Diskussion:Äquivalenzrelation

Einleitung

Viel zu gross und ne Menge ist doppelt.. wieso? Will da nichts machen, weil sich irgendwer viell. was dabei gedacht hat, aber das kann man doch bitte in den Artikel integrieren oder? Sieht momentan aus wie ein Stub ueberm Artikel. :-) --Schwarzer8Kater 12:20, 20. Mär. 2008 (CET)

Nicht nur das, es gibt in der Mathematik auch Äquivalenzrelationen auf leere Mengen, die die Definitionen erfüllen. Das macht die Sache mit den Äquivalenzklassen etwas komplexer, auch wenn sie im Regelfall nicht-leer sein werden. (nicht signierter Beitrag von 213.143.125.6 (Diskussion) 20:49, 24. Okt. 2012 (CEST))

Beispiele

Gibt es nicht ein einfaches Beispiel für eine Äquivalenzrelation, bei dem ich nicht um 10 Ecken denken muss? -- Der kleine Matheanfänger ;) ... 12.11.05 - 16:20

Ein weiteres Beispiel: Schachfiguren stehen auf einem Schachbrett in derselben Reihe. Wenn die Relation "in derselben Reihe wie" ist, müsste hier auch eine Äquvalenzrelation vorliegen, oder? --79.233.184.126 20:06, 6. Jul. 2013 (CEST)

Ja. --Digamma (Diskussion) 20:50, 6. Jul. 2013 (CEST)

Man findet leicht zahlreiche Beispiele, wenn man beachtet, daß zu jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge M eine Partition von M gehört (und umgekehrt): Immer dann, wenn man alle Elemente einer Menge M irgendwie „schubladisiert“, handelt es sich bei „in derselben Lade liegen“ um eine Äquivalenrelation auf M.

Beispiele dafür gibt es natürlich wie Sand am Meer: „mit demselben Buchstaben beginnen“ für die deutschsprachige Wörter, „in dieselbe Klasse gehen“ für die Schüler einer Schule, „den gleichen Preis haben“ für die Waren in einem Supermarkt, usw.

Die Schubladisierung braucht aber keinesfalls einen inhaltlichen Hintergrund zu haben wie in den letzten Beispielen. Jede Einteilung der Elemente einer Menge führt zu einer Äquivalenzrelation, sie ist dann nur nicht immer so kurz und prägnant mit Worten beschreibbar.

Beispiel: | 7 | 8 0 | 2 | 3 9 6 4 | 1 5 | wäre etwa eine ganz willkürliche Partition der zehn dezimalen Ziffern, die senkrechten Striche trennen die fünf Klassen voneinander. 2 steht nur mit selbst in Beziehung, 7 ebenfalls; 5 steht in Relation zu 1, 4 zu 9, 0 zu 0, usw. - entscheidend ist nur, ob die Ziffern in derselben Klasse liegen oder nicht. „Bzgl. einer Partition einer Menge M in derselben Klasse liegen“ ist immer eine Äquivalenzrelation auf M, und auch umgekehrt läßt sich jede Äquivalenzrelation so darstellen.

Liebe Grüße, Franz 17:14, 7. Jul. 2013 (CEST)

Zusammenlegen

Was haltet ihr davon die Artikel Äquivalenzklasse und Äquivalenzrelation zusammen zu legen ? --Matthy 13:33, 4. Dez 2004 (CET)

Hallo Leute. Habe gerade das Beispiel mit der "Verwandtschaft" hinzugefügt. Da dies mein erster Beitrag ist, sieht die Formation des Textes dementsprechend aus. Wenn jemand Lust hat, kann er es ja verbessern.

Das Verwandtschaftsbeispiel ist verführerisch, aber irreführend. Wenn man über die Frage: "Was sind die Äquivalenzklassen?", nachdenkt, komme zumindest ich unweigerlich zu dem Schluss, dass es nur eine gibt.--Gunther 16:58, 20. Mär 2005 (CET)

Wenn ich zu einer Party "alle" meine Verwandten einlade, dann sicher alle meine Cousins (Vettern), aber sicher nicht alle Cousins meiner Cousins.... -- Wuzel 17:38, 20. Mär 2005 (CET)

Genau deshalb ist diese Relation nicht transitiv.--Gunther 17:47, 20. Mär 2005 (CET)

Ok. Ihr habt Recht.

Ok, habe die wesentlichen Teile integriert und Äquivalenzklasse durch einen Redirect ersetzt. Kommentare zur neuen Fassung?--Gunther 20:30, 30. Mär 2005 (CEST)

Im Großen und Ganzen gefällt mir die Überarbeitung gut. Zwei kleine Änderungen habe ich mir schon erlaubt vorzunehmen. Mit dem Einleitungssatz In der Mathematik beschreibt der Begriff der Äquivalenzrelation Gemeinsamkeiten von verschiedenen Abschwächungen des Begriffes der Gleichheit. bin ich noch nicht ganz glücklich, er erscheint mir zu verschachtelt. Momentan fällt mir aber leider auch keine prägnantere Charakterisierung ein.--MKI 21:17, 30. Mär 2005 (CEST)

Die Schwierigkeit liegt mMn darin, dass der Begriff Äquivalenzrelation verschiedene Dinge umfasst, die von einem Laien bisher nicht als mathematische Objekte wahrgenommen wurden. Das schließt Formulierungen der Art: "Eine Äquivalenzrelation ist...", schon einmal aus, weil das genus proximum unbekannt ist. Außerdem sollte gleich von Anfang an das mögliche Missverständnis vermieden werden, dass es um eine einzelne Verallgemeinerung des Gleichheitsbegriffes geht.--Gunther 21:31, 30. Mär 2005 (CEST)

Was hältst du davon?: Eine Äquivalenzrelation dient in der Mathematik dazu, bestimmte Gemeinsamkeiten von Objekten zu beschreiben. Sie kann als eine Verallgemeinerung der Gleichheitsbeziehung aufgefasst werden.--MKI 22:32, 30. Mär 2005 (CEST)

Hm, überzeugt mich nicht. Die Gemeinsamkeiten werden nicht beschrieben, es ist noch nicht einmal immer klar, worin sie bestehen. Der Satzanschluss "Sie kann..." klingt für mich zu bestimmt, da würde ich "Eine Äquivalenzrelation..." oder eine Umformulierung ("Man kann eine Ä. als...") vorziehen.--Gunther 22:52, 30. Mär 2005 (CEST)

Ich verstehe nicht, wie du die Gemeinsamkeiten genauer beschreiben willst, ohne die mathematische Definition anzugeben oder in Worten zu umschreiben. Mehr als "Eine Äquivalenzrelation beschreibt Gemeinsamkeiten" und "so ähnlich wie Gleichheit, nur allgemeiner" lässt sich meiner Ansicht nach in der Einleitung nicht vernünftig bewerkstelligen, und für den Lesefluss ist es sicher gut, das auf zwei Sätze aufzuteilen.

Außerdem soll die Einleitung auch gar nicht alles vorwegnehmen. Ihre Aufgabe ist es, einem möglichst breiten Leserfeld eine Idee des behandelten Begriffs zu vermitteln. Im Idealfall sollte ein Kind die Einleitung verstehen können, was in unserem konkreten Fall allerdings kaum machbar sein dürfte.

Du versuchst momentan, in der Einleitung von der Menge der Äquivalenzrelationen zu sprechen. Ich denke, dass es für die Allgemeinverständlichkeit besser wäre, von einer einzelnen Äquivalenzrelation zu sprechen. Ich weiß, dass ich damit deinem vorletzten Beitrag widerspreche. Aber mit einer Formulierung á la Eine Äquivalenzrelation dient dazu... oder Eine Äquivalenzrelation ist ein Konzept zur Beschreibung von... sollte schon allein aufgrund dessen, dass das Wort Äquivalenzrelation im Singular steht, ausreichend auf die mathemat. Eigenständigkeit des Objekts "Äquivalenzrelation" hingewiesen sein. Das schon im ersten Satz noch weiter zu verdeutlichen zu wollen kann wie ich meine nur auf Kosten der Verständlichkeit der restlichen Punkte gehen.

Mit einer Umformulierung des zweiten Satzes wäre ich einverstanden.--MKI 23:42, 30. Mär 2005 (CEST)

Mein Punkt war, dass Äquivalenzrelationen keine Beschreibung der Gemeinsamkeiten von Objekten liefern. (Der Unterschied zur aktuellen Version besteht darin, dass dort nur steht, dass der Begriff Äquivalenzrelation Gemeinsamkeiten zwischen Verallgemeinerungen des Gleichheitsbegriffes beschreibt.)

Ich sehe eine der Hauptschwierigkeiten darin, dass der Laie es nicht gewohnt ist, dass Symbole wie $\sim$ Variablen sind. Deshalb denke ich, dass man deutlich machen muss, dass es nicht nur um einen einzelnen Äquivalenzbegriff geht. Ich versuche auch zu fassen, dass man Äquivalenzrelationen nicht als Objekte ansehen muss (oder als Mengen realisieren), wenn man das Konzept verstehen will.

Deinen Einwand, dass ich von der "Menge der Ä." sprechen will, kann ich nicht nachvollziehen.--Gunther 00:07, 31. Mär 2005 (CEST)

Das habe ich gemeint: Das Wort Gemeinsamkeit in der aktuellen Version bezieht sich darauf, was eine Äquivalenzrelation mit der Gleichheitsrelation gemeinsam hat. Du sprichst also über die Menge der Äquivalenzrelationen. In meinem Vorschlag bezieht sich das Wort Gemeinsamkeit darauf, dass eine Äquivalenzrelation $\subseteq R\times R$ Gemeinsamkeiten der Elemente der Menge $R$ beschreibt. Das Wort Gemeinsamkeit kommt in meinem Fall also eine Bedeutungsebene tiefer zum Einsatz, es geht darum, was eine einzelne Äquivalenzrelation tut.--MKI 00:52, 31. Mär 2005 (CEST)

Zum einen denke ich, dass auch eine einzelne Äquivalenzrelation Gemeinsamkeiten mit der Gleichheit hat (und genau darum geht es im Artikel). Zum anderen behaupte ich immer noch, dass eine Äquivalenzrelation eben keine Gemeinsamkeiten von Elementen der zugrundeliegenden Menge "beschreibt". Die Kongruenzrelation auf den ganzen Zahlen "weiß" nichts von der Division mit Rest, oder die Klasse der Gruppen, die isomorph zu $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ sind, "weiß" nichts vom Isomorphiebegriff. Der Begriff "Äquivalenzrelation" ist eher eine Eigenschaft von Relationen denn ein Mittel zur Beschreibung.--Gunther 01:05, 31. Mär 2005 (CEST)

Ich hatte für meinen Vorschlag überlegt, ob ich anstatt beschreibt besser ist ein Konzept zur Beschreibung schreiben solle und mich dann dagegen entschieden, um mit einer sprachlichen Pirouette weniger auszukommen. Um es kurz zu machen: Ich verstehe was du sagen willst, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass der momentane Einleitungssatz von vielen Laien entweder gar nicht bzw. nicht so verstanden wird, wie er gemeint ist. Ich glaube es wäre besser, den Einleitungssatz grammatikalisch/inhaltlich etwas zu verschlanken und ihn bezüglich Spitzfindigkeiten nicht allzusehr auf die Goldwaage zu legen. Die von dir angemahnten Punkte können gut später noch explizit klargestellt werden, so z.B. dass es nicht eine Äquivalenzrelation gibt sondern i.A. mehrere, und dass $\sim$ prinzipiell nur ein Platzhalter ist und je nach Situation unterschiedliche Äquivalenzrelationen bezeichnet.--MKI 01:34, 31. Mär 2005 (CEST)

Das ist zugegebenermaßen ein Fehler von mir, dass ich so lange an Formulierungen feile, bis jedes Wort etwas aussagt, nur merkt das dann niemand ;-) --Gunther 01:55, 31. Mär 2005 (CEST)

Neuer Versuch.--Gunther 01:55, 31. Mär 2005 (CEST)

gefällt mir wesentlich besser.--MKI 19:18, 31. Mär 2005 (CEST)

Die formale Definition der Symmetrie sieht etwas eigenartig aus, ist das nicht nur eine Richtung? Wenn man es so verbal 'prädikatenlogisch' aufschreibt, sollte es vielleicht besser

Für alle a,b e M für die (a,b) e R gilt, ist auch (b,a) e R und für die (b,a) e R gilt, gilt auch (a,b) e R

heißen. Gerade die Biimplikation ist dabei nicht unwichtig. (nicht signierter Beitrag von 212.202.42.206 (Diskussion) 03:01, 4. Feb 2006)

Die beiden Teilaussagen sind genau dasselbe, sie unterscheiden sich nur in der Wahl der Buchstaben.--Gunther 03:06, 4. Feb 2006 (CET)

a

Kriterien

Zitat: "Definition: eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine blabla, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: ..." Sind diese Bedingungen notwendig, hinreichend oder gar beides? warum? -- Paul Fröhlich und der Igel - 22.11.06 - 15:45

Notwendig und hinreichend, sonst wär's keine Definition.--Gunther 15:52, 22. Nov. 2006 (CET)

Sollte einer Frage der Art "Welche Relationen sind sowohl Ordnungs- als auch Äquivalenzrelationen" (Uni) also geraderaus mit "Keine." begegnet werden? oder meinetwegen mit "mu". (abgesehen vom Nutzen solcher Kompositionen) -- Paul Fröhlich - 22.11.06 - 22:15 (CET)

Ist zwar schon 10 Jahre alt, aber der Ordnung halber:

• Die leere Relation auf der leeren Menge ist sowohl Ordnungs- als auch Äquivalenzrelation.
• Die nichtleere Relation auf einer einelementigen Menge ist sowohl Ordnungs- als auch Äquivalenzrelation.

Außerdem ist jede Äquivalenzrelation zumindest eine Quasiordnung. --Lantani (Diskussion) 16:11, 20. Apr. 2017 (CEST)

Äquivalenz mit Äquivalenz erklärt

Der Artikel erklärt Äquivalenz, indem er die "Kriterien" reflexiv, symmetrisch und transitiv "äquivalenter" ("Das Wort "äquivalent" ...") zu Grunde legt. Äquivalent ist, was zu sich selbst äquivalent ist?!? Ähäm ... So taugen die Beispiele reinweg gar nichts.

Struktur

M.E. ist die ganze (alte) Einleitung schräg. Die Beispiele oben und das anschauliche Beispiel unten beißen sich und sollten zusammen in einen unteren Abschnitt "Beispiele". Die Definitionen von Reflexivität etc. oben und formal unten sind redundant. (Die obigen mir auch nicht eingängig in ihrer Art Metasprachlichkeit.) Am liebsten würde ich den ganzen alten Vorspann auflösen, möchte hier aber keinen verprellen. Vorschlag: Ich kann das bei nächster Gelegenheit mal machen. Wenn´s/wem´s nicht gefällt, kann das dann einfach rückgängig machen. -Hans-Jürgen Streicher 21:10, 20. Mär. 2010 (CET)

DIESER ARTIKEL ERFÜLLT KEINERLEI STANDARDS

Weshalb hat dieser Artikel keine Markierung als revisionsbedürftig bzw. löschbedroht? BEISPIEL: "Wir sagen, zwei Tiere stehen in Relation zueinander, wenn sie von derselben Art sind." Nach den Regeln unserer gemeinsamen Verständigungssprache steht da zu interpretieren: "Ich sage dir jetzt, was bedeutet "in Relation zueinander stehen": "Von der selben Art zu sein".

HABT ERBARMEN!!! (nicht signierter Beitrag von 88.69.154.155 (Diskussion) 12:33, 26. Jan. 2013 (CET))

Das ist möglicherweise ein Missverständnis. Thema des Artikels ist nicht Relation, sondern Äquivalenzrelation. Er will und soll deshalb nicht erklären, was eine Relation ist, sondern erklärt, welche Relationen "Äquivalenzrelationen" sind. --Digamma (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2013 (CET)

Erster Satz

"Äquivalenzrelation bezeichnet eine Relation, die die Eigenschaft hat, gleichzeitig reflexiv, symmetrisch und transitiv zu sein."

1. was soll das "gleichzeitig"? Das suggeriert doch, dass die Eigenschaften zeitlich variabel sind (wovon ich nicht ausgehen wuerde).

2. bin ich fuer eine Umformulierung in "Äquivalenzrelation bezeichnet eine reflexive, transitive und symmetrische Relation." kuerzer, praegnanter, alles definierende gesagt. 137.248.122.213 15:53, 7. Feb. 2013 (CET)

Hi! Ich stimme Dir zu und habe daher den ersten Satz abgeändert. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 16:05, 7. Feb. 2013 (CET)

ups, ja, stand auf dem Schlauch--Frogfol (Diskussion) 23:48, 14. Dez. 2013 (CET)

Bezeichnungen

Der Gebrauch des Symbols $\sim$ im Artikel ist inkonsequent:

• In der Definition wird $\sim$ eingeführt als symbolische Abkürzung für das sprachliche Konstrukt „ist äquivalent zu“:

„$a\sim b$“ symbolisiert „$a$ ist äquivalent zu $b$“.

$a\sim b$ bedeutet also, dass $a$ nach irgend einer Äquivalenzrelation äquivalent sein soll zu $b.$ In dieser Weise wird $\sim$ danach nur noch in den Abschnitten zu den Äquivalenzklassen und zur universellen Eigenschaft benutzt.

• In den anderen Abschnitten wird $\sim$ jedoch ganz anders benutzt, nämlich als Bezeichnung für eine ganz bestimmte (Äquivalenz-)Relation:

$a\sim b$ bedeutet ${\sim }\subseteq M\times M$ mit $(a,b)\in {\sim }.$

Sind $a$ und $b$ äquivalent bezüglich der Äquivalenzrelation $R$, dann ist es aber üblich – wie bei jeder anderen Relation auch (die keine Funktion ist) – $a\,R\,b$ zu schreiben. --RPI (Diskussion) 15:08, 9. Aug. 2013 (CEST)

Zur leeren Relation

Zu diesem Edit-Paar: Ich hatte damit nicht gesagt, dass mein Satz alle solchen (symmetrischen, transitiven, aber nicht reflexiven) Relationen beschreibt, sondern nur eben jene als Beispiel angegebene, leere Relation, die meines Erachtens den Leser verwirren kann. Vielleicht lässt sich das besser formulieren. Aber vielleicht ist es auch besser, eben ein solches reales Beispiel anzugeben, wo Zahlen mit anderen in Relation stehen (welches am besten?). Meinungen? --KnightMove (Diskussion) 10:17, 14. Dez. 2013 (CET)

Vielleicht $\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid a,b{\text{ gerade}}\}$. --Digamma (Diskussion) 10:39, 14. Dez. 2013 (CET)

Hallo KnightMove und Digamma!

Ich habe erst vor ein paar Wochen diese leere Relation durch dieses …

• symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv: $\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid |a-b|<0\}$

… Beispiel beschrieben, wobei ich (wie in der dortigen Zusammenfassungszeile auch angemerkt ist) vereinheitlichend den Term $a-b$ zur Beschreibung der charakterisierenden Eigenschaft eingesetzt habe. Einige andere Aspekte, die auch darüber hinaus dafür sprechen, habt Ihr ja schon angeführt. Dieser Vorschlag stieß jedoch auf wenig Gegenliebe und wurde mit der Begründung, der Sachverhalt sei dadurch verkompliziert worden (siehe dazu diese Zusammenfassungszeile), wieder zurückgesetzt. Für eine entsprechende Änderung habt Ihr jedenfalls meine Unterstützung, ein Kompromiß wäre vielleicht die Variante

• symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv: $\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid |a-b|<0\}=\emptyset$

Liebe Grüße, Franz 12:36, 14. Dez. 2013 (CET)

Meines Erachtens hattet ihr da beide teilweise recht. Dein Vorschlag ist gut, aber es sollte dabei wiederum nicht unterschlagen werden, dass das die leere Menge ist, weil der Leser, der das dann merkt, wiederum verwirrt ist. Aber als mMn noch bessere Lösung würde eine der von Jobu0101 im letzten Edit angesprochenen nichtleeren, symmetrischen und transitiven Relationen nehmen, bei der mindestens ein Element aus M in keiner Relation steht (weder zu anderen, noch zu sich selbst), es aber es aber für andere Elemente schon der Fall ist. --KnightMove (Diskussion) 12:51, 14. Dez. 2013 (CET)

Hierfür kann man jede Äquivalenrelation $E$ auf einer echten Teilmenge $T$ von $M$ verwenden, indem man sie trivial zu einer Relation $R$ auf $M$ fortsetzt, sodaß also $E$ dann die Einschränkung von $R$ auf $M$ ist, zum Beispiel: Mit $0\in \mathbb {N}$ und $T=\mathbb {N} ^{*}$ sei $E:=\Delta _{T}$ die Diagonale (das heißt die Gleichheitsrelation) auf $T$ und $0$ stehe mit keiner Zahl in Beziehung. Als kompakte Schreibweise dafür könnte man

$R=\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid log(a)=log(b)\}$

mit einem Logarithmus beliebiger Basis wählen, weil der Logarithmus in $\mathbb {N}$ genau an der Stelle $0$ nicht definiert (und log(0)=log(0) daher keine wahre Aussage) ist. Etwas weniger kryptisch ließe sich das auch so …

$R=\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid a=b\land \ a>0\}$

… darstellen.--Franz 14:45, 14. Dez. 2013 (CET)

Ups: So etwas wollte ich oben eigentlich sagen. Mein Vorschlag sollte richtig so lauten: $\{(a,a)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid a{\text{ gerade}}\}$ --Digamma (Diskussion) 14:55, 14. Dez. 2013 (CET)

Ja, das ist ein anderer Spezialfall: Wieder $M=\mathbb {N}$ und $E=\Delta _{T}$,

diesmal aber $T=2\mathbb {N} =\{2g\mid g\in \mathbb {N} \}$.--Franz 20:51, 14. Dez. 2013 (CET)

Vielleicht eine Äquivalenzrelation plus ein Element, das zu nix korreliert ist? Gruß--Frogfol (Diskussion) 21:19, 14. Dez. 2013 (CET)

Ja, denn damit meinst Du offenbar genau das, was ich weiter oben schon mit etwas anderen Worten gesagt habe.--Franz 21:55, 14. Dez. 2013 (CET)

Dann setze es doch möglichst einfach um, Gruß--Frogfol (Diskussion) 21:59, 14. Dez. 2013 (CET)

Ich wollte eigentlich das Ende dieser Diskssion abwarten, aber es scheint ja ohnehin niemand dagegen zu sein, also: umgesetzt.--Franz 22:21, 14. Dez. 2013 (CET)

@Frogfol: Ich fasse es nicht: Was soll denn das nun? Das ist doch kein Benehmen: Gerade eben bittest Du mich, die Änderung durchzuführen, ich komme Deinem ausdrücklichen Wunsch nach, und ein paar Minuten später revertierst Du diese Änderung dann. Wenn Du (wie in der Zusammenfassungszeile Deines Reverts behauptet) der Meinung bist, bei dem neuen Beispiel handle es sich um Falsches, dann liegt es an Dir, das hier zu beweisen. Bis dahin laß gefälligst Deine Finger von der Reverttaste!--Franz 22:52, 14. Dez. 2013 (CET)

Mathematisch leider Quatsch: (a,a) gerade ist reflexiv, Gruß--Frogfol (Diskussion) 23:01, 14. Dez. 2013 (CET)

(Quetsch nach BK): Da Du trotz mehrfacher Aufforderung von mir, vor dem Revertieren die Diskussionsseite zwecks Klärung aufzusuchen, abermals revertiert hast (und zwar bevor Du Dich hier gemeldet hast, was ich noch gar nicht gesehen hatte), mußte ich (um den von Dir begonnenen Editwar nicht selbst weiterführen zu müssen) um eine administrative Klärung ansuchen.

Das ist übrigens kein „Quatsch“, sondern völlig korrekt: Weil 1 eine natürliche Zahl ist, aber (1,1) kein Element von R ist, ist R nicht reflexiv.--Franz 23:37, 14. Dez. 2013 (CET)

Edit: Ich weiß auch nicht, wie ich das noch offensichtlicher darstellen kann (a,a) erfüllt offensichtlich die Eigenschaft der Reflexifität, offensichtlicher geht es nicht. --Frogfol (Diskussion) 23:06, 14. Dez. 2013 (CET)

Nein, weil Refelexivität für alle a gelten muss, und diese hier nur für die geraden gilt. Ungeachtet dessen halte ich eine Relation, die sich nur an Paare (a,a) richtet, für kein gutes Beispiel, egal ob es logisch hält oder nicht. Mal drüber schlafen... --KnightMove (Diskussion) 23:20, 14. Dez. 2013 (CET)

Mal drüber schlafen brauchte es nicht, sry, dass ich da so falsch lag, ist schon spät für mich. Aber vielleicht finden wir noch ein besseres Beispiel. Gruß--Frogfol (Diskussion) 23:54, 14. Dez. 2013 (CET)

Ich glaube, die aktuelle Version von Nomen4Omen ist korrekt und für den Zweck auch optimal. Nur sehe ich vor dem equiv-Zeichen einen allzu langen Abstand und weiß nicht warum?! --KnightMove (Diskussion) 11:17, 15. Dez. 2013 (CET)

Das ist dasselbe Beispiel wie vorher, nur komplizierter ausgedrückt. Es wird dadurch nicht besser. Ich mache es rückgängig. --Digamma (Diskussion) 11:21, 15. Dez. 2013 (CET)

Gemach. Eine Relation ist per Definition eine Teilmenge der Menge der Paare (a,b). Natürlich kann die von Haus aus auf Paare (a,a) beschränkt sein (weil es ja durch die Zusatzbedingung a=b so eingerichtet werden kann), aber das sofort im Gegensatz zu den anderen Beispielen auf der linken Seite gleich vorauszusetzen, ist zumindest verwirrend. Ich schlage daher folgende Formulierung vor:

$\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid a{\text{ und }}b{\text{ sind gerade}}\}$ --KnightMove ([[Benutzer ::Diskussion:KnightMove|Diskussion]]) 11:29, 15. Dez. 2013 (CET)

Gefällt mir. Ich habe mal bei den andern Beispielen eine Beschreibung in Worten ergänzt. --Digamma (Diskussion) 11:34, 15. Dez. 2013 (CET)

Das ist jetzt aber eine andere Relation als die ursprünglich von Digamma vorgeschlagene:

$R_{1}=\{(a,a)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid a{\text{ gerade}}\}=\{(2m,2m)\mid m\in \mathbb {N} \}$

$R_{2}=\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid a{\text{ und }}b{\text{ sind gerade}}\}=\{(2m,2n)\mid m\in \mathbb {N} \land \ n\in \mathbb {N} \}$

(2,4) liegt in R₂, aber nicht in R₁.--Franz 13:16, 15. Dez. 2013 (CET)

Ja, ich weiß. Aber diese scheint mir sinnvoller zu sein. Das Problem ist ja, dass es im Wesentlichen überhaupt keine "vernünftige" Relation gibt, die symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist. Das Grundprinzip hast du ja beschrieben: Man nehme irgendeine Äquivalenzrelation und schrenke sie auf eine Teilmenge ein. Die zwei Vorschläge sind zwie Extremfälle für die Äquivalenzrelation: Einmal die Gleichheit, das andere mal die Allrelation.

Das Beispiel $R_{2}$ scheint mir dabei aber noch das "vernünftigere" zu sein. Man nimmt eine Eigenschaft (in diesem Fall "ist gerade") und setzt als Relation: "a und b besitzen beide diese Eigenschaft". --Digamma (Diskussion) 18:15, 15. Dez. 2013 (CET)

Beispiel "ist Bruder von"

Zitat: "Keine Äquivalenzrelation ist die Beziehung »ist Bruder von« auf der Menge aller Menschen. Diese Relation ist zwar transitiv, aber weder reflexiv (weil ich nicht mein eigener Bruder bin) noch symmetrisch (weil meine Schwester nicht mein Bruder ist, obwohl ich ihr Bruder bin)."

Stimmt das mit der Transitivität? Beispiel: 2 Brüder "Anton" und "Bert". Sei a=Anton, b=Bert, c=Anton. Es gilt a~b und b~c aber NICHT c~a. Die Def. von transitiv setzt ja nicht paarweise verschiedene Werte voraus. Also ist "Bruder von" nichtmal transitiv. Oder? (nicht signierter Beitrag von 87.176.125.168 (Diskussion) 11:27, 28. Okt. 2014 (CET))

Ja, du hast recht. --Digamma (Diskussion) 11:58, 28. Okt. 2014 (CET)

@87.176.125.168: Danke für den Hinweis, ich habe es soeben ausgebessert (das war wohl damals nicht so ganz mein Tag … ;-)). Liebe Grüße, Franz 13:39, 28. Okt. 2014 (CET)

Der "Entscheidungsbaum" bei der Definition

Was hat den diese Grafik da zu suchen? Es wird entschieden ob alle drei Bedingungen(sym., trans., reflex.) erfüllt sind, das ist nicht unbedingt so schwer das man es mit einem Bild unterstützen muss. Diese Grafik verwirrt mehr als das sie zum Thema beiträgt, ich denke der Begriff von Äquivalenzrelation sollte schon voraussetzen das man versteht was es bedeutet wenn drei Anforderungen erfüllt sind und nicht eine davon ausgelassen wurde. Im Bild wird eine Reihenfolge in den Bedingungen suggeriert in der Bildunterschrift wird man dan darüber aufgeklärt das es doch nicht so ist. Die Bedingungen sind sogar unabhängig von einander. (nicht signierter Beitrag von 2A02:810B:8580:C8C:354E:42B1:2DF9:209E (Diskussion | Beiträge) 06:03, 5. Dez. 2014 (CET))

Das sehe ich genauso, ich hab das Bild mal rausgenommen. -- HilberTraum (d, m) 13:19, 5. Dez. 2014 (CET)

Nicht reflexiv

Warum ist dieses Beispiel richtig?

• symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv: $\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid b=a\neq 1\}$ ($a$ ist gleich $b$ und nicht 1.)

Wenn immer a=b ist, dann kann man doch auch sagen, ich wähle b immer gleich a. Also erfüllt es die Äquivalenzrelation mit sich selber, so dass a=a ist, solange es ungleich 1 ist. Es sieht für mich deshalb, wie das Beispiel indem alles erfüllt ist mit der Einschränkung, dass 1 nicht angenommen werden darf. --89.14.69.66 17:30, 7. Okt. 2015 (CEST)

Es kommt ganz wesentlich darauf an, über welcher Grundmenge eine Relation betrachtet wird:

$R:=\{(2,2),(3,3),\ldots \}$

ist reflexiv über der Menge $\mathbb {N} \setminus \{1\}=\{2,3,\ldots \},$ aber nicht reflexiv über der Menge $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \};$ Letzteres wegen $1\in \mathbb {N} ,$ aber $(1,1)\notin R.$ --Franz 18:09, 7. Okt. 2015 (CEST)

Das ist so verständlich, weil du vorher mir definiert hast, was die Äquivalenzrelation ist. In dem oben genannten Beispiel ist es 1.nicht definiert 2. betrachte ich Äquivalent die Menge der Natürlichenzahlen ohne die 1 an(also genau die Menge die du mir als Beispiel angibst, die R erfüllt), weil der Senkrechtestrich diese Bedingung aufstellt, dass ich mir nur die Paare a=b ungleich der 1 betrachte. Das Paar (1,1) kommt ja gar nicht in dieser Menge vor. Eigentlich müsste bei dem Beispiel die Bedingung raus genommen werden und R vorher definieren. --77.176.28.210 08:59, 9. Okt. 2015 (CEST)

Auch im Artikel ist „definiert […], was die Äquivalenzrelation ist“. Denn es gilt ja:

$\{(2,2),(3,3),\ldots \}=\{(a,b)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \mid b=a\neq 1\}$

Ich habe also nur die (präzisere!) Definition aus dem Artikel durch die anschaulichere „Pünktchendefinition“ ersetzt. Leider habe ich gerade keine Zeit, aber ich werde (sobald ich dazu komme) versuchen, die fragliche Stelle etwas umzuformulieren, sodaß mögliche Mißverständnisse vermieden werden. Soweit ich mich erinnere, hatte ich vor ein paar Jahren sogar einmal eine alternative Version eingefügt, aber sie fand wohl bei irgendjemandem keine Zustimmung. --Franz 15:15, 9. Okt. 2015 (CEST)

die Diskussion dazu ist weiter oben im Abschnitt #Zur leeren Relation--Digamma (Diskussion) 16:53, 9. Okt. 2015 (CEST)

Hat sich erledigt, ein klarer Blick auf die Definition der Äquivalenzrelation löst alle Probleme auf. Interessant, dass man etwas ständig benutzen kann ohne es anscheinend richtig verstanden zu haben. Die bisherige Schreibweise der Menge finde ich auch viel schöner und finde, dass diese Pünktchenschreibweise eher in einem Artikel aufgehoben ist, indem Mengen erklärt.--77.178.103.156 (16:24, 10. Okt. 2015 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Äquivalenzrelationen müssen keinen tieferen Sinn haben

Wenn man die Beispiele durchsieht, haben alle dort vorgestellten Äquivalenzrelationen einen tieferen Sinn. Das ist aber nicht nötig. Wenn ich etwa auf den ganzen Zahlen die Relation σ definiere als:

$x\sigma y,{\begin{cases}{\text{wenn }}x=y=42{\text{ oder }}x,y\in \{-17,17,23\}\\{\text{sonst wenn }}x-y=33k{\text{ für ein }}k\in \mathbb {Z} ,\end{cases}}$

dann ist das eine Äquivalenzrelation, denn sie hat die drei gefordeten Eigenschaften.

Warum ist so ein Quatsch wichtig? Weil sonst die Vorstellung durch die Gegend geistert, Äquivalenz bedeute so etwas wie "Gleichheit" in der natürlichen Sprache, nämlich "Gleichheit gewisser Eigenschaften", wie es auch hier heißt. Dafür wird Äquivalenz zwar verwendet, aber so ist sie nicht definiert. --Lantani (Diskussion) 13:52, 4. Dez. 2016 (CET)

Stimmt, müssen sie nicht. Aber so richtig verbieten kann man es ihnen auch nicht. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:44, 4. Dez. 2016 (CET)

Außerdem ist das Beispiel auch noch falsch (Transitivität verletzt). – Ich denke, man sollte den Satz erwähnen, dass nicht nur jede Äquivalenzrelation eine Partition auf der Trägermenge zur Folge hat, sondern dass umgekehrt jede Partition gerade die Menge der Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation ist. Dann sieht man, (wenn man es sieht,) dass das viele sind, z.B. überabzählbar viele Äquivalenzrelationen auf den natürlichen Zahlen. Und dann noch ein Beispiel mit einer einfachen Definition, wo man aber nicht gleich eine Anwendung für die Äquivalenzrelation sieht. Vorschlag: Kommensurabilität reeller Zahlen. Offenbar eine Äquivalenzrelation, aber ich wüsste keine leicht zu definierende gemeinsame Eigenschaft äquivalenter Elemente. Das sollte für mein Anliegen oben reichen. Mach ich auch gerne, komme aber jetzt nicht dazu. --Lantani (Diskussion) 22:28, 14. Dez. 2016 (CET)

Habe jetzt zwei Beispiele hinzugefügt, bei denen die Gemeinsamkeit äquivalenter Elemente nicht so ins Auge springt wie bei den anderen Beispielen. --Lantani (Diskussion) 15:42, 18. Apr. 2017 (CEST)

Abschnitt "Modulo" gehört nicht hierher

Der Abschnitt Modulo ist erstens völlig unverständlich, und zweitens beschreibt er etwas, das nur am Rande mit Äquivalenzrelationen zu tun hat, nämlich Kongruenzrelationen. Mit Hilfe von ÄR allein kann man Äquivalenzklassen bilden, aber keine Faktor- (auch Quotienten-) Strukturen; dafür braucht man Kongruenz, und das ist etwas anderes, etwas über ÄR Hinausführendes.

Der Abschnitt Kongruenzrelationen als Unterpunkt gehört als Thema zum Woanders-Weiterlesen hinein. Die Überschrift "Erzeugte Relationen" drüber ist nicht so glücklich. Außerdem ist das gruppentheoretische Beispiel auch komplexer als es sein müsste. Kongruenzen und Faktorstrukturen gibts auch einfacher zu haben.

Mein Vorschlag: Abschnitt Modulo ersatzlos streichen; Abschnitt Kongruenzrelationen überarbeiten. Kann ich beides machen. Das erste ist ein Klacks (aber ich zögere immer ein wenig, etwas zu löschen, was jemandem viel Arbeit gemacht hat); das zweire erfordert ein wenig Abhängen und eine genaue Untersuchung, was in den Zielartikeln schon steht, auf die man verweisen will – da komme ich jetzt nicht gleich dazu. Hat jemand zu diesen Änderungsvorschlägen eine Meinung? --Lantani (Diskussion) 10:06, 20. Apr. 2017 (CEST)

1. Auf jeden Fall ist die Überschrift „Modulo“ verkürzt und müsste im hiesigen Kontext natürlich genauer heißen: „kongruent modulo“ oder „Kongruenz modulo“. Und diese Kongruenzrelationen sind dann natürlich (Beispiele für) Äquivalenzrelationen. Wo man einen Hinweis auf sie unterbringt, ob im Extra-Abschnitt oder unter „Kongruenzrelationen“? Vllt eher letzteres.
2. Die Unterscheidung zwischen „Erzeugte Relationen“ und anderen Relationen ist mir nicht geläufig und finde auch ich nicht besonders wertvoll. (Irgendwie ist in der Mathematik doch fast alles «erzeugt».)
3. Wenn man Äquivalenzklassen hat, hat man sofort auch Mengen von denen, also Faktormengen. Die sind im Abschnitt „Menge der Äquivalenzklassen und Index“ erwähnt, allerdings ohne die Begriffsbildung „Faktormenge“, was m.E. ein Fehler ist. Dass diese Mengen (von äquivalenten Elementen) auch (topologische, algebraische) Struktur, so vorhanden, von den Ausgangselementen erben oder mitnehmen und wie, interessiert einen interessierten Leser. Der Schwerpunkt dieser Sachverhalte kann aber in den Spezialartikeln liegen. Bei solchen Verweisen finde ich es aber immer schön, wenn man einen Hauch von Kontext oder Erklärung dabeihat, so dass man ein bisschen abschätzen kann, ob das Weiterklicken lohnt und die Neugier evtl befriedigt.

Generell ist das Thema ein zentrales und wichtiges und hat viele Verästelungen, so dass die Gefahr der Zerfledderung besteht. Aber es lohnt sich schon, Ordnung zu schaffen. Gruß, --Nomen4Omen (Diskussion) 16:44, 20. Apr. 2017 (CEST)

Nochmal kurz: Natürlich gehören Kongruenzrelationen hier erwähnt, weil sie ja sehr wichtige Spezialfälle von Äquivalenzrelationen sind. Aber erklärt werden sie in einem extra Artikel aus gutem Grund:

• Sie sind auf Strukturen definiert und nicht auf unstrukturierten Mengen wie die Äquivalenzrelationen.
• Sie sind ganz schön komplex, und was sie komplex macht, hat nichts mit Äquivalenzklassen zu tun und gehört daher nicht hierher.

Ein Teil des Problems ist, dass bis vor einer Woche alle Beispiele von Äquivalenzrelationen in diesem Artikel gleichzeitig Kongruenzrelation auf der naheliegendsten Struktur auf der jeweiligen Menge waren -- jetzt nur noch alle bis auf eines. Das ist schlecht, weil da der Leser ein völlig schiefes Bild davon bekommt, was eine Äquivalenzrelation ist und dass es etwas Besonderes ist, wenn eine ÄR mit den Operationen in einer Struktur verträglich ist.

Deswegen war mein Vorschlag, einen qualifizierten Verweis auf den Artikel Kongruenzklassen einzubringen (also einen, bei dem der Leser weiß, was ihn dort erwartet und ob ihn das interessiert), aber so wenig wie möglich von dem zu wiederholen, was dort erklärt wird.

Um mal Butter an die Fische zu tun, habe ich jetzt diese Kurzerläuterung von Kongruenzklassen neu geschrieben und eingebracht. Meinem Geschmack nach ist sie eher zu ausführlich als zu kurz. Aber Beispiele von Kongruenzklassen und Faktorstrukturen im einzelnen aufzudröseln geht hier zu weit, das gehört entweder in Spezialartikel zur jeweiligen Struktur (z.B. Restklassenring) oder in den Artikel Kongruenzrelation -- der auch noch verbesserungsfähig und -würdig ist.

Und weil hier keine Beispiele für etwas stehen sollen, was woanders erklärt wird oder erklärt werden sollte, gehört der Abschnitt Modulo hier raus. Ob er stattdessen woanders sinnvoll wäre, lasse ich offen.

Den umgebenden Abschnitt Erzeugte Relationen habe ich nicht geändert, allerdings den neuen Abschnitt daraus entnommen. Mir ist nicht klar, wieso man durch die reflexiv-transitive Hülle Kongruenzrelationen bekommen sollte. Erstens ist da die Symmetrie vergessen und zweitens kommt man allenfalls bis zu Äquivalenz- aber nicht zu Kongruenzrelationen. --Lantani (Diskussion) 18:03, 21. Apr. 2017 (CEST)

Kern

Jemand hat den Begriff "Kern" hier eingebracht. Das ist nicht zu kritisieren. Zu kritisieren ist allerdings, dass er den Artikel Kern (Algebra) nicht erwähnt und sich nicht mit ihm auseinandersetzt. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:25, 5. Feb. 2018 (CET)

Das Wort "Kern" kommt zweimal vor:

• einmal unter "Universelle Eigenschaft" für beliebige Mengen und Äquivalenzrelationen darauf
• einmal unter "Kongruenzrelationen" für algebraische Strukturen

Das ist in Ordnung so, und es enthält nicht den Fehler, den ich in früheren Diskussionsbeiträgen (besonders im voranstehenden über "Modulo") kritisiert habe, nämlich dass der Spezialfall von KR missbraucht wird, um damit Eigenschaften von ÄR zu erklären, als sei jeder ÄR eine KR.

Der Zusammenhang der beiden Kernbegrffe ergibt sich daraus, dass eine schlichte Menge auch aufgefasst werden kann als eine algebraische Struktur ohne jede Funktion oder Relation. Dann ist jede Funktion aus der Menge verträglich mit allen (nicht vorhandenen) Funktionen und Relationen der Struktur, mithin ein Homomorphismus, jede Äquivalenzrelation eine Kongruenzrelation, und die beiden Kernbegriffe fallen zusammen. Zwar richtig, aber ein trivialer Fall, der jeden Leser verwirren muss, der nicht schon vorher weiß, wie die Begriffe zusammenhängen.

Nachdem noch keiner kommentiert hat, tue ich das mal ausnahmsweise mitten in meinem eigenen alten Beitrag. Der Absatz oben stellt zwar den Zusammenhang her, aber natürlich ist ein Kern im ersten Sinn eine Äquivalenzrelation, während einer im zweiten Sinn eine Teilmenge ist, nämlich die Äquivalenzklasse des Nullelements –wenn es sowas in der Struktur überhaupt gibt, was bei nackten Mengen nicht der Fall ist. Bisher vertraut ist mir der Begriff im zweiten Sinn, also dem von Kern (Algebra). Ich suche mal, wo der Begriff im ersten Sinn verwendet wird. Werde ich fündig, denke ich über eine Formulierung nach, wie man die beiden verbinden kann. [Der Rest meines gestrigen Beitrags bleibt gültig, die neue Unterschrift kommt am Schluss.]

Was ich nicht gut finde, ist dass beim zweiten, neuen Vorkommen von "Kern" (also dem, wo "Kern" schon vorher vorkam) der Begriff Homomorphismus unvermittelt vom Himmel fällt. Lässt sich mit wenig Aufwand reparieren. Kann ich machen, aber heute nicht mehr.

Längerfristig fände ich gut, wenn die drei chrarakteristischen Eigenschaften von ÄR relativ früh im Artikel beieinanderstünden:

• ÄR sind reflexiv, symmetrisch und transitiv.
• Jede Partition einer Menge in disjunkte nichtleere Teilmengen definiert eine ÄR auf der Menge.
• Jeder Funktion auf der Menge (egal wohin) definiert eine ÄR.

In der Praxis kann jede der drei zur Definition einer konkreten ÄR benutzt werden, und das wird auch gemacht. Man muss dazu zeigen, dass die drei logisch äquivalent sind, was im Artikel zwar vorkommt, aber relativ verstreut. Und weil sie äquivalent sind, kann man sich entscheiden, welche man zur Definition vor ÄR verwenden will, und da hat man sich für die erste entschieden, weil die ohne Hilfsobjekte wie Partitionen oder Funktionen auskommt. --Lantani (Diskussion) 18:40, 5. Feb. 2018 (CET)

Der tiefer eingerückte Absatz wurde nachträglich eingefügt. --Lantani (Diskussion) 08:38, 6. Feb. 2018 (CET)

Reflexiv-transitive Hülle

Hallo Ernsts,

bitte schreibe Kommentare nicht wie hier auskommentiert in den Artikel, sondern besser auf die Diskussionsseite. Sonst gehen sie unter. Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 09:51, 28. Apr. 2018 (CEST)

Dem komme ich hiermit gerne nach:
Habe den bisherigen Abschnitt 'Refexiv-transitive Hülle' umbenannt und in 'Äquivalenzhülle' und (abgesehen vom unveränderten 1. Absatz) völlig neu gefasst. Begründung:

Der bisherige und jetzt aktuell auskommentierte Text lautete:

---

Sei eine Menge $X$ gegeben und eine beliebige Relation $R\subseteq X\times X$. Dann kann die durch $R$ erzeugte Äquivalenzrelation $\sim _{R}$ auch dadurch beschrieben werden, dass $a\sim _{R}b$ genau dann gilt, wenn

• $a=b$ oder
• Es gibt endlich viele Elemente $c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n}$ mit $c_{0}=a$, $c_{n}=b$ und für $0\leq i<n$ jeweils $c_{i}\ R\ c_{i+1}$ oder $c_{i+1}\ R\ c_{i}$.

Die neue Relation $\sim _{R}$ wird reflexiv-transitive Hülle von $R$ genannt.

---

Leider war dazu keine Referenz angegeben. Und das kann so auch nicht stimmen. Beweis:
Man wähle für $X$ die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ und als Relation <.
Da kann der Weg $c=(c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n})$ kann dann noch so lang sein, es wird (wegen der Transitivität) nie eine Äquivalenzrelation dadurch vermittelt.
Die Lösung ist, dass man zuerst von $R$ respektive < die symmetrische Hülle bilden muss (siehe unten, vgl. Transitive Hülle (Relation)), und das ist dann eine Äquivalenzhülle (s. u., Zusatz mit Beweis).
Zum Begriff Weg in diesem Zusammenhang siehe Hans-Rudolf Metz: Relationen - Wege, Hüllen], FH Gießen, Juni 2010

Habe die Überschrift Überschrift des Absatzes lautet Äquivalenzhülle. Dieser Begriff ist entnommen aus Johannes Köbler: Einführung in die Theoretische Informatik, WS2011/12, Seite 38. Die Bezeichnung wurde lediglich etwas angepasst zu $R^{\text{äq}}$ in Analogie zu den Notationen in Transitive Hülle (Relation)#Mathematische Definition. Dort heißt es sinngemäß (mit $M$ - wie sonst in diesem Atrtikel - anstelle von $X$):

Sei $R$ eine beliebige Relation auf der Menge $M$. Als Äquivalenzhülle von $R$ bezeichnet man die kleinste Äquivalenzrelation, die $R$ als Teilrelation enthält, in Zeichen:

$R^{\text{äq}}:=\bigcap \{E\ \subseteq M\times M|E\ {\text{ist Äquivalenzrelation auf}}\ M\land R\subseteq E\}$

Allerdings ist diese Formulierung von der bisherigen stark verschieden. Es erschien mir daher sinnvoll, den folgenden Zusatz aufzunehmen:

Es gilt: Die Äquivalenzhülle ist die reflexiv-transitive Hülle der symmetrischen Hülle, formal:

$R^{\text{äq}}=(R^{s})^{*}=(R\cup R^{-})^{*}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}(R\cup R^{-})^{n}$

Von der logischen Richtigkeit überzeugt man sich leicht selbst:
Die auf der rechten Seite definierte Relation ist per Definitiom symmetrisch, transitiv und reflexiv.
Umgekehrt gilt: Jede Äquivalenzrelation, die $R$ umfasst, muss auch die symmetrische Hülle $R^{s}=R\cup R^{-}$ davon umfassen (wegen Symmetrie der Äquivalenzrelation auf der linken Seite), sowie alle Verkettungs-Potenzen $(R^{s})^{n},n\in \mathbb {N} _{0}$ davon (wegen Transitivität der Äquivalenzrelation auf der linken Seite), und damit deren Vereinigung. Das gilt auch für den Schnitt aller dieser Äquivalenzrelationen, die $R$ umfassen. Das bedeutet Gleichheit, qed.
Wäre schön, wenn jemand dazu noch eine Literatur-Quelle fände (auch wenn es sonst in diesem Artikel daran hinten und vorne fehlt). Statt diesen Absatz womöglich wegen fehlenden Belegs rauszuwerfen.
Vielen Dank im Voraus!

PS: Die auskommentierten Anmerkungen im Artikel können gerne entfernt werden, wenn die Korrektheit der Darstellung allgemein akzeptiert ist.
--Ernsts (Diskussion) 14:13, 28. Apr. 2018 (CEST)

Artikel vollständig überarbeitet

Ich habe mir die Mühe gemacht, den Artikel gründlich zu überarbeiten:

• Die Gliederung ist jetzt systematischer und klarer. Insbesondere die Definitionen der verschiedenen Begriffe wurden getrennt und sind so besser zu finden.
• Der Text wurde gestrafft und auf das Wesentliche reduziert.
• Deplaziertes wie der Abschnitt „Modulo“ (siehe obige Diskussion #Abschnitt "Modulo" gehört nicht hierher) wurde herausgenommen und in den Artikel Kongruenzrelation, auf den verwiesen wird und wo dieses Thema auch hingehört, ausführlich eingearbeitet.
• Fehlendes wurde systematisch ergänzt, insbesondere der Begriff des Kernes einer Funktion (siehe obige Diskussion #Kern).

--RPI (Diskussion) 16:08, 22. Mär. 2019 (CET)

Brüder Beispiel

In den Beispielen von Beziehungen, die keine Äquivalenzrelationen darstellen, wird als erstes die Beziehung "ist Bruder von" genannt. Wie richtig beschrieben ist diese Beziehung weder reflexiv (da man nicht sein eigener Bruder ist), noch symmetrisch (da man der Bruder seiner Schwester ist, diese aber nicht der eigene Bruder), allerdings ist diese Relation transitiv wie schon 2014 richtig geschrieben wurde. Dies wurde aufgrund des folgenden Arguments geändert: a=Anton b=Bert c=Anton; a ist Bruder von b, b ist Bruder von c, aber a ist nicht Bruder von c. Dies stellt allerdings keinen Transitivitätstest dar, da für einen solchen drei verschiedene Elemente benötigt werden. Wenn die Relation zwischen a und c betrachtet wird, wird die Eigenschaft der Reflexivität betrachtet, nicht Transitivität, da man die Relation von Anton zu Anton betrachtet. Dieses Beispiel ist also weder reflexiv, noch symmetrisch, aber transitiv. 3fkWTwQe (Diskussion) 22:35, 13. Aug. 2019 (CEST)

Hilbertraum der L²-integrierbaren Funktionen

Dieses „Beispiel“ ist kein Beispiel, sondern ein Text, in dem zufällig eine Äquivalenzrelation vorkommt. Wem soll damit etwas erläutert werden? Denjenigen, die genug Maßtheorie gelernt haben, um den dargestellten Sachverhalt zu verstehen, aber immer noch keine Vorstellung davon haben, was eine Äquivalenzrelation ist. Die dürften selten sein. Lösung: hier löschen; wenns woanders hineinpasst, meinetwegen dorthin verlagern. --Lantani (Diskussion) 00:24, 27. Aug. 2019 (CEST)

Nichts dagegen. --Digamma (Diskussion) 21:30, 28. Aug. 2019 (CEST)

PS: Der Artikel behandelt nicht nur Äquivalenzrelationen, sondern auch Äquivalenzklassen. Äquivalenzklasse ist eine Weiterleitung hierher. Das genannte Beispiel ist sicher kein gutes Beispiel für Äquivalenzrelationen, aber möglicherweise für Äquivalenzklassen. --Digamma (Diskussion) 21:32, 28. Aug. 2019 (CEST)