Lerchsche Zeta-Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:

$L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\,\pi \,i\,\lambda \,n)}{(n+\alpha )^{s}}}$

Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:

$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}$

Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.

Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:

$\,\Phi (\exp(2\,\pi \,\,i\,\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha )$

Spezialfälle und spezielle Werte

• Die Hurwitzsche Zeta-Funktion:

$\,\zeta (s,n)=L(0,s,n)=\Phi (1,s,n)$

• Der Polylogarithmus:

$\,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\,\Phi (z,s,1)$

• Die Legendresche Chi-Funktion:

$\,\chi _{n}(z)=2^{-n}\,z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}})$

• Die Riemannsche ζ-Funktion:

$\,\zeta (s)=\Phi (1,s,1)$

• Die Dirichletsche η-Funktion:

$\,\eta (s)=\Phi (-1,s,1)$

• Die Dirichletsche Beta-Funktion:

$\beta (s)=2^{-s}\,\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})$

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):

$\Phi (z,s,1)={\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z}}$

$\Phi (z,0,a)={\frac {1}{1-z}}$

$\Phi (0,s,a)=\left(a^{2}\right)^{-{\frac {s}{2}}}$

$\Phi (0,s,a)=a^{-s}\,$

$\Phi (z,1,1)=-{\frac {\log(1-z)}{z}}$

$\Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})=(2^{s}-1)\zeta (s)$

$\Phi (-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)\,$

$\Phi (0,1,a)={\frac {1}{\sqrt {a^{2}}}}$

Ferner ist

${\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4\,G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\log \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\,\zeta (3)}{4\,\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}$

mit der catalanschen Konstanten $G$, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten $A$ und der Apéry-Konstanten $\zeta (3)$ der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\mathrm {e} ^{-at}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t\qquad \quad$ für ${\begin{cases}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>0{\text{ und }}z<1\\{\text{oder }}&\mathrm {Re} \;a>0{\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>1{\text{ und }}z=1\end{cases}}$

Das Kurvenintegral

$\Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\,\pi \,i}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(-t)^{s-1}\mathrm {e} ^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t$

mit $\mathrm {Re} \;a>0,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z<1$ darf die Punkte $t=\log z+2\,k\,\pi \,i,\;k\in \mathbb {Z}$ nicht enthalten.

Ferner ist

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t$

für $\mathrm {Re} \;a>0$ und $|z|<1$.

Ebenso ist

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}{\dfrac {1}{z}}}{z^{a}}}\,\Gamma (1-s,a\log {\dfrac {1}{z}})+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^{2})^{s/2}\cdot (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,a\,t}-1)}}\,\mathrm {d} t$

für $\mathrm {Re} \,a>0$.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

$\Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{-s}.$

Sie gilt für alle $s$ und komplexe $z$ mit $\mathrm {Re} \,z<{\tfrac {1}{2}}$; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls $s$ positiv und ganz ist, gilt

$\Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}z}{k!}}+\left[\Psi (n)-\Psi (a)-\log(-\log z)\right]{\frac {\log ^{n-1}z}{(n-1)!}}\right\}.$

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

$\Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s,k){\frac {(-x)^{k}}{k!}}$

für $|x|<\mathrm {Re} \,a$ unter Verwendung des Pochhammer-Symbol $(s,k)$ gegeben.

Im Grenzwert $a\rightarrow -n$ gilt

$\Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}}$.

Der Spezialfall $n=0$ hat folgende Reihe:

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s,m)\,\mathrm {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}}$

für $|a|<1$.

Die asymptotische Entwicklung für $s\rightarrow -\infty$ ist gegeben durch

$\Phi (z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[2\,k\,\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{2\,k\,\pi \,a\,i}$

für $|a|<1,\;\mathrm {Re} \;s<0,\;z\notin (-\infty ,0)$ und

$\Phi (-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(2\,k+1)\pi \,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm {e} ^{(2\,k+1)\pi \,a\,i}$

wenn $|a|<1,\;\mathrm {Re} \,s<0,\;z\notin (0,\infty )$.

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-2\,\pi \,i\,(k-1)a}\,\Gamma (1-s,a\,(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{2\,\pi \,i\,k\,a}\,\Gamma (1-s,a\,(2\,\pi \,i\,k-\log z))}{(2\,\pi \,i\,k-\log z)^{1-s}}}$

mit $|a|<1$ und $\mathrm {Re} \,s<0$.

Identitäten und weitere Formeln

$\Phi (z,s,a)=z^{n}\,\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}$

$\Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)$

$\Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}\,{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)$

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit $\{z\in \mathbb {C} \,\setminus [1,\infty ){\text{ und }}\mathrm {Re} \;s>-2\}$ oder $\{z=1{\text{ und Re}}\;s>-1\}$

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+1)\,{\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}$

und

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z}}(-\log(x\,y))^{s}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s)\,\Phi (z,s+2,u)$.

Literatur

• Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: $\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}$, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
• M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ${}_{2}\psi _{2}$, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
• Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
• Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online

Weblinks

• Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF; 112 kB)
• S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und H. Tsukada: A generalization of Bochner's formula, undatiert, 2005 oder früher (Memento vom 13. April 2014 im Internet Archive)
• Eric W. Weisstein: Lerch Transcendent. In: MathWorld (englisch).