Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus ) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable
S
:=
∑
i
=
1
N
X
i
:=
∑
n
=
0
∞
χ
{
ω
∈
Ω
|
N
(
ω
)
=
n
}
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
zu berechnen. Dabei sind
N
{\displaystyle N}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Zufallsvariablen , welche ein kollektives Modell bilden, und
χ
{\displaystyle \chi }
Indikatorfunktion .
Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht.[ 1] Versicherungswesen häufig benutzt.
Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable
S
=
∑
i
=
1
N
X
i
{\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}
N
{\displaystyle N}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
N
{\displaystyle N}
N
∈
N
0
{\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}
N
{\displaystyle N}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
Weiterhin muss
N
{\displaystyle N}
Panjer-Klasse sein.
Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
p
k
=
(
a
+
b
k
)
⋅
p
k
−
1
{\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1}}
k
≥
1
{\displaystyle ~~k\geq 1}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
+
b
≥
0
{\displaystyle a+b\geq 0}
Der Wert
p
0
{\displaystyle p_{0}}
∑
k
=
0
∞
p
k
=
1
{\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1}
Sundt bewies im Paper[ 2] Binomialverteilung , die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei
W
N
(
x
)
{\displaystyle W_{N}(x)}
wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.
Verteilung
P
[
N
=
k
]
{\displaystyle P[N=k]}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
p
0
{\displaystyle p_{0}}
W
N
(
x
)
{\displaystyle W_{N}(x)}
E
[
N
]
{\displaystyle E[N]}
V
a
r
(
N
)
{\displaystyle Var(N)}
Binomial
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}
p
p
−
1
{\displaystyle {\frac {p}{p-1}}}
p
(
n
+
1
)
1
−
p
{\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle (1-p)^{n}}
(
p
x
+
(
1
−
p
)
)
n
{\displaystyle (px+(1-p))^{n}}
n
p
{\displaystyle np}
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle np(1-p)}
Poisson
e
−
λ
λ
k
k
!
{\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}
0
{\displaystyle 0}
λ
{\displaystyle \lambda }
e
−
λ
{\displaystyle e^{-\lambda }}
e
λ
(
x
−
1
)
{\displaystyle e^{\lambda (x-1)}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
Negative Binomial
Γ
(
r
+
k
)
k
!
Γ
(
r
)
p
r
(
1
−
p
)
k
{\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}}
1
−
p
{\displaystyle 1-p}
(
1
−
p
)
(
r
−
1
)
{\displaystyle (1-p)(r-1)}
p
r
{\displaystyle p^{r}}
(
p
1
−
x
(
1
−
p
)
)
r
{\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}}
r
(
1
−
p
)
p
{\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}
r
(
1
−
p
)
p
2
{\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}
Wir nehmen an, dass
X
i
{\displaystyle X_{i}}
N
{\displaystyle N}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
h
N
0
{\displaystyle h\mathbb {N} _{0}}
h
>
0
{\displaystyle h>0}
f
k
=
P
[
X
i
=
h
k
]
.
{\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].}
Der Algorithmus verwendet eine Rekursion , um die Wahrscheinlichkeiten
g
k
=
P
[
S
=
h
k
]
{\displaystyle g_{k}=P[S=hk]}
Der Startwert ist:
g
0
=
W
N
(
f
0
)
{\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})}
mit den Spezialfällen
g
0
=
p
0
⋅
exp
(
f
0
b
)
für
a
=
0
,
{\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b){\text{ für }}a=0,}
und
g
0
=
p
0
(
1
−
f
0
a
)
1
+
b
/
a
für
a
≠
0.
{\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}{\text{ für }}a\neq 0.}
Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:
g
k
=
P
[
S
=
h
k
]
=
1
1
−
f
0
a
∑
j
=
1
k
(
a
+
b
⋅
j
k
)
⋅
f
j
⋅
g
k
−
j
.
{\displaystyle g_{k}=P[S=hk]={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.}
Abbildung 1 Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von
S
=
∑
i
=
1
N
X
i
{\displaystyle \textstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}
N
∼
NegBin
(
3
,
5
;
0
,
3
)
{\displaystyle \textstyle N\,\sim \,\operatorname {NegBin} (3{,}5;0{,}3)}
X
∼
Frechet
(
1
,
7
;
1
)
{\displaystyle \textstyle X\,\sim \,\operatorname {Frechet} (1{,}7;1)}
h
=
0
,
04
{\displaystyle h=0{,}04}
Fréchet-Verteilung ).
Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik , Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7 .
↑ Harry H. Panjer: Recursive evaluation of a family of compound distributions. In: ASTIN Bulletin . 12. Jahrgang, Nr. 1 , 1981, S. 22–26 , doi :10.1017/S0515036100006796 casact.org [PDF]).
↑ B. Sundt and W. S. Jewell: Further results on recursive evaluation of compound distributions . In: ASTIN Bulletin . 12. Jahrgang, Nr. 1 , 1981, S. 27–39 , doi :10.1017/S0515036100006802 casact.org [PDF]).
![{\displaystyle P[N=k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c90221e380fc155dd763420b436d374979395af)
![{\displaystyle E[N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779a7b70b0caa1ff8110de67f859cec51ccccf86)
![{\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a9575454e8e046e4b39b4eee100ad97a84c5ad)
![{\displaystyle g_{k}=P[S=hk]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8250976ba396b2c4d5feae4d8b4ee1fe7e358b5)
![{\displaystyle g_{k}=P[S=hk]={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8341420bb36eb8cc4b808246561f77404c98ea)
