Cuntz-Algebra
In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren (nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl seien Isometrien auf H, d. h., es gilt für . Zudem sollen sie die Eigenschaft
erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall fordert man eine Folge von Isometrien mit der Eigenschaft
- für alle
Man definiert nun
als die von erzeugte C*-Unteralgebra in . Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall bei.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Cuntz-Algebra hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.
Eindeutigkeit
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sind weitere Isometrien mit , so folgt
Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise , die nicht auf die Erzeuger zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.
Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von spielt die C*-Unteralgebra , die von Elementen der Form mit erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel und schreibt , so existieren Abbildungen , sodass jedes dargestellt werden kann als
- .
Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von nur eine C*-Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.
Einfachheit
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt. ist sogar im algebraischen Sinne einfach.
Satz: Sei . Dann existieren mit .
Außerdem sind Cuntz-Algebren in folgendem Sinne mit einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.
Satz: Sei eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von , die isomorph zu ist. Für endliche existiert eine C*-Unteralgebra , die ein Ideal enthält, sodass .
Klassifikation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei wie oben. Definiert man , so sind ebenfalls Isometrien mit und es gilt offensichtlich .
Man erhält auf diese Weise die Inklusionen
- .
Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass und nicht isomorph sind, falls . Falls endlich ist, so berechnet sich die -Gruppe von zu . Für den Fall ergibt sich . Da die -Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt sofort die Behauptung.
Darstellung als Kreuzprodukt
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Auf existiert ein *-Automorphismus , sodass . Da als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als Kreuzprodukt, dass auch nuklear ist.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Joachim Cuntz: Simple C*-algebras generated by isometries. (Pdf) In: Comm. Math. Phys. 57. 1977, S. 173–185, abgerufen am 17. April 2012 (englisch).
- K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1