CR-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist der Begriff der CR-Mannigfaltigkeit eine Formalisierung der Struktur reeller Hyperflächen im $\mathbb {C} ^{n}$ . Die Abkürzung CR bezieht sich auf Augustin-Louis Cauchy und Bernhard Riemann.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ ist eine CR-Mannigfaltigkeit, wenn es ein integrables Unterbündel $H$ des komplexifizierten Tangentialbündels $TM\otimes \mathbb {C}$ gibt, für dessen komplex konjugiertes Unterbündel ${\overline {H}}$ punktweise $H\cap {\overline {H}}=\left\{0\right\}$ gilt. (Die Integrabilitätsbedingung bedeutet, dass für alle komplexen Vektorfelder $U,V$ in $H$ auch der Kommutator $\left[U,V\right]$ in $H$ liegt.)

Eine äquivalente Definition ist, dass es eine Distribution $D$ mit einer fast-komplexen Struktur $J$ gibt, so dass für alle reellen Vektorfelder $X,Y$ in $D$ auch $\left[JX,JY\right]-\left[X,Y\right]$ in $D$ liegt und gleich $J(\left[JX,Y\right]+\left[X,JY\right])$ ist.

Beispiel

Sei $M\subset \mathbb {C} ^{n}$ eine reelle Untermannigfaltigkeit, in lokalen Koordinaten lässt sie sich schreiben als Nullstellenmenge differenzierbarer Funktionen $M\cap U=\left\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon F_{1}(z)=\ldots =F_{k}(z)=0\right\}$ mit Differential maximalen Rangs. Sei $\partial \colon \Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q}$ der Dolbeault-Operator. Wenn $\partial F_{1}\wedge \ldots \wedge \partial F_{k}$ nirgendwo verschwindet, dann ist $M$ eine CR-Mannigfaltigkeit.