Blackwell-Girshick-Gleichung

Die Blackwell-Girshick-Gleichung ist eine Gleichung in der Stochastik, mit der sich die Varianz von zufälligen Summen von Zufallsvariablen berechnen lässt.

Sie ist nach David Blackwell und Abe Girshick benannt.

Aussage

Ist $N$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\mathbb {N} _{0}$ und sind $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, die auch von $N$ unabhängig sind, und existiert für alle $X_{i}$ und $N$ das zweite Moment, dann besitzt die zufällige Summe $Y:=\sum _{i=0}^{N}X_{i}$ die durch

$Y(\omega ):=\sum _{i=0}^{N(\omega )}X_{i}(\omega )$

definiert ist, die Varianz

$\operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} (X_{0}))^{2}+\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X_{0})$.

Die Blackwell-Girshick-Gleichung lässt sich mit Hilfe der bedingten Varianz und der Varianzzerlegung herleiten. Sind die $X_{i}$ auch Zufallsvariablen auf $\mathbb {N}$, so kann die Herleitung schon elementar mittels der Kettenregel und der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion erfolgen.

Beispiel

Sei $N$ Poisson-verteilt zum Erwartungswert $\lambda$ und die $X_{i}$ Bernoulli-verteilt zum Parameter $p$. Dann ist

$\operatorname {Var} (Y)=\lambda p^{2}+\lambda p(1-p)=\lambda p$.

Verwendung und verwandte Konzepte

Die Blackwell-Girshick-Gleichung wird in der Schadensversicherungsmathematik verwendet, um die Varianz zusammengesetzter Verteilungen wie zum Beispiel der zusammengesetzten Poisson-Verteilung zu berechnen. Ähnliche Aussagen über den Erwartungswert von zusammengesetzten Verteilungen liefert die Formel von Wald.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.