Charaktervarietät

In der Mathematik sind Charaktervarietäten ein wichtiges Hilfsmittel in Gruppentheorie, Topologie und Geometrie.

Definition

Es sei $\Gamma$ eine endlich erzeugte Gruppe, $G$ eine Lie-Gruppe und

$Hom(\Gamma ,G)$

die Darstellungsvarietät. Die Gruppe $G$ wirkt auf $Hom(\Gamma ,G)$ durch Konjugation, d. h. für $g\in G,\rho \in Hom(\Gamma ,G)$ und $\gamma \in \Gamma$ ist

$g.\rho (\gamma ):=g\rho (\gamma )g^{-1}$.

Der Quotientenraum $Hom(\Gamma ,G)/G$ ist im Allgemeinen keine algebraische Menge. Man benutzt deshalb Geometrische Invariantentheorie und betrachtet den GIT-Quotienten

$X(\Gamma ,G):=Hom(\Gamma ,G)//G$.

Sein Koordinatenring ist per Definition des GIT-Quotienten isomorph zu

$\mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]^{G}\subset \mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]$,

dem Unterring der unter Konjugation mit Elementen $G$ invarianten Funktionen aus dem Koordinatenring $\mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]$.

Koordinatenring

Wenn $G$ eine reduktive Gruppe ist, dann ist der Koordinatenring $\mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]^{G}$ endlich erzeugt (Satz von Nagata), der GIT-Quotient $X(\Gamma ,G)$ also eine (nicht notwendig irreduzible) algebraische Varietät.

Für $G=SL(n,\mathbb {C} )$ wird der Koordinatenring

$\mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,SL(n,\mathbb {C} ))\right]^{SL(n,\mathbb {C} )}$

von den Spurfunktionen

$I_{\rho }\colon \rho \to Spur(\rho (\gamma )$

für $\gamma \in \Gamma$ erzeugt, die Punkte der Charaktervarietät entsprechen also den Charakteren von $\Gamma$, was auch die Namensgebung erklärt.

Explizite Beschreibung

Man bezeichne mit

$Hom(\Gamma ,G)^{*}\subset Hom(\Gamma ,G)$

die Vereinigung aller abgeschlossenen Orbiten der $G$-Wirkung. Dies ist eine abgeschlossene Teilmenge und der Quotientenraum

$X(\Gamma ,G):=Hom(\Gamma ,G)^{*}/G$

ist ein Hausdorff-Raum. Er wird als Charaktervarietät bezeichnet, obwohl er im Allgemeinen keine algebraische Varietät sein muss. Im Fall komplexer reduktiver Gruppen stimmt diese Definition mit der obigen Definition als GIT-Quotient überein.

Für $G=SL(n,\mathbb {C} )$ ist ein Orbit der $G$-Wirkung genau dann abgeschlossen, wenn die entsprechenden Darstellungen halbeinfach sind. Bekanntlich sind halbeinfache Darstellungen genau dann konjugiert, wenn sie identische Charaktere haben.

Grundlegende Eigenschaften

• Wenn $G$ kompakt ist, dann ist $Hom^{*}(\Gamma ,G)=Hom(\Gamma ,G)$ und $X(\Gamma ,G)=Hom(\Gamma ,G)/G$.
• Wenn $G$ eine reelle algebraische Gruppe ist, dann ist $X(\Gamma ,G)$ eine semialgebraische Menge.
• Wenn $G$ eine komplexe reduktive Gruppe ist, dann ist $X(\Gamma ,G)$ eine (nicht notwendig irreduzible) algebraische Varietät.

Beispiele

• Für die Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist $X(\mathbb {Z} ,SU_{2})\cong \left[-2,2\right]$ keine Varietät.
• Satz von Fricke-Vogt: Für die freie Gruppe $F_{2}$ mit zwei Erzeugern $X,Y$ ist

$X(F_{2},SL_{2}\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{3}$

parametrisiert durch die Spuren $Tr(\rho (X)),Tr(\rho (Y)),Tr(\rho (XY))$.

• $X(\mathbb {Z} ,SL_{3}\mathbb {C} )$ ist isomorph zu $\mathbb {C} ^{2}$, der Isomorphismus bildet die Äquivalenzklasse einer Darstellung $\rho$ auf $(Tr(\rho (1)),Tr(\rho (1)^{-1})\in \mathbb {C} ^{2}$ ab.
• $X(F_{2},SL_{3}\mathbb {C} )$ ist eine verzweigte 2-fache Überlegerung von $\mathbb {C} ^{8}$, sie wird von den Spuren $Tr(\rho (X^{\pm 1})),Tr(\rho (Y^{\pm 1})),Tr(\rho (X^{\pm 1}Y^{\pm 1}))$ und $Tr(\rho (\left[X,Y\right]))$ parametrisiert, wobei $Tr(\rho (\left[X,Y\right]))$ mit den acht anderen Parametern durch ein quadratisches Polynom zusammenhängt.
• Für die Knotengruppe $\Gamma$ eines hyperbolischen Knotens ist die den Charakter der hyperbolischen Monodromie enthaltende Komponente von $X(\Gamma ,SL_{2}\mathbb {C} )$ eine komplexe Kurve, d. h. komplex 1-dimensional.
• Für die Knotengruppe des Acherknotens besteht $X(\Gamma ,SL_{2}\mathbb {C} )$ aus zwei Komponenten: die eine enthält die hyperbolische Monodromie, die andere besteht nur aus reduziblen Darstellungen.

Literatur

• Alexander Lubotzky, Andy Magid: Varieties of representations of finitely generated groups. Mem. Amer. Math. Soc. 58 (1985), no. 336
• Igor Dolgachev: Lectures on invariant theory. London Mathematical Society Lecture Note Series, 296. Cambridge University Press, Cambridge, 2003. ISBN 0-521-52548-9
• Adam Sikora: SL_n-character varieties as spaces of graphs. Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001), no. 7, 2773–2804. online (pdf)
• Adam Sikora: Character varieties. Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), no. 10, 5173–5208. online (PDF; 441 kB)