Dichtheitssatz von Borel

Der Dichtheitssatz von Borel (engl.: Borel density theorem) ist ein Lehrsatz der Mathematik, der Gitter in algebraischen Gruppen, wie zum Beispiel $SL(n,\mathbb {Z} )$ in $SL(n,\mathbb {R} )$, charakterisiert.

Er besagt, dass jede auf einem Gitter $\Gamma \subset G$ verschwindende polynomielle Funktion auf der gesamten algebraischen Gruppe $G$ identisch 0 sein muss.

Satz

Sei $G$ eine zusammenhängende halbeinfache $\mathbb {R}$-algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor, und sei $\Gamma \subset G$ ein Gitter in $G$.

Dann ist $\Gamma$ Zariski-dicht in $G$.

Anwendungen

Im Folgenden setzen wir voraus, dass $G$ und $\Gamma$ die Voraussetzungen des Dichtheitssatzes erfüllen.

• Wenn $\phi \colon G\to GL(m,\mathbb {R} )$ eine irreduzible polynominelle Darstellung von $G$ ist, dann ist die Einschränkung von $\phi$ auf $\Gamma$ ebenfalls eine irreduzible Darstellung.
• Wenn eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe $H\subset G$ von $\Gamma$ normalisiert wird, dann ist sie ein Normalteiler von $G$.
• Der Zentralisator von $\Gamma$ in $G$ ist das Zentrum $Z(G)$ von $G$.
• Jeder endliche Normalteiler von $\Gamma$ ist in $Z(G)$ enthalten.
• $\Gamma$ ist eine Untergruppe von endliche Index in seinem Normalisator.
• Es gibt eine Zerlegung $G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}$, so dass $\Gamma _{i}=\Gamma \cap G_{i}$ ein irreduzibles Gitter in $G_{i}$ und $\Gamma _{1}\times \ldots \times \Gamma _{r}$ mit $\Gamma$ kommensurabel ist.
• Für polynomiale Funktionen $Q\in \mathbb {R} \left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]$ auf $Mat(n\times ,n,\mathbb {R} )$ gilt:

$Q(\Gamma )=0\Longrightarrow Q(G)=0.$

Literatur

• Armand Borel: Density properties for certain subgroups of semi-simple groups without compact components. Ann. of Math. (2) 72, 179–188, 1960.
• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972.
• R. J. Zimmer: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984.
• D. Witte Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2/pbk 978-0-9865716-1-9/hbd