Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.
Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:
Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus ausdrücken:
Funktion für v = 2:
Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:
Folgende Ableitung hat diese Funktion:
Es gilt folgende Ableitung:
Deswegen gilt auch folgendes Integral:
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:
Exemplarisch eingesetzt wird der Wert in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:
Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:
Beispielsweise gilt:
Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:
mit der imaginären Einheit , der Goldenen Zahl und der catalanschen Konstanten .
Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion
und die dirichletsche Beta-Funktion :
Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion: