Diskussion:Arithmetisches Mittel

Einleitung

Die Definition im Artikel erfolgt nur über eine Formel. Das sagt aber noch nichts über die Logik die dahinter steckt. Wäre es nicht sinnvoll wenigstens diese oder eine ähnliche Erklärung drin zu lassen:

• Das arithmetische Mittel hat die kleinste aufsummierte Abweichung zu allen gemittelten Einzelwerten.--Christian Stroppel 20:27, 23. Jul. 2009 (CEST)

Hallo, also mir ging's erstmal nur darum, dass Deine recht technisch klingenden Statistikbegriffe nicht in der Einleitung stehen. Weiter unten kommt dann eh ein Abschnitt über Statistik. Vielleicht passt das dahin.

Ich gebe Dir recht: Die Formel – insbesondere mit dem Summensymbol – ist auch schon abschreckend. Vielleicht sollte man nur die explizite Darstellung als x1+ ... +xn / n hier nennen, aber wenigstens die x1,...,xn und das x-quer erklären!

Deine Beschreibung mit der Abweichung gehört IMHO in den Artikel, nicht aber in die Einleitung. Für Nicht-Mathematiker ist sie zu abstrakt.

Grüsse --Boobarkee 20:50, 23. Jul. 2009 (CEST)

...Ich dachte mir beim Lesen: „Komisch, als Schüler fand ich es noch total plausibel, dass ich besser als der Klassendurchschnitt sein wolle und dass man uns die Durchschnittnote der Klausur mitteilte. Aber warum wollte ich eigentlich nicht einfach besser als der Median sein?“. Und die einzige Erklärung dafür war: „Naja, der Durchschnitt ist eben, die Note, die am wenigsten von allen anderen Noten abweicht.“ Statistisch ausgedrückt also der Wert mit der geringsten „durchschnittlichen“ Abweichung zu allen anderen Noten. Aber huch, das war nun ein Zirkelschluss, den Durchschnitt mit der durchschnittlichen Abweichung zu erklären. Besser wäre vielleicht mit der geringsten „aufsummierten“ Abweichung. Aber gut „Schulnoten sind doch gar nicht intervallskaliert“, dachte ich mir da, „höchstens hyperordinal“. Und da man bei Ordinalskalen keine Summen bilden darf, darf man also auch keinen Durchschnitt bilden. „Dann haben mir also alle Lehrer quatsch erzählt?“ ;o) Gruß--Christian Stroppel 01:26, 25. Jul. 2009 (CEST)

Ich habe den Einleitungssatz etwas ausführlicher geschrieben, d.h. die Formel in Worte gefasst. Ich überlege mir noch, wie man den Einstieg noch etwas weniger abschreckend und dennoch formal korrekt gestalten kann. -- MM-Stat 17:54, 13. Sep. 2009 (CEST)

"Und da man bei Ordinalskalen keine Summen bilden darf, darf man also auch keinen Durchschnitt bilden."

Doch, einen Druchschnitt darf man berechnen, auch einen gewichteten. Und dazu darf man aufsummieren. Kommt das gleiche Ergebnis heraus, wie wenn man versucht, die Ordinalskalierung zu beachten.

--arilou (Diskussion) 12:51, 9. Feb. 2015 (CET)

Auslagerung nach Stichprobenmittel

Ich würde die Abschnitte, die Zufallsvariablen betreffen, gerne nach Stichprobenmittel auslagern. --Sigbert (Diskussion) 08:22, 7. Sep. 2013 (CEST)

Verwirrt?

"Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis" es sollte wohl stehen: "Die Summe aller jeweils mit der Menge gewichteten Preise entspricht dem Preis, zu ..." (nicht signierter Beitrag von 88.68.19.51 (Diskussion) 09:59, 3. Feb. 2014 (CET))

kein gutes Beispiel

"Ein Beispiel ist die Berechnung einer Schulnote, in die mündliche und schriftliche Leistungen unterschiedlich stark einfließen."

Noten sind ordinalskaliert, damit ist eine derartige Mittelwertberechnung an der Stelle streng genommen nicht exakt. (nicht signierter Beitrag von 84.61.56.111 (Diskussion) 00:51, 7. Feb. 2015 (CET))

Das macht keinen Unterschied; Kritik somit falsch - der Mittelwert (auch der gewichtete) ist davon unabhängig und bleibt richtig.

--arilou (Diskussion) 12:47, 9. Feb. 2015 (CET)

Wovon ist er unabhängig? Das arithmetische Mittel ist sachlich falsch bei Ordinaldaten. --strike 22:20, 27. Apr. 2022 (CEST) (unvollständig signierter Beitrag von Strike~dewiki (Diskussion | Beiträge) )

Note 2 ist nicht doppelt so gut wie Note 4 und deshalb macht es eigentlich keinen Sinn einen Durchschnitt zu bilden. Aber die Diskussion ist von 2015. --Der-Wir-Ing ("DWI") (Diskussion) 22:26, 27. Apr. 2022 (CEST)

Genau. Das Problem ist, dass durch diese falsche Darstellung dieser Unsinn (auch in akademischen Kreisen) nicht auszumerzen ist. Ich kenne ernstzunehmende Wissenschaftler, die aus Schweregrad-Werten Mittelwerte bilden. Das ist gruselig. Finde ich. --strike 22:36, 27. Apr. 2022 (CEST) (unvollständig signierter Beitrag von Strike~dewiki (Diskussion | Beiträge) )

Tja, du kannst dich ja an die Schulminister wenden. Viel Glück dabei. --Der-Wir-Ing ("DWI") (Diskussion) 22:38, 27. Apr. 2022 (CEST)

In Wikipedia sollte nichts Falsches stehen, nicht mal Unsauberes, und das arithmetische Mittel bei ordinalskalierten Merkmalen zu bilden ist kein sauberes Vorgehen. Insofern schließe ich mich der Meinung von strike an, dass das kein gutes Beispiel ist mit den Noten. Was gelebte Praxis ist (natürlich werden in Deutschland jeden Tag unzählige arithmetische Mittel als Durchschnittsnote für Klassenarbeiten berechnet, und als ich meinen Schülern mal spaßeshalber nur die "Mediannote" mitgeteilt habe, schaute ich in fragende Gesichter.), steht auf einem anderen Blatt. --Mathze (Diskussion) 20:19, 7. Okt. 2024 (CEST)

In der Lteratur wird diese Problematik auch aufgegriffen. Siehe z. B. Büchter, Henn: Elementare Stochastik, Fußnote 20, S. 63. --Mathze (Diskussion) 10:56, 15. Okt. 2024 (CEST)

arithmetisches Mittel grundsätzlich falsch?

Könnte es sein, dass es sich beim arithmetischen Mittel letztendlich um eine fehlerbehaftete Vereinfachung des geomtrischen Mittels handelt? Oder anders gefragt: Gibt es ein Beispiel, wo das geometrische Mittel den falschen, das arithmetische Mittel den richtigen Durchschnittswert liefert? --Max schwalbe (Diskussion) 10:01, 18. Mär. 2017 (CET)

PS: "richtig" und "falsch" ist ja schwer zu bestimmen - meine Frage läuft offenbar auf die Frage der Ästhetik hinaus. Das geometrische Mittel ist ein räumlich gesehen ästhetischer Mittelwert, was sich unter anderem im Goldenen Schnitt wiederspiegelt. Und man kann diskutieren, ob die räumliche Anordnung von Dingen grundsätzlich ästhetischer, also erstrebenswerter, ja richtiger ist, wenn man dabei nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel zugrundlegt. Siehe auch Adolf Zeising. --Max schwalbe (Diskussion) 17:50, 22. Mär. 2017 (CET)

P.P.S. um mal vom philosophischen auf das praktische Problem herunterzubrechen, das Auslöser meiner Überlegungen war: In vielen Praxisfällen interessiert der Fragestellung folgend eigentlich die faktorielle Abweichung mehrerer Größen, dennoch wird das arithmetische Mittel angewandt, das beszogen auf die Fragestellung dann eine Falschaussage liefert. Das Problem gipfelt beispielsweise in sehr verbreiteten Angaben (auch in Algorithmen und gesetzl. Verordnungen definiert), dass eine gemessene oder errechnete Größe z.b. nicht 80% eines Sollwerts unterschreiten oder 120% des Sollwerts überschreiten darf, also der Arithmetik folgend +/-20% Abweichung als Toleranzgrenze definiert. Das führt jedoch nicht zu dem Ergebnis das man möchte, weil die 80%ige Größe faktoriell weiter vom Sollweit entfernt liegt als das 120%ige Größe. Das scheint offenbar immer dann zu Falschaussagen (also nicht dem Ziel der Rechnung entsprechenden Aussagen) zu führen, wenn die Größen in der Praxis gar keine metrische Dimension haben. Etwa Konzentrationsangaben von Teilchen in einer Lösung. Sind das z.b. Toleranzgrenzen bei der Konzentrationsbestimmung des Zuckergehalts in der Cola, so wird die 120%ig konzentrierte Zuckerlösung noch akzeptabel sein, die 80%ige hingegen schon deutlich geschmacklich abweichen. Sinnvolle Toleranzschwellen lassen sich daher nur durch Berechnung des geometrischen Mittels zwischen Sollwert und Messwert festlegen (z.B. +20%/-16,6%). Ein Extrembeispiel verdeutlicht das Problem: Läge die Toleranzschwelle bei +/-100%, hätten wir im Ergebnis eine Cola, die entweder gar keinen Zucker enthält, oder aber die doppelte Menge. Es ist sonnenklar, dass das völlige Fehlen des Zuckers sich viel gravierender auswirkt als die doppelte Menge Zucker. Nehmen wir aber an, dass die doppelte Zuckermenge noch akzeptabel ist, ergibt sich dabei geometrisch als unterer Toleranzwert die halbe Zuckermenge. Was mit Sicherheit schon eher an dem liegt, was man mit den Schwellwerten eigentlich erreichen möchte. Wird in der Praxis aber so nicht gemacht, weil ohne nachzudenken das arithmetische Mittel angewendet wird, um Toleranzgrenzen zu definieren.

Also Fazit und @alle: Ist es mathematisch legitim, die Definition des arithmetischen Mittels darauf einzuschränken, dass es nur dann angewendet darf, wenn die zugrundeliegenden Größen Bestandteil eines metrischen Systems sind? ODer so ähnlich? (ich bin kein Mathematiker, kann mich daher nicht präzise ausdrücken aber viell. versteht jemand was ich meine). --Max schwalbe (Diskussion) 12:12, 8. Jul. 2020 (CEST) P.S. sehe gerade, dass genau das auch schon im Artikel so steht: Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für beliebige metrische Merkmale definiert. Dann sollte diese Einschränkung vielleicht deutlicher betont werden, weil sie in der Praxis (sehr!) häufig nicht berücksichtigt wird. --Max schwalbe (Diskussion) 13:31, 8. Jul. 2020 (CEST)

1. Also meistens werden Toleranzen und Abweichungen in absoluten Werten angegeben: "Länge: 1200mm ±2mm". Wenn eine Abweichung nach oben oder unten unterschiedlich „schwerwiegend“ ist, werden halt 2 Toleranzwerte angegben, egal ob es "absolute" oder "prozentiale" Toleranzen sind, siehe z.B. Länderübersicht_Steckertypen,_Netzspannungen_und_-frequenzen#Toleranzen_der_Versorgungsspannung.

2. Arithmetische Mittelwerte sind auch bei nicht-metrischen Größenangaben sinnvoll, also etwa bei "Durchschnittstemperaturen" in Grad Celsius, Grad Farenheit oder einer umgekehrten Temperaturskala wie die Delisleskala.

3. Problematisch ist das arithmetische Mittel bei nicht-linearen Größen. Prominentes Beispiel sind Schulnoten, die im oberen Leistungsbereich von 80…100% fein abgestuft sind, aber alles unter 50% mit Note "durchgefallen" (5 oder 6) bewerten.

--RokerHRO (Diskussion) 17:17, 8. Jul. 2020 (CEST)

@RokerHRO: Danke für die Rückmeldung! Zu 2.: Ich denke das Thema bleibt interessant, denn bekanntermaßen existieren lineare Zusammenhänge in der Praxis nur äußerst selten, oder nur in einem sehr engen Definitionsbereich. Wo genau sollte ein linearer Zusammenhang einer Größe mit der Temperatur bestehen? (siehe auch RGT-Regel) Mir fällt allenfalls der Ausdehnungskoeffizient von Quecksilber ein, der nahezu temperaturunabhängig ist, sodass Quecksilber für metrisch skalierte Thermometer verwendet werden kann. --Max schwalbe (Diskussion) 18:24, 13. Jul. 2020 (CEST) P.S. auch bei einigen linearen Größen scheint das arithmetische Mittel nicht anwendbar zu sein, etwa bei Erstellung von Kalibriergeraden: Möchte ich eine 3-Punkt-Kalibrierung im Messbereich 0,1 bis 10 erstellen, dann wähle ich als dritten Kalibrierpunkt 1, weil er "mittig" liegt. Rechnerisch erhalte ich die 1 jedoch nicht über das arithmetische, sondern über das geometrische Mittel. Da vielen Leuten die Existenz des geometrischen Mittels gar nicht bekannt ist, wird in solchen Fällen oft nach Bauchgefühl geschätzt welcher Wert wohl in etwa mittig liegen könnte, das finde ich absurd. --Max schwalbe (Diskussion) 01:19, 14. Jul. 2020 (CEST)

zu 3.: Stimmt, da müsste man eigentlich fragen ob es überhaupt zulässig ist, den Durchschnitt aus Schulnoten so zu berechnen, wie es üblicherweise getan wird. Imposant! Sinnvoller wäre es vermutlich, Schulnoten metrisch zu skalieren, aber das würde zu einer weiteren "Inflation" der ohnehin schon viel zu oft vergebenen "guten" Noten führen. Ziel wäre ja sicher, durch Modulation des Schwierigkeitsgrades eine Gaußkurve mit Maximum bei 3,5 zu erreichen, was das Auftreten von Schulnoten betrifft. Das wäre pädagogisch sicherlich sinnvoll, weil dann ein realistischer Blick auf die Herausforderungen des Lebens in der Schule vermittelt würde, bei denen es in der Regel gar nicht möglich ist 100% zu erreichen sondern eine bestmögliche Lösung gesucht werden muss, um das Defizit effektiv zu handhaben. Genau das sollte die Schule lehren, und nicht etwa das Gefühl beibringen, dass man schon durchaus nur Einsen schreiben könne, wenn man schön fleißig ist. Absurd... --Max schwalbe (Diskussion) 01:19, 14. Jul. 2020 (CEST)

Ideale Gase haben in vielen Aspekten lineare Abhängigkeit von der Temperatur. Man kann nicht pauschal sagen welche Art der Mittelung die beste für einen Datensatz ist, da die gleichen Daten unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet werden können, bei denen verschiedene Askpekte wichtig sind. Beim Cola-Beispiel: für den Geschmack ist vielleicht eine "geometrische" Abweichung des Zuckers relevant, für die Kalorien ist eine "arithmetische".--LamaMaddam (Diskussion) 12:21, 17. Aug. 2020 (CEST)

Gewichtungen

Hallo! Mir ist gerade beim Lesen des quasi-arithmetischen Mittels aufgefallen, dass die angegebene Formel nicht stimmen kann. Es müsste, denk ich, ein 1/n vor dem Summenzeichen stehen, sonst kann die darunterstehende Aussage, der so erhaltene Werte liege zwischen Minimum und Maximum, nicht stimmen, und auch die Verallgemeinerung weiter unten mittelt ja den aufsummierende Teil durch die Abschnittslänge (sofern ich das richtig gesehen habe); außerdem deckt es sich dann auch mit der Formel fürs Hölder-Mittel. Ich bin mir aber unsicher (u.a. weil ich auch dachte, das 2-Potenz-Mittel wäre identisch mit der Berechnung der Vektorlänge, tatsächlich aber eben doch durch Wurzel n geteilt wird? Ich bin etwas verwirrt..), und wollte jetzt nicht eigenmächtig rumfuhrwerken, zumal ich nicht mal mehr meinen Account benutze.

Merke soeben: es müsste ohnehin durch die Summe der Gewichtungswerte geteilt werden, nicht (zwangsläufig) durch n

..wodurch ich jetzt auch verstanden habe, warum nicht zwangsläufig geteilt werden muss, aber eben nur genau dann, wenn die Gewichtungen sich ohnehin zu 1 addieren – was weiter oben beim gewichteten Mittel aber nicht vorausgesetzt und stattdessen wie gesagt durch deren Aufsummierung geteilt wird, ohne die alternative Definition/Formulierung zu erwähnen. Ich würde vorschlagen, das insgesamt einheitlich zu schreiben, am besten in allen Artikeln über Mittelwert-Bildungsmethoden. Wenn ein mathematisch fittes Hirn schon verwirrt werden kann, ist für mathematisch unfittere Hirne Chaos vorprogrammiert ;-)

Einleitung

Da steht

Das arithmetische Mittel (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist in der Mathematik derjenige Mittelwert, der als Quotient aus der Summe der betrachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet wird. In der Statistik ist das arithmetische Mittel ein Lageparameter ...

Das klingt imo, als gäbe es da einen Gegensatz (oder zumindest eine Abweichung) zwischen Mathematik und Statistik.

In Statistik#Einführung steht übrigens

Statistik wird einerseits als eigenständige mathematische Disziplin über das Sammeln, die Analyse, die Interpretation oder Präsentation von Daten betrachtet, andererseits als Teilgebiet der Mathematik, insbesondere der Stochastik, angesehen.

Ich ändere die Einleitung in

Das arithmetische Mittel (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist in der Statistik derjenige Mittelwert, der als Quotient aus der Summe der betrachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet wird. Das arithmetische Mittel ist ein Lageparameter ...

Wer Gründe dagegen hat, kann es gerne revertieren. --Neun-x (Diskussion) 16:24, 21. Jul. 2018 (CEST)

Optimalitätseigenschaft: Ableitung anders schreiben

Ich würde statt

$\partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}-nz\right)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}$.

lieber

$\partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}$.

schreiben. Grund: Näher an der Ableitung, daher - glaube ich - einfacher zu verstehen. Hat wer was dagegen? --Haraldmmueller (Diskussion) 12:22, 11. Jun. 2020 (CEST)

In der 2. Formel fehlen nicht nur die großen Klammern, sondern aus dem Term $nz$ wurde ein einfaches $z$. Soll das so? --RokerHRO (Diskussion) 17:20, 8. Jul. 2020 (CEST)

Ach ich vertehe: In der obigen Summe war das $nz$ nicht mehr Teil der Summe. Okay, das war wirklich missverständlich, wie man ja gesehen hat. ;-) --RokerHRO (Diskussion) 17:23, 8. Jul. 2020 (CEST)

Da die Größen a , x, b eine arithmetische Folge bilden...

Ich verstehe nicht, was mit der Aussage "Da die Größen a , x, b eine arithmetische Folge bilden..." im Abschnitt "Definition" gemeint ist. Ich sehe da drei Zahlen, keine Folge. Damit es eine Folge wird, müsste abzählbar unendlich viele Zahlen hinzukommen, welche sollen das sein, wenn man das arithmetische Mittel von endlich vielen Objekten berechnet? Was ich sehe, sind drei Zahlen $a,{\overline {x}},b$, so dass $|{\overline {x}}-a|=|{\overline {x}}-b|$. --Mathze (Diskussion) 12:27, 28. Jan. 2023 (CET)

Ich kann die Erklärung auch nicht nachvollziehen. Unter Arithmetische Folge#Namensherkunft steht sogar das Gegenteil. Das stimmt im übrigen auch mit der Reihenfolge der Jahreszahlen zum Sichwort Arithmetic mean unter [1] überein. --KlausTh-Mathe (Diskussion) 18:10, 22. Nov. 2023 (CET)

Stichprobenmittel gewichtetes Mittel?

Inwiefern ist das Stichprobenmittel ein gewichtetes Mittel? Jedenfalls steht es unter diesem Abschnitt. --Mathze (Diskussion) 22:35, 17. Dez. 2023 (CET)

Gesammelte Fragen und Kritikpunkte

Ich sammele an dieser Stelle gebündelt Fragen und Kritikpunkte, die ich habe. Ich versuche, von oben nach unten vorzugehen, was den Aufbau des Artikels anbelangt. Dabei sind in Anführungszeichen gesetzte Satz(teile) immer Zitate aus dem Artikel (Version vom 07.10.2024).

1) "Wie andere Mittelwerte beschreibt er das Zentrum einer Verteilung durch einen Zahlenwert." Warum nicht einfach "Zahl" anstatt "Zahlenwert"?

2) In der Einleitung noch wird das arithmetische Mittel als allgemeiner Begriff der Mathematik eingeführt, und nicht nur als Begriff der Statistik. Es wird sogar darauf hingewiesen, dass er im statistischen Kontext auch als "empirischer Mittelwert" bezeichnet wird. Im Rest des Artikels wird er jedoch (auch bei der Definition) als ein Begriff der Statistik und nur der Statistik behandelt. Das halte ich für ahistorisch: Das arithmetische Mittel haben bereits die Pythagoräer 500 v. Chr. definiert, auch wenn sie es nicht so genannt haben und nur im speziellen Kontext der Proportionenlehre betrachtet haben (siehe Hischer (2002): 4000 Jahre Mittelwertbildung, S. 7. https://www.math.uni-sb.de/preprints/preprint98.pdf). Außerdem engt es den Anwendungsbereich des arithemtischen Mittels ein. Laut MacTutor History of Mathematics (https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/a/) taucht das Wort "arithmetic mean" übrigens schon 1687 auf.

3) In der Definition werden auch die Bezeichnungen "einfaches arithmetisches Mittel" und "ungewichtetes arithmetisches Mittel" genannt. Zum einen fehlt hier ein Beleg. Zum anderen sind dies offensichtlich Abgrenzungsbegriffe zum gewichteten arithmetischen Mittel. Ich halte es deshalb für sinnvoll, diese Begrifflichkeiten in den entsprechenden Abschnitt zu verschieben.

4) Das erste Rechenbeispiel findet sich direkt nach der Definition. Dann gibt es aber noch einen eigenen Abschnitt Beispiele. Darin findet sich kurioserweise eine Aufgabe aus der Kinematik, bei der die Durchschnittsgeschwindigkeit gar nicht zwingend eine Rolle spielt. (Es geht ja bloß um konstante Geschwindigkeiten). Ich sehe keinen Grund, die Beispiele auf diese Art über den rtikel zu verteilen. Besser fände ich einen Abschnitt Beispiele direkt nach der Definition.

5) "Das arithmetische Mittel beschreibt das Zentrum einer Verteilung durch einen numerischen Wert". Hier wie zu Beginn die Frage, warum man nicht einfach von einer "Zahl" (oder meinetwegen von einem "Zahlenwert")?

6) "Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für beliebige metrische Merkmale definiert." Ich verstehe nicht, was mir dieser Satz sagen soll. Dass die Berechung des arithmetischen Mittels bei allem metrischen Merkmalen "sinnvoll" ist? Was ist mit der Kursentwicklung von Aktien? Welche Aussagekraft hat es, das arithmetische Mittel von Änderungsraten zu berechnen? Ist da nicht das geometrische Mittel der "natürliche" Mittelwert?

7) "Es gibt allerdings keine Auskunft darüber, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen. Dieses Problem kann mit der Einführung der „mittleren quadratischen Abweichung“ vom arithmetischen Mittel, der empirischen Varianz, behoben werden." Das sind unnötige Informationen in einem Artikel, der über das arithmetische Mittel informieren möchte. Das arithmetische Mittel kann übrigens noch eine ganze Reihe anderer Dinge nicht. Sollten deshalb 10 alternative Kennzahlen erwähnt werden? (à la "Das arithmetische Mittel gibt keine Auskunft über den am häufigsten vorkommenden Wert in der Stichprobe. Dieses Problem kann mit der Einführung des Modus behoben werden.")

8) Im Abschnitt Definition steht nicht nur die Definition, sondern auch Eigenschaften und ein Rechenbeispiel. Ich plädiere hier wie in anderne Artikeln dafür, nicht Eigenschaften in den Abschnitt "Definition" zu packen, weil dann die Überschrift einfach nicht mehr passend ist.

9) Das Unterkapitel Rekursive Darstellung des arithmetischen Mittels ist meines Erachtens viel zu lang geraten. Das ist ein eher "exotisches Thema". Belegt wird hier übrigens nichts und es liest sich für mich zumindest in Teilen wie Theoriefindung. Zudem finde ich es auch teilweise unverständlich, zum Beispiel weiß ich nicht so recht, was mir der folgende Satz sagen möchte: "Wie in der angegebenen Formel ersichtlich werden für kleine n die Daten $x_{k}$ stärker gewichtet und für große n der zuvor berechnete arithmetische Mittelwert."

10) "Wenn man das arithmetische Mittel mit dem Stichprobenumfang multipliziert, dann erhält man die Merkmalssumme." Ich weiß nicht, ob man so einen Satz wrklich belegen muss. Schadet aber auch nicht.

11) "Die Abweichungen $\nu _{i}$ der Messwerte $x_{i}$ vom Mittelwert ${\overline {x}}$ [...] werden auch als „scheinbare Fehler“ bezeichnet." Ich habe diesen Begriff noch nie vorher gehört und bezweifle, dass es sich um einen Standardausdruck der Statistik handelt. Abgesehen davon sehe ich keinen Sinn darin, ein neues Symbol für $x_{i}-{\overline {x}}$ einzuführen. Und wenn, dann wenigstens das in der Bevölkerung weitestgehend unbekannte $\nu$.

12) Im Abschnitt Lineare Transformationseigenschaft steht: "Je nach Skalenniveau ist das arithmetische Mittel äquivariant gegenüber speziellen Transformationen." Leider klärt uns der Autor nicht darüber auf, was das konkret bedeutet: Für welche Skalenniveaus gilt denn die Transformationseigenschaft, und für welche nicht? In der Quelle findet sich nichts darüber, und da das arithmetische Mittel nur für metrische Merkmale sinnvoll ist, bezweifle ich, dass dieser Satz überhaupt nötig ist.

13) Die Dreiecksungleichung gilt auch schon für nichtnegative Werte $x_{i}$. Es müssen nicht positive Werte vorausgesetzt werden.

14) Über das schlechte Beispiel mit den Klassenarbeiten wurde ja schon hier diskutiert. Ich habe bis jetzt kein überzeugendes Argument gehört, warum dieses Beispiel so stehen lassen sollte.

15) Dementsprechend ist auch das Beispiel mit der Schulnote für das gewichtete arithmetische Mittel nicht optimal. Dass das jedoch gelebte Praxis ist, ist mir bewusst.

16) Ich habe schon einmal gefragt, warum das Stichprobenmittel ein Unterkapitel vom gewichteten arithmetischen Mittel ist und leider bisher keine Antwort erhalten. Dieselbe Frage stelle ich mir bei allen weiteren Unterkapitel bis zum Abschnitt Beispiele für gewichtete Mittelwerte.

17) Der Unterabschnitt Deskriptive Statistik ist insofern redundant, als dass seine Informationen im Wesentlichen schon im Abschnitt Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung stehen.

18) Aus dem Abschnitt Inverse Varianzgewichtung: "Sind die $X_{i}$ unabhängig verteilte Zufallsvariablen (d. h. $X_{1}$ ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen $X_{11},\dots ,X_{1n}$ und $X_{2}$ ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen $X_{21},\dots ,X_{2m}$)". Der Satz vor der Klammer drückt sicherlich nicht dasselbe aus wie der Satz in den Klammern. Abgesehen davon fehlen für diesem Abschnitt Belege. --Mathze (Diskussion) 23:03, 7. Okt. 2024 (CEST)

1) und 5) erledigt. --Mathze (Diskussion) 09:49, 14. Okt. 2024 (CEST)

zu 14) Ich habe seinerzeit dieses Beispiel eingefügt, einzig und allein damit der Begriff "Klassenspiegel" erklärt ist. Vielleicht ist dieser Abschnitt besser bei Klassenspiegel aufgehoben? Dort könnte auch vermerkt werden, wie fragwürdig die Berechnung des arithmetischen Mittels in diesem Zusammenhang ist. --Wribln (Diskussion) 01:03, 17. Okt. 2024 (CEST)

Hallo @Wribln, ich muss meine Kritik klarstellen: Da der Klassenspiegel gelebte Praxis ist, ist es auch sinnvoll, dass er in der Wikipedia behandelt wird. Über einen eigenen Artikel darüber war ich mir gar nicht bewusst. Ich halte Deinen Vorschlag für sinnvoll, in dem entsprechenden Artikel zum Klassenspiegel zu vermerken, dass die Berechnung des arithmetischen Mittels dort aus statstischer Sicht fragwürdig ist (der Klassenspiegel selbst ist ja erstmal nur eine Häufigkeitstabelle). In diesem Artikel hier zum arithmetischen Mittel sollte das Beispiel langfristig durch ein statistisch "sauberes" Beispiel ersetzt werden. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 08:36, 17. Okt. 2024 (CEST)

Vorausgesetzt, der Klassenspiegel ist (gesetzlich) nach der Formel arithmetischen Mittels für Häufigkeitsdaten zu berechnen, passt das Beispiel mMn auch in den Artikel. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 11:24, 17. Okt. 2024 (CEST)

Gibt es hierzu gesetzliche Vorschriften? Und wenn ja, sollte man auch gesetzliche Vorschriften als Beispiele heranziehen, die mathematisch oder statistisch unsauber sind? Davon gibt es einige, gerade im Bereich der Finanzmathematik (man denke nur an die unglückliche Verwechslung von äquivalenten und nominalen Zinssätzen). Bitte nicht falsch verstehen: So etwas hat alles im Artikel Klassenspiegel seine Berechtigung, da gelebte (und vermutlich sogar gesetzlich vorgeschriebene) Praxis. Aber in einem eher mathematisch orientierten Artikel wie diesem halte ich es für einen Fehler, falsche oder unsaubere Dinge reinzuschreiben. Ich denke dann immer an meine Schüler, denen ich erklären muss, dass nicht alles, was in Wikipedia steht, stimmt. Wobei die ja kaum noch auf Wikipedia gehen. --Mathze (Diskussion) 11:34, 17. Okt. 2024 (CEST)

Tut mir leid, nicht alle deine Argumente sind für mich nachvollziehbar. Zu diesem Thema braucht es m.E. noch mehr Meinungen. Es gehören auch nachvollziebare Fakten dazu, warum diese Methode für den Klassenspiegel unsauber ist.
Nun, wenn du deinen Schülern (Alter?) erklären musst: „...nicht alles, was in Wikipedia steht, stimmt,“ solltest du auch ergänzen „.. weil wir Menschen sie machen“. Kann es sein, dass auch du (so wie ich) als Schüler bemerkt hast, nicht alles was der Lehrer (weil Mensch) sagte war richtig?--Petrus3743 (Diskussion) 12:33, 17. Okt. 2024 (CEST)

Mein Argument ist das folgende: Es ist statistisch unsauber, das arithmetische Mittel für ledigich ordinal skalierte Daten wie Schulnoten zu berechnen. Das ist nicht meine persönliche Meinung, sondern einhellige Lehrbuchmeinung. Dazu habe ich weiter oben Diskussion:Arithmetisches_Mittel#kein_gutes_Beispiel auch eine Quelle benannt. Der wesentliche Punkt besteht darin, dass sich Abstände zwischen Schulnoten nicht sinnvoll interpretieren lassen. So wird man keine klare Antwort auf die Frage geben können, ob eine "mangelhaft" genauso weit von einer "ausreichend" entfernt ist wie eine "gut" von einer "sehr gut". Selbst wenn den Noten erreichte Prozentzahlen bei Klausuren entsprechen, so ist diese Zuordnung oftmals keine lineare Funktion. So ist es in Deutschland üblich, eine "ausreichend" (oder besser) zu bekommen, wenn man wenigstens 50 % der Punkte erreicht hat. Bei einer linearen Zuordnung müssten aber schon 33,3% ausreichen.

Wenn man das arithmetische Mittel ausrechnet und z. B. bei Klasse A 3,4 rauskommt, bei der Klasse B 4,6, so wäre eine naheliegende Interpretation (auch von mir) etwa: Die Klasse A "lag näher an der 3 als die Klasse B an der 4". Das ist aber schlichtweg eine falsche Interpretation. Um es auch die Spitze zu treiben: Wir könnten auch den Farben Zahlenwerte zuordnen und dann das arithmetische Mittel von "blau" und "rot" berechnen. Das, was rauskommen würde, wäre auch ein sauber berechneter Mittelwert, aber er genügt nicht den Anforderungen, die in der Mathematik an Mittelwerte gestellt werden.

Leider glauben viele junge Menschen sehr viele Dinge ungefragt, die sie irgendwo im Internet lesen. Ich rede hier von deutlich unzuverlässigeren Quellen als Wikipedia. Ich fände es schön, wenn Wikipedia zu einem Ort würde, auf den man sich verlassen kann. --Mathze (Diskussion) 15:24, 17. Okt. 2024 (CEST)

Danke Mathze, für die wirklich gut verständlichen Erklärungen! Vor allem hat mich – neben dem Beispiel bezüglich der Farben "blau" und "rot" – dieses Argument überzeugt (sinngemäß, so wie ich es verstanden habe): Für Schulnoten (sind ordinalskalierte Daten) sind wenigstens 50 % der erreichbaren Punkte für die Note 4 erforderlich. Nach der Methode arithmetisches Mittel für Häufigkeitsdaten, die nur eine lineare Zuordnung berücksichtigt, wäre eine Note 4 fälschlicherweise bereits bei 33,3% erreichbar. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 17:46, 17. Okt. 2024 (CEST)

Hallo Petrus. Vielen Dank für Dein Feedback. Es freut mich, Klarheit in die Angelegenheit gebracht zu haben. Ich finde, wie oben erwähnt, das Notenspiegel-Beispiel sehr passend für den Artikel Klassenspiegel. Ich hoffe, @Wribln wird sich da ransetzen (no pressure). Wenn nicht, werde ich das vielleicht mal tun. Ich arbeite an einer "Generalüberholung" dieses Artikels "arithmetisches Mittel", das braucht jedoch etwas Zeit, da ich gerade (trotz Ferien) viel um die Ohren habe. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 18:34, 17. Okt. 2024 (CEST)

Das neue Beispiel Durchschnittspreis ist zwar mathematisch richtig, aber ich würde in diesem kleinen Lebensmittel-Laden – falls er es so macht – nicht mehr einkaufen. ;-) Mein Vorschlag wäre diese Art von Beispielen zu zeigen (möglichst beide Arten der Häufigkeit): Absolute Häufigket und relative Häufigkeit. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 09:19, 21. Okt. 2024 (CEST)

@Wribln Vielen Dank für Dein alternatives Beispiel. Möchtest Du das Beispiel mit dem Klassenspiegel noch in den Artikel Klassenspiegel verschieben? Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 09:59, 21. Okt. 2024 (CEST)

@Mathze Die Verschiebung zum Klassenspiegel ist geplant, ich wollte erst einmal ein anderes Beispiel einfügen. Auch wollte ich dort an passender Stelle die Kritik an dem "Notendurchschnitt" darstellen. Gruß --Wribln (Diskussion) 15:41, 21. Okt. 2024 (CEST)

@Petrus3743 In dem Laden, in dem ich einkaufe, werden nicht nur Kartoffeln sondern auch Äpfel und Birnen an der Kasse abgewogen. Und weil keiner die unterschiedlichen Sorten auseinanderhalten kann, gibt es dort für Kartoffeln, Äpfel und Birnen (u.v.a.m.) einheitliche Preise, die vermutlich nach dieser Methode kalkuliert werden.

Kannst du mich aufklären, was für einen Vorteil die Behandlung von absoluter und relativer Häufigkeit an dieser Stelle für einen Vorteil hat? Ich denke, das macht alles noch komplizierter. Gruß --Wribln (Diskussion) 15:51, 21. Okt. 2024 (CEST)

Servus Wribln, der Durchschnittspreis von Kartoffeln – sie zählen zu den gesündesten Grundnahrungsmitteln – mit den unterschiedlichen entscheidenden Eigenschaften (mk, fk, vfk und Lagerung) ist für die Kunden nicht vorteilhaft. Heutzutage müssen schon viele auf den Preis achten. Ist das Lebensmittel teurer geworden, geht so ein Kunde zum nächsten Laden.

Nun, vielleicht ist es sogar besser, beide Beispiele (absolute und relative Häufigkeit) direkt an die betreffende Stelle des Abschnitts Arithmetisches Mittel bei Häufigkeitsdaten (Beleg vorhanden) einzuarbeiten. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 17:17, 21. Okt. 2024 (CEST)

Vielleicht wäre es auch gut, ein authentisches Beispiel zu verwenden, also ein Beispiel für eine Mittelwertberchnung, wie sie in der Realität auch durchgeführt wird. Preise haben da meines Erachtens so ihre Tücken: Durchschnittspreise werden natürlich berechnet (Inflation, Mietspiegel), aber da sind es doch meistens irgendwelche gewichteten Mittelwerte (und nicht gewichtet nach Gewicht, wie in dem bisherigen Beispiel). Was mir einfällt ist das weite Feld der (Experimental)Physik. Ich bin zwar selbst kein Physiker, aber dort werden meines Wissens viele Messversuche durchgeführt, und über den Mittelwert wird dann die gesuchte Größer bestimmt (z. B. für Ausdehnungskoeffizienten, Naturkonstanten u. v. m.) --Mathze (Diskussion) 17:26, 21. Okt. 2024 (CEST)