Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

Die zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung und spielt eine wichtige Rolle bei Poisson-Prozessen und der Theorie der unendlichen Teilbarkeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen ist bei der zusammengesetzten Poisson-Verteilung nicht a priori festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sie sollte nicht mit der gemischten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Ist $N$ eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\lambda$ und sind $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Zufallsvariable

Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}

zusammengesetzt Poisson-verteilt . Sind die $X_{i}$ alle auf $\mathbb {N} _{0}$ definiert, also diskret, so heißt $Y$ diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt. In beiden Fällen schreibt man $Y\sim {\text{CPoi}}_{\lambda \mu }$ , wobei $\mu$ die Verteilung von $X_{1}$ ist. Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfällen geschlossen angeben, aber eventuell mit dem Panjer-Algorithmus approximieren.

Gelegentlich finden sich auch in der deutschen Literatur die englischen Begriffe compound Poisson und discrete compound Poisson.

Eigenschaften

Erwartungswert

Für den Erwartungswert gilt nach der Formel von Wald:

\operatorname {E} (Y)=\lambda \operatorname {E} (X_{1})

.

Varianz

Nach der Blackwell-Girshick-Gleichung gilt

\operatorname {Var} (Y)=\lambda \,(\operatorname {E} (X_{1}))^{2}+\lambda \operatorname {Var} (X_{1})=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2}),

wenn die zweiten Momente von $X_{i}$ existieren. Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz.

Schiefe

Mittels der Kumulanten ergibt sich für die Schiefe

\operatorname {v} (Y)={\frac {\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{3})}{\left(\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})\right)^{\frac {3}{2}}}}

.

Wölbung

Für den Exzess ergibt sich mittels der Kumulanten

\gamma ={\frac {\operatorname {E} (X_{1}^{4})}{\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})^{2}}}

.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

g_{X}(t)=\lambda (M_{X_{1}}(t)-1)

,

wobei $M_{X_{1}}(t)$ die momenterzeugende Funktion von $X_{1}$ ist. Damit gilt für alle Kumulanten

\kappa _{k}=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{k})

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der $X_{i}$ :

M_{Y}(t)=\exp(\lambda (M_{X_{1}}(t)-1))

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der charakteristischen Funktion der $X_{i}$ :

\varphi _{Y}(t)=\exp(\lambda (\varphi _{X_{1}}(t)-1))

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind die $X_{i}$ diskret, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von $N$ und von $X_{i}$ zu

m_{Y}(t)=\exp(\lambda (m_{X_{1}}(t)-1))

.

Unendliche Teilbarkeit

Eine zusammengesetzt Poisson-verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar. Es lässt sich zeigen, dass eine Zufallsvariable auf $\mathbb {N} _{0}$ genau dann unendlich teilbar ist, wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Ist $X_{i}=1$ fast sicher, so fallen Poisson-Verteilung und zusammengesetzte Poisson-Verteilung zusammen.

Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung

Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind, handelt es sich um zusammengesetzte Poisson-Verteilungen. Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als $p_{\text{log}}=1-p_{\text{neg}}$ und $r={\frac {-\lambda }{\ln(1-p_{\text{log}})}}$ .

Weblinks

A.V. Prokhorov: Poisson distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

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