Dirichletsche Betafunktion β(s) Die dirichletsche Betafunktion , geschrieben mit dem griechischen Buchstaben
β
{\displaystyle \beta }
, ist eine spezielle mathematische Funktion , die in der analytischen Zahlentheorie , einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie bildet z. B. die Grundlage für die analytische Theorie der Verteilung der Primzahlen in den arithmetischen Folgen
4
m
+
1
{\displaystyle 4m+1}
4
m
+
3
{\displaystyle 4m+3}
[ 1] [ 2] riemannschen Zeta-Funktion .
Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859).
Für eine komplexe Zahl
s
{\displaystyle s}
Realteil größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die Dirichletreihe :
β
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
s
=
1
−
1
3
s
+
1
5
s
−
1
7
s
+
1
9
s
−
+
…
{\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}=1-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}-+\ldots }
Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene
H
=
{
s
∈
C
|
R
e
s
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} =\{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} \,s>0\}}
analytischen Fortsetzung .
Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen
s
{\displaystyle s}
β
(
s
)
=
∏
p
≡
1
m
o
d
4
1
1
−
p
−
s
∏
p
≡
3
m
o
d
4
1
1
+
p
−
s
{\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}
Hierbei impliziert
p
≡
1
m
o
d
4
{\displaystyle p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}
p
=
4
m
+
1
{\displaystyle p=4m+1}
p
=
5
,
13
,
17
,
.
.
.
{\displaystyle p=5,13,17,...}
p
≡
3
m
o
d
4
{\displaystyle p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}
p
=
4
m
+
3
{\displaystyle p=4m+3}
p
=
3
,
7
,
11
,
.
.
.
{\displaystyle p=3,7,11,...}
Für alle
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Funktionalgleichung :
β
(
1
−
z
)
=
(
2
π
)
z
sin
(
1
2
π
z
)
Γ
(
z
)
β
(
z
)
.
{\displaystyle \beta (1-z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{z}\sin \left({\tfrac {1}{2}}\pi z\right)\Gamma (z)\beta (z).}
Hierbei ist
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Gammafunktion .
Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta-Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus.
Über die Mellin-Transformation
f
(
x
)
=
1
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{e^{x}+e^{-x}}}}
β
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
+
e
−
x
d
x
,
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+e^{-x}}}\,\mathrm {d} x,}
wobei
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)}
Gammafunktion bezeichnet.
Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhält man für alle komplexen
s
{\displaystyle s}
β
(
s
)
=
4
−
s
(
ζ
(
s
,
1
4
)
−
ζ
(
s
,
3
4
)
)
.
{\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right).}
Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen
s
{\displaystyle s}
lerchsche Zeta-Funktion
Φ
{\displaystyle \Phi }
β
(
s
)
=
2
−
s
Φ
(
−
1
,
s
,
1
2
)
.
{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right).}
Ebenso kann die Dirichletsche Betafunktion mit Hilfe der Abel-Plana-Formel für alle Komplexen Zahlen
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
β
(
s
)
=
1
2
+
∫
0
∞
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
2
(
x
2
+
1
)
s
/
2
sinh
(
π
x
/
2
)
d
x
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x}
Diese Formel geht aus folgendem Grundmuster hervor:
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
f
(
n
)
=
1
2
f
(
0
)
+
i
∫
0
∞
f
(
i
x
/
2
)
−
f
(
−
i
x
/
2
)
4
sinh
(
π
x
/
2
)
d
x
{\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ix/2)-f(-ix/2)}{4\,\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x}
f
(
n
)
=
1
(
2
n
+
1
)
s
{\displaystyle f(n)={\frac {1}{(2n+1)^{s}}}}
Nach der Eulerschen Formel gilt dieser Zusammenhang:
i
[
1
(
i
x
+
1
)
s
−
1
(
−
i
x
+
1
)
s
]
=
2
sin
[
s
arctan
(
x
)
]
(
x
2
+
1
)
s
/
2
{\displaystyle i{\biggl [}{\frac {1}{(ix+1)^{s}}}-{\frac {1}{(-ix+1)^{s}}}{\biggr ]}={\frac {2\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}}}}
Einige spezielle Werte der
β
{\displaystyle \beta }
β
(
0
)
=
1
2
{\displaystyle \beta (0)={\tfrac {1}{2}}}
β
(
1
)
=
arctan
1
=
π
4
{\displaystyle \beta (1)=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}}
β
(
2
)
=
G
{\displaystyle \beta (2)=G\ }
β
(
3
)
=
π
3
32
{\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}}
β
(
4
)
=
1
768
(
ψ
3
(
1
4
)
−
8
π
4
)
{\displaystyle \beta (4)={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{4}})-8\pi ^{4}\right)}
β
(
5
)
=
5
π
5
1536
{\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}
β
(
7
)
=
61
π
7
184320
{\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}
Hierbei bezeichnet
G
{\displaystyle G}
catalansche Konstante und
ψ
3
(
z
)
{\displaystyle \psi _{3}(z)}
Polygammafunktion .
Allgemein gilt für positive ganze Zahlen
k
≥
0
{\displaystyle k\geq 0}
β
(
2
k
+
1
)
=
(
−
1
)
k
E
2
k
π
2
k
+
1
4
k
+
1
(
2
k
)
!
,
{\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}
wobei
E
n
{\displaystyle E_{n}}
n
{\displaystyle n}
Euler-Zahl ist. Im Fall
k
≤
0
{\displaystyle k\leq 0}
β
(
k
)
=
E
−
k
2
.
{\displaystyle \beta (k)={{E_{-k}} \over {2}}.}
Insbesondere gilt für natürliche
k
{\displaystyle k}
β
(
−
2
k
−
1
)
=
0.
{\displaystyle \!\ \beta (-2k-1)=0.}
Zur Ermittlung der Dirichletschen Betafunktionswerte von ungeraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:
β
(
2
n
+
1
)
=
1
n
∑
m
=
1
n
β
(
2
m
−
1
)
λ
(
2
n
+
2
−
2
m
)
{\displaystyle \beta (2n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\beta (2m-1)\lambda (2n+2-2m)}
λ
(
v
)
=
2
v
−
1
2
v
ζ
(
v
)
{\displaystyle \lambda (v)={\frac {2^{v}-1}{2^{v}}}\,\zeta (v)}
Die Dirichletsche Lambdafunktion ist das arithmetische Mittel aus Riemannscher Zetafunktion und Dirichletscher Etafunktion.
Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Betafunktionswerte hervorgebracht werden:
β
(
3
)
=
β
(
1
)
λ
(
2
)
=
π
4
π
2
8
=
π
3
32
{\displaystyle \beta (3)=\beta (1)\lambda (2)={\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{3}}{32}}}
β
(
5
)
=
1
2
[
β
(
1
)
λ
(
4
)
+
β
(
3
)
λ
(
2
)
]
=
1
2
(
π
4
π
4
96
+
π
3
32
π
2
8
)
=
5
π
5
1536
{\displaystyle \beta (5)={\frac {1}{2}}\left[\beta (1)\lambda (4)+\beta (3)\lambda (2)\right]={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}
β
(
7
)
=
1
3
[
β
(
1
)
λ
(
6
)
+
β
(
3
)
λ
(
4
)
+
β
(
5
)
λ
(
2
)
]
=
1
3
(
π
4
π
6
960
+
π
3
32
π
4
96
+
5
π
5
1536
π
2
8
)
=
61
π
7
184320
{\displaystyle \beta (7)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\beta (1)\lambda (6)+\beta (3)\lambda (4)+\beta (5)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}
Ein Ableitungsausdruck für alle
R
e
s
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \,s>0}
β
′
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
ln
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
s
.
{\displaystyle \beta ^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\ln(2n+1)}{(2n+1)^{s}}}.}
Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:
β
′
(
−
1
)
=
2
G
π
=
0,583
121
…
{\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}=0{,}583121\ldots }
β
′
(
0
)
=
ln
Γ
2
(
1
/
4
)
2
π
2
=
0,391
594
…
{\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln {\frac {\Gamma ^{2}(1/4)}{2\pi {\sqrt {2}}}}=0{,}391594\ldots }
β
′
(
1
)
=
π
4
(
γ
+
2
ln
2
+
3
ln
π
−
4
ln
Γ
(
1
4
)
)
=
0,192
901
…
{\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)=0{,}192901\ldots }
Mit den gezeigten Werten werden die Resultate der Kummerschen Reihe behandelt.
(vgl. Folge A113847 in OEIS und Folge A078127 in OEIS mit der Euler-Mascheroni-Konstante
γ
{\displaystyle \gamma }
Außerdem gilt für positive ganze Zahlen
n
{\displaystyle n}
∑
k
=
1
∞
ln
(
4
k
+
1
)
1
/
(
4
k
+
1
)
n
(
4
k
−
1
)
1
/
(
4
k
−
1
)
n
=
−
β
′
(
n
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\ln {\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}=-\beta ^{\prime }(n).}
Rivoal and Zudilin bewiesen 2003[ 3]
β
(
2
)
{\displaystyle \beta (2)}
β
(
4
)
{\displaystyle \beta (4)}
β
(
6
)
{\displaystyle \beta (6)}
β
(
8
)
{\displaystyle \beta (8)}
β
(
10
)
{\displaystyle \beta (10)}
β
(
12
)
{\displaystyle \beta (12)}
irrational ist.
Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005[ 4]
∫
0
1
∫
0
1
[
−
ln
(
x
y
)
]
s
1
+
x
2
y
2
d
x
d
y
=
Γ
(
s
+
2
)
β
(
s
+
2
)
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+x^{2}y^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\beta (s+2)}
Niels Henrik Abel : Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies . Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions . Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0
↑ Godfrey Harold Hardy , E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie . R. Oldenbourg, München 1958, S. 292 . ↑ arxiv: Prime Number Races
↑ Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Mathematische Annalen ISSN 0025-5831 PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln (Memento Internet Archive
↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent . In: Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics , Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, ISSN 1382-4090 arxiv
![{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfee901269cc84d43633e905bebd8e548703bd4)
![{\displaystyle i{\biggl [}{\frac {1}{(ix+1)^{s}}}-{\frac {1}{(-ix+1)^{s}}}{\biggr ]}={\frac {2\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7280b9b973939585bbdfcb569619845aef2a45)
![{\displaystyle \beta (5)={\frac {1}{2}}\left[\beta (1)\lambda (4)+\beta (3)\lambda (2)\right]={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a871a8255ede177cf4bba8dff5595409da71aa46)
![{\displaystyle \beta (7)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\beta (1)\lambda (6)+\beta (3)\lambda (4)+\beta (5)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7605b0cf06b15a94bc7a5f2e48e6b2fda699d3)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+x^{2}y^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\beta (s+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33abb2cda093ab25513a32af03696a3f99c3a784)