Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)

In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition

Sei $B$ ein Ring, $A\subseteq B$ ein Unterring derart, dass $B$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n\;(n\in \mathbb {N} )$ ist. Für $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in B^{n}$ heißt $D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=\det \left(\mathrm {Tr} _{B/A}(x_{i}\cdot x_{j})_{i,j}\right)\in A$ die Diskriminante von $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$.

Wenn $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ eine $A$-Basis von $B$ darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in $A$ eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von $D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ in $A$ erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit ${\mathfrak {D}}_{B/A}$ bezeichnet und heißt Diskriminante von $B$ über $A$.

Eigenschaften und Anwendung

• Sei $L/K$ eine separable Körpererweiterung vom Grad $n\;(n\in \mathbb {N} )$ und $\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n}$ die $n$ verschiedenen $K$-Algebrenmonomorphismen von $L$ in den algebraischen Abschluss von $K$. Dann gilt für eine $K$-Basis $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ von $L$:

$D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left((\sigma _{i}(x_{j}))_{i,j}\right)^{2}\neq 0$

• Seien $K\subseteq L$ zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen $A\subseteq B$. Dann gilt für ein Primideal ${\mathfrak {p}}\subseteq A$ das folgende: ${\mathfrak {p}}\subseteq B$ ist genau dann verzweigt, wenn ${\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {D}}_{B/A}$ gilt. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von ${\mathfrak {D}}_{B/A}$, vgl. Dedekindring).

Beispiel

Seien $A:=\mathbb {Q} ,\;B:=\mathbb {Q} [X]/(X^{2}+bX+c),\quad b,c\in \mathbb {Q}$; $x$ bezeichne die Äquivalenzklasse von $X$ in $B$.

Somit $D_{B/A}(1,x)=\det {\begin{pmatrix}\mathrm {Tr} _{B/A}(1)&\mathrm {Tr} _{B/A}(x)\\\mathrm {Tr} _{B/A}(x)&\mathrm {Tr} _{B/A}(x^{2})\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}2&-b\\-b&b^{2}-2c\end{pmatrix}}=b^{2}-4c$, was der Diskriminante des Polynoms $X^{2}+bX+c$ entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

$\mathrm {Tr} _{B/A}(1)=\mathrm {Tr} _{B/A}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=2$

$\mathrm {Tr} _{B/A}(x)=\mathrm {Tr} _{B/A}{\begin{pmatrix}0&-c\\1&-b\end{pmatrix}}=-b$

$\mathrm {Tr} _{B/A}(x^{2})=\mathrm {Tr} _{B/A}(-b\cdot x-c)=-b\cdot \mathrm {Tr} _{B/A}(x)-c\cdot \mathrm {Tr} _{B/A}(1)=b^{2}-2c$

Diskriminante eines Zahlkörpers

Sei $K$ ein Zahlkörper und ${\mathcal {O}}_{K}$ sein Ganzheitsring. Sei $b_{1},\dots ,b_{n}$ eine Basis von ${\mathcal {O}}_{K}$ als $\mathbb {Z}$-Modul, und seien $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}$ die Einbettungen von $K$ in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von $K$ ist das Quadrat der Determinante der $n\times n$--Matrix $B$, deren $(i,j)$-Eintrag $\sigma _{i}(b_{j})$ ist:

$\Delta _{K}=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.$

Siehe auch

• Diskriminante

Literatur

• Falko Lorenz: Algebraische Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993, ISBN 3-411-16701-7.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 2006. ISBN 3-540-37547-3.