Diskussion:Aussagenlogik

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Einfache Aussage

Meines Erachtens wäre es eines Satzes wert, darauf hinzuweisen, dass die Aussagenlogik nur Aussagesätze behandelt, die keine Indikatoren behandelt, damit die Forderung der Wahrheitsdefinitheit gewahrt ist.

--Hans-Jürgen Streicher 22:18, 17. Mai 2008 (CEST)

Basic and derived argument forms

Basic and Derived Argument Forms
Name	Sequent	Description
Modus Ponens	$((p\to q)\land p)\vdash q$	If $p$ then $q$; $p$; therefore $q$
Modus Tollens	$((p\to q)\land \neg q)\vdash \neg p$	If $p$ then $q$; not $q$; therefore not $p$
Hypothetical Syllogism	$((p\to q)\land (q\to r))\vdash (p\to r)$	If $p$ then $q$; if $q$ then $r$; therefore, if $p$ then $r$
Disjunctive Syllogism	$((p\lor q)\land \neg p)\vdash q$	Either $p$ or $q$, or both; not $p$; therefore, $q$
Constructive Dilemma	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\vdash (q\lor s)$	If $p$ then $q$; and if $r$ then $s$; but $p$ or $r$; therefore $q$ or $s$
Destructive Dilemma	$((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\vdash (\neg p\lor \neg r)$	If $p$ then $q$; and if $r$ then $s$; but not $q$ or not $s$; therefore not $p$ or not $r$
Bidirectional Dilemma	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\vdash (q\lor \neg r)$	If $p$ then $q$; and if $r$ then $s$; but $p$ or not $s$; therefore $q$ or not $r$
Simplification	$(p\land q)\vdash p$	$p$ and $q$ are true; therefore $p$ is true
Conjunction	$p,q\vdash (p\land q)$	$p$ and $q$ are true separately; therefore they are true conjointly
Addition	$p\vdash (p\lor q)$	$p$ is true; therefore the disjunction ($p$ or $q$) is true
Composition	$((p\to q)\land (p\to r))\vdash (p\to (q\land r))$	If $p$ then $q$; and if $p$ then $r$; therefore if $p$ is true then $q$ and $r$ are true
De Morgan's Theorem (1)	$\neg (p\land q)\vdash (\neg p\lor \neg q)$	The negation of ($p$ and $q$) is equiv. to (not $p$ or not $q$)
De Morgan's Theorem (2)	$\neg (p\lor q)\vdash (\neg p\land \neg q)$	The negation of ($p$ or $q$) is equiv. to (not $p$ and not $q$)
Commutation (1)	$(p\lor q)\vdash (q\lor p)$	($p$ or $q$) is equiv. to ($q$ or $p$)
Commutation (2)	$(p\land q)\vdash (q\land p)$	($p$ and $q$) is equiv. to ($q$ and $p$)
Commutation (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash (q\leftrightarrow p)$	($p$ is equiv. to $q$) is equiv. to ($q$ is equiv. to $p$)
Association (1)	$(p\lor (q\lor r))\vdash ((p\lor q)\lor r)$	$p$ or ($q$ or $r$) is equiv. to ($p$ or $q$) or $r$
Association (2)	$(p\land (q\land r))\vdash ((p\land q)\land r)$	$p$ and ($q$ and $r$) is equiv. to ($p$ and $q$) and $r$
Distribution (1)	$(p\land (q\lor r))\vdash ((p\land q)\lor (p\land r))$	$p$ and ($q$ or $r$) is equiv. to ($p$ and $q$) or ($p$ and $r$)
Distribution (2)	$(p\lor (q\land r))\vdash ((p\lor q)\land (p\lor r))$	$p$ or ($q$ and $r$) is equiv. to ($p$ or $q$) and ($p$ or $r$)
Double Negation	$p\vdash \neg \neg p$	$p$ is equivalent to the negation of not $p$
Transposition	$(p\to q)\vdash (\neg q\to \neg p)$	If $p$ then $q$ is equiv. to if not $q$ then not $p$
Material Implication	$(p\to q)\vdash (\neg p\lor q)$	If $p$ then $q$ is equiv. to not $p$ or $q$
Material Equivalence (1)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\to q)\land (q\to p))$	($p$ is equiv. to $q$) means (if $p$ is true then $q$ is true) and (if $q$ is true then $p$ is true)
Material Equivalence (2)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))$	($p$ is equiv. to $q$) means either ($p$ and $q$ are true) or (both $p$ and $q$ are false)
Material Equivalence (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))$	($p$ is equiv. to $q$) means, both ($p$ or not $q$ is true) and (not $p$ or $q$ is true)
Exportation	$((p\land q)\to r)\vdash (p\to (q\to r))$	from (if $p$ and $q$ are true then $r$ is true) we can prove (if $q$ is true then $r$ is true, if $p$ is true)
Importation	$(p\to (q\to r))\vdash ((p\land q)\to r)$
Tautology (1)	$p\vdash (p\lor p)$	$p$ is true is equiv. to $p$ is true or $p$ is true
Tautology (2)	$p\vdash (p\land p)$	$p$ is true is equiv. to $p$ is true and $p$ is true
Tertium non datur (Law of Excluded Middle)	$\vdash (p\lor \neg p)$	$p$ or not $p$ is true
Law of Non-Contradiction	$\vdash \neg (p\land \neg p)$	$p$ and not $p$ is false, is a true statement

Kann mir mal bitte jemand das ins Deutsche übersetzen? Schade das in dem deutschen Artikel diese Übersichtstabelle fehlt.--87.171.131.89 11:04, 17. Aug. 2011 (CEST)

Im Text werden grammatische und Aussagenebene vermengt

Eine Aussage ist nicht die "innere Struktur" eines Satzes, sondern das (logische) Ergebniss der Satzdeutung. Auch dient die Aussagenlogik nicht dem herunter brechen von Sätzen, sondern der Deutung aller darin enthaltenen Aussagen in Bezug. Deshalb kann man auch das "und" nicht weglassen und nur mit den zwei Teilsätzen weiter arbeiten. Tatsächlich ist das "und" eine eigene Aussage für "beides ist für den selbigen Deutungsprozess zu nehmen" und somit eine Menge bildende Aussage. Auch wenn man diese Aussage für banal hält, ist ihre richtige Behandlung im Text wesentlich für das Verständnis. (nicht signierter Beitrag von 2A02:8108:81C0:540:B2:FBE8:3FF:5E8A (Diskussion | Beiträge) 00:21, 13. Mär. 2014 (CET))

Verdreher

Unter 3.5:

Als Umkehrschluss bezeichnet man den Schluss von $A\rightarrow B$ auf $\neg B\rightarrow \neg A$. Für die Beispiele bedeutet das:

• Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht.
• Nur wenn die Straße nicht nass ist, kann es nicht regnen.

Wenn A "Die Straße ist nass" und B "Es regnet" meint, dann ist Satz 1 ~A->~B und Satz 2 ~B->~A, was logisch nicht äquivalent ist. Die Wolken können ja schon weggezogen sein oder jemand hat seinen Rasensprenger zu weit eingestellt, sodass die Straße nass ist, aber es auch nicht (mehr) regnet. Die Trockenheit der Straße ist eben nicht notwendig für die sonnige Wetterlage. Richtig muss es doch heißen:

Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht. <=> Nur wenn die Straße nass ist, regnet es.

Hat jemand einen besseren Durchblick? --217.228.112.233 18:27, 21. Sep. 2014 (CEST)

Ergänzung zum Abschnitt "Verdreher" (3.5)

Das 4. Beispiel zum Konditional, "Nur wenn die Straße nass ist, kann es regnen", wirkt vertrackt, wenn nicht falsch, ohne dass darauf hingewiesen oder eingegangen wird. Für Einsteiger sollte ein klärender Satz der Autoren hinzutreten. (nicht signierter Beitrag von 88.217.180.255 (Diskussion) 19:05, 10. Feb. 2017 (CET))

Richtung des Hufeisens

Wie man in jedem Logikbuch sehen kann, das $\supset$ für Implikationen benutzt, ist dies die Standardrichtung, und $A\supset B$ eine alternative Notation für $A\to B$. Höchstens in Ausnahmefällen (nämlich an den Stellen, wo man alternativ auch $\leftarrow$ benutzen könnte) wird $\subset$ benutzt. Mit einer Teilmengenbeziehung, über die in https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aussagenlogik&diff=182332860&oldid=182315845 spekuliert wird (wobei die Spekulation eher als Argumentation dafür passt, dass man $A\to B$ alternativ als $A\subset B$ schreibt, was falsch ist, und vor meiner Änderung auch nicht im Artikel stand), hat das ganze ohnehin nichts zu tun. --2003:DC:8BD8:D633:999E:9DDD:E486:DB83 19:53, 31. Okt. 2018 (CET)