Beobachtbarer Durchmesser

In der Mathematik ist der beobachtbare Durchmesser (engl.: observable diameter) ein Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume.

Definition

Sei $(X,d_{X},\mu _{X})$ ein metrischer Maßraum und definiere den Durchmesser

$\operatorname {diam} (A):=\sup \limits _{x,y\in X}\{d_{X}(x,y)\}$

bezüglich der Metrik.

Für eine reelle Zahl $\kappa \geq 0$ wird zunächst der $\kappa$-partielle Durchmesser bezüglich $\mu _{X}$ definiert

$\operatorname {ParDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa ):=\inf \limits _{A\in \{A\subset X\colon \mu _{X}(A)\geq 1-\kappa \}}\operatorname {diam} (A),$

das heißt das Infimum der Durchmesser der Teilmengen $A\subset X$, für deren Maß $\mu _{X}(A)\geq 1-\kappa$ gilt.

Sei $\operatorname {Lip} _{1}(X,\mathbb {R} )$ der Raum der Lipschitz-stetigen Abbildungen $f\colon X\to \mathbb {R}$ mit Lipschitz-Konstante $1$ und $f_{*}\mu _{X}$ das Bildmaß unter der Funktion $f$. Der $\kappa$-beobachtbare Durchmesser $\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa )$ von $X$ bezüglich $\mu _{X}$ ist definiert als

$\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa ):=\sup \limits _{f\in \operatorname {Lip} _{1}(X,\mathbb {R} )}\operatorname {ParDiam} _{f_{*}\mu _{X}}(\mathbb {R} ),$

das heißt das Supremum der $\kappa$-partiellen Durchmesser von $f(X)=\mathbb {R}$ bezüglich der Bildmaße $f_{*}\mu _{X}$ der $1$-Lipschitz-Funktionen.

Für $\kappa =0$ erhält man den Durchmesser von $X$ und für $\kappa \geq 1$ ist $\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa )=0$.

Lévy-Familien

Eine Folge metrischer Maßräume $X_{n}$ wird als Lévy-Familie bezeichnet, wenn es ein $\kappa >0$ gibt mit

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X_{n}}}(X_{n},-\kappa )=0.$

Zum Beispiel ist eine Folge runder Sphären $S^{n}(r_{n})\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ genau dann eine Lévy-Familie, wenn $\lim _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{\sqrt {n}}}=0$ gilt.

Eigenschaften

Der beobachtbare Durchmesser lässt sich in Beziehung zum Trennungsabstand (engl.: separation distance) setzen, der wiederum in Beziehung zu den Eigenwerten des Laplace-Operators (mit Neumann-Randbedingungen) steht.

Für geschlossene, $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten $M$ mit Ricci-Krümmung $\operatorname {Ric} \geq n-1$ gilt

$\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{M}}(M,-\kappa )\leq \operatorname {ObsDiam} _{\mu _{M}}(S^{n}(1),-\kappa )$

für alle $0<\kappa <1$.

Literatur

• M. Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser (2007) ISBN 978-0-8176-4582-3/pbk
• Takashi Shioya: Metric measure geometry. Gromov's theory of convergence and concentration of metrics and measures. Hrsg.: EMS Press. 2016, ISBN 978-3-03719-158-3, doi:10.4171/158, arxiv:1410.0428 (englisch).