Reduktive Gruppe

Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Eine reduktive Gruppe $G$ ist eine algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $k$, die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Das Radikal der Komponente der Eins $G_{0}$ ist ein algebraischer Torus, insbesondere also eine abelsche Gruppe.
• Das unipotente Radikal von $G_{0}$ ist die triviale Gruppe. Mit anderen Worten: $G_{0}$ hat keine abgeschlossenen, zusammenhängenden und unipotenten Normalteiler.
• Die Gruppe ist das Produkt $G=ST$ zweier abgeschlossener Normalteiler $S$ und $T$, wobei $S$ halbeinfach und $T$ ein algebraischer Torus ist.

Im letzten Fall ist $S=\left[G_{0},G_{0}\right]$ und $T$ das Radikal von $G$, der Durchschnitt $S\cap T$ ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von $G_{0}$ ist in $S$ enthalten.

Im Fall $char(k)=0$ ist $G$ genau dann reduktiv, wenn jede Darstellung vollständig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall, wenn die adjungierte Darstellung vollständig reduzibel ist.

Im Fall $k=\mathbb {C}$ ist $G$ genau dann reduktiv, wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe ist.

Beispiele

Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv.

• Die multiplikative Gruppe $G_{m}(k)=k^{*}$.
• Die allgemeine lineare Gruppe $GL(n,k)$.
• Die spezielle lineare Gruppe $SL(n,k)$.
• Alle halbeinfachen algebraischen Gruppen.

Reduktive Gruppenschemata

Reduktivität kann für Gruppenschemata über beliebigen Basisschemata definiert werden. Dabei wird aus technischen Gründen eine Zusammenhangsbedingung gefordert.

Ein reduktives Gruppenschema über einem Schema $S$ ist ein glattes $S$-affines $S$-Gruppenschema $G$, sodass alle geometrischen Fasern $G_{\overline {s}}$ von $G$ zusammenhängende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind.

Ist $S$ das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Körpers $k$, so ergibt sich die Definition von zusammenhängenden reduktiven Gruppen. In diesem Fall ist nämlich $\mathrm {id} :S\to S$ ein geometrischer Punkt und für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper $l$, der $k$ erweitert, ist der Basiswechsel $H_{l}$ einer zusammenhängenden reduktiven Gruppe $H$ wieder zusammenhängend und reduktiv.

Literatur

• Armand Borel, Jacques Tits: Groupes réductifs. Publ. Math. IHES, 27 (1965) pp. 55–150.
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 978-1-4684-9445-7.
• Brian Conrad: Reductive group schemes.
• V.L. Popov: Hilbert's theorem on invariants. Soviet Math. Dokl., 20 : 6 (1979) pp. 1318–1322 Dokl. Akad. Nauk SSSR, 249 : 3 (1979) pp. 551–555.
• T.A. Springer: Invariant theory. Lect. notes in math., 585, Springer (1977).

Weblinks

• Reductive Group (Encyclopedia of Mathematics)
• What is ... a reductive group?
• J.S.Milne: Reductive Groups