Benutzer Diskussion:WolKouk/Boussinesq-Approximation

Einzelherleitungen

Die Gasgleichung der Störgrößen

Zu :${\frac {p^{\prime }}{p_{0}}}+{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}={\frac {T^{\prime }}{T_{0}}}$

Die vollständige Gasgleichung lautet:

$\alpha p=RT$

Führt man Grundzustand + Störung ein, folgt:

$(\alpha _{0}+\alpha ^{\prime })(p_{0}+p^{\prime })=\alpha _{0}p_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}+{\frac {p^{\prime }}{p_{0}}}+{\frac {\alpha ^{\prime }p^{\prime }}{\alpha _{0}p_{0}}}\right)=R(T_{0}+T^{\prime })=RT_{0}\left(1+{\frac {T^{\prime }}{T_{0}}}\right)$

Der in den Störgrößen quadratische Term ist klein gegenüber den linearen Termen. Anwendung der Gasgleichung für den Grundzustand führt zu der gesuchten Gleichung. qed --Wolfgang (Diskussion) 14:34, 21. Mai 2013 (CEST)

Zur Summe von Druckgradient und Schwerkraft

$-\alpha {\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}=-\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p^{\prime }+g{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}{\vec {k}}$

Führt man Grundzustand + Störung ein, erhält man zunächst durch Vernachlässigung des quadratischen Terms in den Störgrößen:

$-(\alpha _{0}+\alpha ^{\prime }){\vec {\nabla }}p^{\prime }-\alpha _{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}\right){\vec {\nabla }}p_{0}-g{\vec {k}}\approx -\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p^{\prime }-\alpha _{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}\right){\vec {\nabla }}p_{0}-g{\vec {k}}$

Mit der statischen Grundgleichung des Grundzustandes ist:

$-\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p_{0}-g{\vec {k}}=-\alpha _{0}{\frac {\partial p_{0}}{\partial z}}{\vec {k}}-g{\vec {k}}=0$

womit nach erneuter Nutzung der statischen Grundgleichung für den Grundzustand beim Term mit $\alpha ^{\prime }$ die Lösung erscheint:

$-\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p^{\prime }-\alpha _{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}\right){\vec {\nabla }}p_{0}-g{\vec {k}}=-\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p^{\prime }-\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p_{0}{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}=-\alpha _{0}{\vec {\nabla }}p^{\prime }+g{\frac {\alpha ^{\prime }}{\alpha _{0}}}{\vec {k}}$

qed, --Wolfgang (Diskussion) 15:31, 21. Mai 2013 (CEST)

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$