Regelkreises

Leider verhalten sich einzelne Komponenten der meisten technischen Regelstrecken nichtlinear. Die Übertragungsfunktion und deren algebraische Berechnung darf nur für lineare Übertragungssysteme angewendet werden.

Enthalten beispielsweise die Regelstrecken eine Totzeit (Transportzeit, Getriebespiele), Begrenzungseffekte einiger Komponenten oder andere Nichtlinearitäten, kommt für die Systemberechnung praktisch nur die zeitdiskrete Berechnung des Regelkreises mit Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Funktionen als numerische Systembeschreibung infrage. Dabei werden sämtliche Komponenten des geöffneten Regelkreises durch Differenzengleichungen und logische Funktionen beschrieben. Der geöffnete Regelkreis wird geschlossen durch die Beziehung ${\text{Sollwert - Istwert}}:\,w(k)=e(k)-y(k)$ als Eingangsgröße des Reglers, der mit seinem Zeitverhalten das gewünschte Verhalten des Regelkreises bestimmt.

Differenzengleichungen oder eine Kette von Differenzengleichungen, die mehrere hintereinander geschaltete Elementarsysteme beschreiben, lassen die Ausgangsgröße $y_{(k)}$ algebraisch für einen kleinen Zeitschritt $\Delta t$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u_{(k)}$ errechnen. Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv über viele Berechnungsfolgen in je kleinen konstanten Zeitintervallen. Die Form der Gesamtlösung ist damit tabellarisch.

Die typische Form einer rekursiven Differenzengleichung üblicher Regelkreisglieder (Linearfaktoren) lautet:

$y(k)=y(k-1)\,+f\,[u(k),\,\Delta t,\,T]$.

Dabei ist $u_{(k)}\,{\text{die Eingangsgröße}},\,\Delta {t}\,\,{\text{ein kleines Zeitintervall}}\,{\text{und T = die Systemzeitkonstante}}$. Die Folge $k=(0,1,2,3,\dots ,k_{\mathrm {max} })$ beschreibt eine endliche Zahl der Folgeglieder.

Differenzengleichungen der linearen zeitabhängigen Systemkomponenten können aus gewöhnlichen Differentialgleichungen abgeleitet werden, in dem die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ${\tfrac {\Delta y}{\Delta t}}$ ersetzt werden. Nichtlineare Übertragungssysteme können z. B. durch ${\text{WENN-DANN-SONST-Anweisungen}}$ oder Tabellen beschrieben werden.

Digitale Regler

Digitale Regelung bedeutet, dass das Eingangssignal eines dynamischen Systems oder eines Teilsystems zu bestimmten diskreten Zeitpunkten abgetastet, zeitsynchron berechnet und als digitales Ausgangssignal ausgegeben wird. Andere Begriffe bezeichnen diesen Vorgang als „zeitdiskrete Regelung“ oder auch als „Abtastregelung“.

Digitale Regler werden durch Mikrocomputer realisiert. Sie verarbeiten für das gewünschte Regelverhalten des Gesamtsystems geeignete Differenzengleichungen.

Da es sich bei den Regelstrecken um meist gegebene analoge Systeme handelt, benötigt die Schnittstelle der Strecke über einen DA-Wandler ein analoges Eingangssignal.

Vorteile: Einmaliger Hardware-Entwicklungsaufwand, einfache parametrische System-Änderungen per Software, Realisierung komplexere Reglerstrukturen, Multitasking.

Nachteile: Der Einsatz eines digitalen Reglers lohnt wegen des erhöhten technischen Aufwandes nur bei größeren Fertigungsstückzahlen.

$\to$ Siehe Artikel Digitaler Regler, Z-Transformation und Differenzengleichung.