D = 4 N = 8 Supergravitation

D = 4 N = 8 Supergravitation (kurz D = 4 N = 8 SUGRA) ist ein Spezialfall der Supergravitation, einer Kombination aus Supersymmetrie (kurz SUSY) und Gravitation (beschrieben durch die Allgemeine Relativitätstheorie), in vier Dimensionen (D = 4) und mit acht Symmetrieoperatoren (N = 8). Dies ist die höchste Anzahl an möglichen Symmetrieoperatoren, welche von den acht möglichen Halbschritten zwischen Spin −2 und Spin 2 des Gravitons stammt. Stephen Hawking spekulierte unter anderem in Eine kurze Geschichte der Zeit, dass die Theorie eine mögliche Theorie von Allem sein könnte.

Felder

Verbindung der D = 11 Supergravitation, welche D = 4 N = 8 Supergravitation durch Kompaktifizierung ergibt, und fünf Stringtheorien in der M-Theorie.

D = 4 N = 8 Supergravitation beschreibt ein Feld mit Spin 2, dessen Quantum das Graviton ist. Diesem entsprechen durch die acht Symmetrieoperatoren jeweils acht verschiedene Felder mit Spin 3/2, deren Quanta die Gravitinos sind. Darüber hinaus gibt es noch 28 Vektorbosonen mit Spin 1, 56 Fermionen mit Spin 1/2 und 70 Skalarbosonen mit Spin 0. Dabei stammen diese Zahlen aus dem Pascalschen Dreieck:

$1={\binom {0}{8}},8={\binom {1}{8}},28={\binom {2}{8}},56={\binom {3}{8}},70={\binom {4}{8}}.$

Einer der Gründe, warum das Interesse an der D = 4 N = 8 Supergravitation wieder nachließ, war die notwendige Beschreibung der 28 Vektorbosonen durch die achte orthogonale Gruppe $\operatorname {O} (8)$ (mit Dimension 28) als Eichgruppe, da in diese die Eichgruppe $\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (3)$ (mit Dimension 12) des Standardmodells nicht eingebettet werden kann. Erst mit der zehnten orthogonale Gruppe $\operatorname {O} (8)$ (mit Dimension 45) ist dies möglich durch die Komposition der Inklusion:

$\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (3)\hookrightarrow \operatorname {SU} (5),(e^{i\varphi },A,B)\mapsto {\begin{pmatrix}e^{3i\varphi }A&0\\0&e^{2i\varphi }B\end{pmatrix}}$

mit der Inklusion $\operatorname {SU} (5)\hookrightarrow \operatorname {O} (10)$.

Verbindung zu anderen Theorien

Verbindung zur Yang-Mills-Theorie

D = 4 N = 8 Supergravitation lässt sich durch die Formulierung über Feynman-Diagramme als Produkt zweier N = 4 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorien darstellen und enthält sechs unabhängige Darstellungen von dieser.

Verbindung zur Stringtheorie

D = 4 N = 8 Supergravitation ergibt sich als Niedrigenergiegrenzwert des zehndimensionalen Typ IIA oder Typ IIB Superstrings durch Kompaktifizierung auf dem 6-Torus $T^{6}$. Da sich der Typ IIA-Superstring aus der D = 11 Supergravitation, welche der Niedrigenergiegrenzwert der M-Theorie ist, durch Kompaktifizierung auf der 1-Sphäre $S^{1}$ ergibt, ergibt sich folglich die D = 4 N = 8 Supergravitation direkt aus der D = 11 Supergravitation durch Kompaktifizierung auf einem 7-Torus $T^{7}$. Ebenfalls möglich ist eine Kompaktifizierung auf der 7-Sphäre $S^{7}$. Dies bedeutet, dass für eine vierdimensionale glatte Mannigfaltigkeit $M^{4}$ die D = 11 Supergravitation auf $M^{4}\times T^{7}$ oder $M^{4}\times S^{7}$ äquivalent zur D = 4 N = 8 Supergravitation auf $M^{4}$ ist.

Literatur

• Eugène Cremmer und Bernard Julia: The N=8 supergravity theory. I. The Lagrangian. In: Phys. Lett. B. Band 80, Nr. 1–2, 1978, S. 48–51, doi:10.1016/0370-2693(78)90303-9 (englisch). 
• Eugène Cremmer und Bernard Julia: The SO(8) Supergravity. In: Nucl. Phys. B. Band 179, 1979, doi:10.1016/0550-3213(79)90331-6 (englisch). 
• Stephen Naculich: All-loop-orders relation between Regge limits of N = 4 SYM and N = 8 supergravity four-point amplitudes. In: Journal of High Energy Physics. 2021, doi:10.1007/JHEP02(2021)044, arxiv:2012.00030 (englisch). 

Weblinks

• D=4 supergravity auf nLab (englisch)