Bethe-Sommerfeld-Vermutung
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Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus der Spektraltheorie der Schrödinger-Operatoren, welche sagt, dass die Anzahl der Lücken im Spektrum eines Schrödinger-Operators mit periodischem Potential in Dimension endlich ist. Für ein Potential, welches gewisse Glattheitsbedingungen erfüllt, wurde die Vermutung 2008 von Leonid Parnowski bewiesen.
Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist nach den deutschen Physikern Arnold Sommerfeld und Hans Bethe benannt.
Vermutung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein periodisches, reelles Potential und der Laplace-Operator.
Die Anzahl Lücken im Spektrum des Schrödinger-Operators
ist für endlich.[1]
Resultate
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- 1981 bewies Wiktor Nikolajewitsch Popow und Maxim Skriganov den Fall .[2]
- 1984 bewies Maxim Skriganov den Fall .[3][4]
- 1998 bewies Bernard Helffer und Abderemane Mohamed den Fall .[5]
- 2008 bewies Leonid Parnowski die Vermutung unter Glattheitsbedingungen für das Potential.[6]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508, arxiv:0801.3096 [abs].
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508.
- ↑ V.N. Popov und M. Skriganov: A remark on the spectral structure of the two dimensional Schrödinger operator with a periodic potential. In: Zap. Nauchn. Sem. LOMI AN SSSR. Band 109, 1981, S. 131–133 (russisch).
- ↑ M. Skriganov: Geometrical and arithmetical methods in the spectral theory of the multi-dimensional periodic operators, Proc. Steklov Math. Inst. Vol. 171.
- ↑ Maxim Mikhailovich Skriganov: The spectrum band structure of the three-dimensional Schrödinger operator with periodic potential. In: Inv. Math. Band 80, 1985, S. 107–121.
- ↑ Bernard Helffer, Abderemane Mohamed: Asymptotics of the density of states for the Schrödinger operator with periodic electric potential. In: Duke Math. J. Band 92, 1998, S. 1–60.
- ↑ Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508, arxiv:0801.3096 [abs].