Diskussion:Bézierkurve

Genese?

Wass soll denn die Überschrift "Genese" bei der Erklärung der rationalen Bézierkurven bedeuten? Genese heißt Entstehung, in der Medizin die Ursache einer Krankheit z.B. --130.133.8.114 15:28, 23. Jun. 2010 (CEST) Günter Rote

verstehe ich auch nicht. irgendwie sinnlos. --217.231.26.181 14:52, 17. Feb. 2012 (CET)

Geschichte

Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Die beiden Tatsachen sind doch kein Widerspruch, der eine hat sie zwar früher entdeckt, aber der andere seine Entdeckung nicht veröffentlicht. Also ist Casteljau doch der wirkliche Entwickler.

Ich glaube ich verstehe dein Missverständnis: Nicht deCasteljau und Citroen konkurrierten miteinander, sondern deCasteljau (angestellt beim Autohersteller Citroen) und Bezier (angestellt beim Autoherstller Renault). Citroen hielt deCasteljaus Ergebnisse zurück, sonst würden Bezierkurven heute wahrscheinlich deCasteljau-Kurven heißen. Obwohl auch "Citroen-Kurven" legitim wäre, weil damit, glaube ich, die "Ente" (Citroen 2CV) designt wurde.  ;-) --Cpt761 16:04, 7. Jun. 2007 (CEST)

Zusammenhang

Wenn man liest "das ist eine Bezierkurve" und danach "die Bernsteinform ist die gebräuchlichste" dann fehlt da für meinen Geschmack die Verdeutlichung des Zusammenhangs. Lenny222 18:24, 10. Apr 2005 (CEST)

Kannst Du das konkretisieren, ich sehe Deinen Punkt nicht. Der letzte Satz bezieht sich auf Kurven, nicht auf Bézierkurven. Viele Gruesse --DaTroll 18:48, 10. Apr 2005 (CEST)

Die Definition zeigt meines Wissens eine Bézierkurve in Bernsteinform. Was mich stört ist, dass erstens der Eindurck entsteht, dass Bézierkurven immer so aussehen und zweitens, dass nicht deutlich wird, was denn eine Bernsteinform nun sein soll. Gruß Lenny222 19:41, 10. Apr 2005 (CEST)

Nein, die Definition zeigt eine Bézierkurve. Du kannst Kurven in allen möglichen Formen hinschreiben, dann sind sie aber keine Bézierkurven. Viele Gruesse --DaTroll 22:49, 10. Apr 2005 (CEST)

Hab mir erlaubt bei der Defintion "die n-dimensionale Bézier-Kurver" in eine "Bézier-Kurze n-ter Ordnung" umzubenennen. Meiner Meinung nach sagt n nicht über die Dimensionalität der Kurve in Bezug auf den Vektorraum aus, in der sie definiert ist. Björnsn

Automatisches Generieren sinnvoller Kontrollpunkte bei kubischen Bézierkurven

Leider fehlen für kubische Bezierkurven in nahezu allen Publikationen sinnvolle Hinweise, wie sich die Kontrollpunkte automatisch festlegen lassen. Die Folge ist, das viel zu viele Anwendungsprogramme die Anwender zwingen, alle Kontrollpunkte umständliche und manuell selber festzulegen, statt schlichtweg brauchbare Vorgaben derselben zu machen und damit die manuelle Festlegung zu einer absoluten Ausnahme werden zu lassen. Daher existiert eine vielfach verbreitete Meinung, daß Beziers schwierig zu handhaben seien - was leider oft auch stimmt. Vielleicht sollte man daher hier mal einen Verweis auf die Seite von der Vektorwichtung anbringen oder deren zweiten Part hier als sinnvolle Ergänzung zu dem Thema einbringen, denn dort wird genau dieses Problem auf eine gleichermaßen auch auf Beziérkurven anwendbare Weise gelöst.

Erstmal ein paar Anmerkungen: Deine Beiträge kannst Du mit ~~~~ unterschreiben. Dann benutze bitte in den Artikeln TeX, sprich die <math>-Umgebung statt html. Und nun zum Diskussionspunkt: ich hab mal das Buch von Farin angegeben, da steht alles drin. Den Text, den Du (wieder?) eingefügt hast, finde ich nicht so gut, weil er eben so schwammig ist. Man sollte das ganze konkret formulieren oder gar nicht. Es ist ja aus dem restlichen Text schon klar, dass die Kontrollpunkte die Form der Kurve bestimmen. Einen Verweis auf Vektorwichtung halte ich dementsprechend auch für überflüssig. --DaTroll 09:23, 17. Mai 2005 (CEST)

Kontrollpunkte lassen sich automatische z.B. mit Hermite Interpolation bzw. Catmul-Rom Interpolation festlegen. Das wird z.B. in dem Buch Computer Animation von Rick Parent beschrieben. Diese Darstellungen basieren ebenfalls auf Polynome und lassen sich somit in die Bernstein Basis konvertieren. Ich denke aber, dass diese Information zu weit geht.--linqs 17:49, 17. Dez. 2006 (CET)

Auswertung

"Die Auswertung einer Bézierkurve in einem bestimmten Punkt kann schnell mit Hilfe des de Casteljau-Algorithmus erfolgen." Da ist falsch: Will man einen Punkt auswerten, so ist das Horner-Bezier-Schema mit am schnellsten. Der de Casteljau-Algorithmus ist quadratisch in seiner Laufzeit. Mit dem de Casteljau gelingt allerdings die schnelle Auswertung der gesamten Kurve.--linqs 17:49, 17. Dez. 2006 (CET)

Definition

Die Verallgemeinerung von Bezier Kurven sind zunaechst Bezier-Dreiecke, also statt linearer Interpolation (Interpolation zwischen zwei Punkten) in den de Casteljau Schritten, barizentrische Interpolation (Interpolation zwischen drei Punkten), und nicht etwa Tensor-Produkt Flaechen (bilineare Interpolation). Historisch war dies uebrigens die erste Verallgemeierung von Bezier-Kurven auf Bezier-Flaechen (vgl. Farin, Computer Aided Geometric Design)--linqs 17:49, 17. Dez. 2006 (CET)

Eine weitere Eigenschaft von Bezier-Kurven ist die Invarianz unter affinen Parametertransformationen, d.h. das Parametergebiet kann z.B. skaliert und verschoben werden, ohne dass sich der Treager der Kurve veraendert.--linqs 17:49, 17. Dez. 2006 (CET)

Quartisch

Ich sehe ehrlich gesagt keinen sinn in der Beschreibung quartischer Kurven. Es läuft alles nach dem selben Schema, also wozu noch quartisch darstellen? --P. Birken 09:42, 27. Feb. 2007 (CET)

Die hatte ich nur eingefügt, weil die schönen Animationen bis n=4 vorhanden waren. Der Abschnitt kann von mir aus wieder raus. Man könnte die letzte Animation dann auch aus dem Artikel rauslassen oder nach ganz oben in die Einleitung schieben. Mit der Animation am Anfang, kann man das Prinzip direkt verstehen und der Leser wird vielleicht animiert, trotz der hohen Formeldichte weiterzulesen. edit: (unterschrift) -- 80.146.77.251 10:09, 27. Feb. 2007 (CET)

Alternativ kann man die statische Animation nach oben packen. Ich finde, dass bewegte Animationen auch Nachteile haben: das ganze wirkt dann immer etwas wuschig und ich habe nach kurzer Zeit immer den Wunsch, die animation zu stoppen. Insofern wuerde ich alles zu quartisch einfach rausnehmen und die statische kubische Kurve nach oben packen. --P. Birken 11:22, 27. Feb. 2007 (CET)

Ich hab es mal rausgeschmissen, und dafür ein Einzelbild der dritten Animation eingefügt.

$C(t)=1t^{0}(1-t)^{4}P_{0}+4t^{1}(1-t)^{3}P_{1}+6t^{2}(1-t)^{2}P_{2}+4t^{3}(1-t)^{1}P_{3}+1t^{4}(1-t)^{0}P_{4}{\mbox{ , }}t\in [0,1]$ rausgenommen.-- 80.146.77.251 12:02, 27. Feb. 2007 (CET)

Konstruktion einer kubischen Bézierkurve

Konstruktion des Punktes $B=C(0,25)$ einer kubischen Bézierkurve

Sollte man zu dem Bild noch schreiben, dass

$Q_{0}=C_{P_{0}P_{1}}(0,25)$

$Q_{1}=C_{P_{1}P_{2}}(0,25)$

$Q_{2}=C_{P_{2}P_{3}}(0,25)$

$R_{0}=C_{Q_{0}Q_{1}}(0,25)=C_{P_{0}P_{1}P_{2}}(0,25)$

$R_{1}=C_{Q_{1}Q_{2}}(0,25)=C_{P_{1}P_{2}P_{3}}(0,25)$

$B=C_{R_{0}R_{1}}(0,25)=C_{Q_{0}Q_{1}Q_{2}}(0,25)=C_{P_{0}P_{1}P_{2}P_{3}}(0,25)$

ist? (Wenn meine Folgerungen stimmen) Oder würde das zu weit führen? --80.146.77.251 12:34, 27. Feb. 2007 (CET)

Mhmh, schwierig. Selbsterklaerend ist der Zusammenhang zwischen der Rekursionsformel und dem Bild nicht. Vielleicht sollte man statt dessen die Beschriftung des Bildes aendern? Also statt Q_0 eben direkt C_{P_0P_1}(0,25) hinschreiben? --P. Birken 12:37, 27. Feb. 2007 (CET)

Ich hab es erstmal in die Bildbeschreibung bei Commons eingefügt. Man könnte ja später einen eigenen Absatz über eine (zeichnerische) Konstruktion einer Bezierkurve verfassen, oder halt, wie von dir vorgeschlagen, direkt im Bild ändern. Das kann ich allerdings nicht. Als Bildunterschrift ist es auch nicht geeignet da man die TeX- Formeln dort schlecht einfügen kann, oder? --80.146.77.251 14:28, 27. Feb. 2007 (CET)

Naja, letztlich ist es genau der De_Casteljau-Algorithmus, der da vorgeführt wird, und im dortigen Artikel wird das auch breit ausgewalzt. Hier sollte denke ich nur noch kurz den Abschnitt zur Rekursionsformel erweitern. --P. Birken 08:58, 28. Feb. 2007 (CET)

TODO: Animationen verschieben, Bézierflächen, Anwendung

Hallo erstmal, dies ist mein erster editierter Artikel.

Hab gerade die Definition aufgeräumt, den Abschnitt Eigenschaften eingefügt, die Eigenschaften 1-3 aufgeräumt und einen Absatz beim Beispiel: kubische Bézierkurven eingefügt.

Was noch bleibt:

• In den Animationen wird eindeutig der deCasteljau-Algorithmus vorgeführt, im richtigen deCasteljau-Artikel aber nicht. Daher sollte man die Animationen (zumindest die quadratische und die kubische) vieleicht dorthin verschieben.
• Der Abschnitt über Bézierflächen steht dort ziemlich deplatziert im Raum.
• Der erste Absatz unter Anwendung ist so nicht richtig. Man spricht zwar von Bézierkurven, das modellieren selbst geschieht jedoch mit NURBS und B-Splines, weil die viel einfacher zu handhaben und effizienter auszuwerten sind. Diese werden jedoch alle stückchenweise in kubische Bézierkurven umgewandelt, um sie mit deCasteljau effizient darstellen zu können.

-- Cpt761 20:20, 27. Mär. 2007 (CEST)

Lesbarkeit

Das ist wieder einmal so ein Artikel, bei dem sich Mathe-Freaks (oder Mathe-Profis) ausgetobt haben, ohne an Leser zu denken, welche kein Mathestudium hinter sich haben. Der normale Leser wird hier gleich zu Beginn mit Formeln geradezu erschlagen. Es ist dringend geboten, hier eine leichter verständliche Beschreibung (mit mehr Worten) einzufügen. Ich bin gewiss nicht schlecht in Mathe (Ausbildung mit erheblichem Matheanteil), aber hier wird mir absolut nicht klar, welche Bedeutung z.B. die in der Grafik dargestellten Punkte P1 und P2 haben. Der Anfang der Seite "Spline" ist da z.B. viel besser. Daran sollten sich die Mathefans hier orientieren. Die "Entstehungsgeschichte" gehört auch nicht an den Anfang, sondern an das Ende der Seite, denn die mathem. Eigenschaften sind hier wichtiger. Ich schlage folgende Gestaltung vor:

1. Definiion mit möglichst einfachen Worten (!)
2. Formeln dazu.
3. Geschichte dazu.
4. Standardsuffix ("Literatur", "Siehe auch", "Weblinks", Kats, Interwikis)

Augiasstallputzer  11:50, 31. Mai 2007 (CEST)

Nein, es ist einfach nur ein typischer Wikipediaartikel, bei dem Leute nach und nach einfach mehr Inhalt reingeklatscht haben, ohne auf das Entstehen einer Gesamtstruktur zu achten. Genau das fehlt halt: jemand der das ganze einmal neumacht. --P. Birken 12:39, 31. Mai 2007 (CEST)

Es ist nicht einmal sauber klargestellt, ob eine Funktion vom Typ y=f(x) oder eine Parameterdarstellung ist (vermutlich Parameter). Augiasstallputzer  12:52, 31. Mai 2007 (CEST)

Doch, das steht im ersten Satz. --P. Birken 12:58, 31. Mai 2007 (CEST)

??? Bei Parameterdarstellung muss es möglich sein, eine Angabe y(t) und x(t) zu generieren.

Ich kenne das Bernsteinpolynom in der Form

$B_{i}^{n}(x)={\binom {n}{i}}x^{1}(1-x)^{n-i}$

und man kann damit ein allgem. Polynom darstellen:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=s_{k}B_{i}^{n}(x)$

Wie das in eine Parameterform kommt, kann ich hier nicht nachvollziehen. Augiasstallputzer 13:45, 31. Mai 2007 (CEST)

Eine Bezierkurve ist ja auch kein Bernsteinpolynom, sondern eine Kurve, die durch Punkte gebildet werden, die dann ueber Werte der Bernsteinpolynome gewichtet werden. Wenn Du die Koordinaten der Punkte einsetzt, kriegst Du eine Parameterform. Das macht das ganze aber auch nicht wirklich verstaendlicher. --P. Birken 13:49, 31. Mai 2007 (CEST)

Ich muss also s_k als Punkt auffassen und $B_{i}^{n}(t)$ als von t abhängigen Faktor für beide Koordinaten von s_k mit t als unabhängiger Parameter-Variable ? Augiasstallputzer  14:00, 31. Mai 2007 (CEST)

Genau, t ist der Parameter und er laeuft von 0 bis 1. --P. Birken 14:35, 31. Mai 2007 (CEST)

Dann fehlt nur noch eine ausführlichere Einführung und ein erstes Beispiel mit expliziter Paardarstellung ( x(t) und y(t) ). Quadratisch reicht dafür aus und möglichst ohne die für viele Leser abschreckende Matrixschreibweise. Die anderen bisherigen Beispiele können dann so bleiben. Kannst du sowas schreiben ? Augiasstallputzer  14:57, 31. Mai 2007 (CEST)

Ich habe eigentlich zur Zeit ganz andere Baustellen. Aber mal gucken ob mich die nächste Zeit die Lust packt. Dir würde ich wärmstens das Buch von Farin ans Herz legen, da gibt es auch eine deutsche Übersetzung zu. --P. Birken 20:17, 31. Mai 2007 (CEST)

Da du mir den Sachverhalt hier erklärt hast und mit Hilfe mehrerer Mathebücher habe ich es mal mit meinen eigenen Worten geschrieben. So müsste es einigermaßen verständlich sein. Evtl. noch mehr Links zur Erläuterung der Begriffe. Augiasstallputzer  21:11, 31. Mai 2007 (CEST)

Ich habs erstmal revertet, weil da so viele Fehler drin waren. Ich kümmer mich aber nochmal drum, auf Basis Deines Edits von mir aus. Grundsätzlich ist es keine gute Basis, Dinge die man erst vor zehn Minuten gelernt hat, in einen Wikipedia-Artikel zu packen. --P. Birken 21:33, 31. Mai 2007 (CEST)

Da hättest du besser erklären müssen ;-) Was soll falsch sein ? Mir passt es gar nicht, dass du meine Formatierungen mit rausgeschmissen hast. (Motz !) Kennst du die Vorlagen Gl, Gl2 und GL-Block eigentlich schon ? Augiasstallputzer  21:45, 31. Mai 2007 (CEST)

Also die Vorlagen sind für mich Paradebeispiele von solchen, die bei geringem Nutzen die Weiternutzung unserer Inhalte und die Lesbarkeit des Quelltextes erheblich erschweren. Bitte lasse sie doch löschen. Was die Fehler angeht, so ist schon die Definition falsch. --P. Birken 09:28, 1. Jun. 2007 (CEST)

1. Also ich habe keine Probleme mit diesen Vorlagen. solche Ausrichtungen sind nur mit blinden Tabellen möglich und die Formeln berühren so nicht mehr die Nachbarzeilen. Man kann auch Leerzeilen nehmen, um die Lesbarkeit zu verbessern. Eine Leerzeile zwischen den Formelzeilen hat keine Auswikung.
2. Man sollte m. E. die Erläuterung vom B-Polynom aus vornehmen, also das Ganze von den Bestandteilen her aufbauen. Die Methode "Gesamtdefinition -> Zerlegung in Details" ist zwar wissenschaftlich besser, aber viel schwerer zu verstehen. Gleich die ersten Gleichungen erschlagen den Nicht-Matheprofi.

Ich sehe gerade, dass du die Seite editierst. Bin mal gespannt, "was da rauskommt"  ;-) Augiasstallputzer 13:28, 1. Jun. 2007 (CEST)

Ich habe eigentlich nicht mehr vor, noch gross was an der Seite zu aendern und bin so eigentlich ganz zufrieden. Wenn Du die Vorlagen nicht loeschen willst, dann bleibt eigentlich nichts ausser Loeschantrag. --P. Birken 13:32, 1. Jun. 2007 (CEST)

Kann ich nicht nachvollziehen, da ein Bedarf an der Kennzeichnung für Gleichungen und Textformatierung klar besteht. Und warum verschiedene Grade der Kurven unter Beispiele firmieren, ist auch nicht nachzuvollziehen. Unter einem Beispiel versteht man üblicherweise eine Verwendung konkreter Zahlenwerte. Das hier ist aber noch Erläuterung (Hervorhebung der Unterschiede). Augiasstallputzer  14:22, 1. Jun. 2007 (CEST)

Ganz im Gegenteil zu diesem Bedarf habe ich dieses Feature in meiner ganzen Zeit in der WP kein einziges mal vermisst. Es ist reine Spielerei, die wie gesagt die Lesbarkeit des Quelltextes verschlechter und die Weiternutzung unserer Inhalte erschwert. Das ein Beispiel ist etwas, was konkreter ist, als das vorher erklaerte. Hier wurden konkrete Zahlenwerte fuer n eingesetzt. Sinnvoll waere vielleicht den Abschnitt noch vor die Eigenschaften zu packen? --P. Birken 15:13, 1. Jun. 2007 (CEST)

Das ist nur eine Zahl, wenn auch die wesentlichste. Ich habe dabei an ein Beispiel mit z.B.

n = 3 P0 = (1 ; 5) P1 = (3 ; 7) P2 = (/ ; 3) P3 = (9 ; 5)

gedacht. Dieses von mir durchprobierte Beispiel (Tabellenkalkulation) zeigt auch auf, dass symetrische Punkte auch Symetrien in der Kurve bewirken, was in den Formeln nicht so leicht zu sehen ist (wenn man kein Mathestudium in der Tasche hat ;-) ). Und für mich sind die Endpunkte der Kurve auch ganz einfach deshalb gleich P₀ und P_n, weil für t=0 B_0,0 = 1 ist (und die anderen = 0) und für t=1 B_n,n = 1 ist (und die anderen = 0) . Das ist doch viel leichter zu erkennen, zumindest wenn man die Gleichung mal komplett ausschreibt. Deswegen verstehe ich auch nicht, warum du keine ausführlichere Darstellung willst. Das du die Erklärung von den B-Polynomen her nicht ok findest, kann ich noch verstehen aber das ändert nichts an der Tatsache, das mein Einführungsbeispiel richtig ist. Es führt schließlich zur gleichen Formel (Gl. 14 in meiner letzten Version) wie sie auch in deinem Beispiel "n=3" steht. Ich habe hier auch das Gefühl, dass du andere User generell nicht auf dieser Matheseite akzeptieren willst. Eine andere Erklärung gibt es für die Ablehnung richtiger Texte - Ich habe in mehreren Mathebüchern nachgeschaut - auch nicht. Augiasstallputzer  18:09, 1. Jun. 2007 (CEST)

Ganz im Ernst deuten weder Deine Diskussionsbeiträge noch Dein Edit hier, indem Du einfach falsche dinge in den Artikel geschrieben hast, ernsthaft an, dass Du wirklich die Person bist, die diesen Artikel schrieben sollte. Siehe auch Benutzer:Gunther. Habe bitte Verständnis, dass meine Motivation, Dir Bézier-Kurven zu erklären, nicht so riesig ist. Die Symmetrie folgt übrigens direkt aus der Definition der Bernsteinpolynome. --P. Birken 20:18, 1. Jun. 2007 (CEST)

Im vergleich zu einem Artikel aus einem "renommierten" Lexikon, finde ich den Artikel (im Moment!!) ziemlich gut. Zum Vergleich: "Bezierkurve, eine differenzierbare Kurve (Polynom) n-ten Grades zur Erzeugung von Freihandlinien durch Approximation von Polygonzügen mit n Polygonseiten bzw. n+1 Stützpunkten. Die Eckpunkte des Polygons liegen mit Ausnahme des ersten und letzten Punktes nicht auf der Kurve. Je nachdem, wie der Anwender die Stützpunkte des Polygons mittels Zeigergerät zieht, verändert sich die Form der Kurve." Ohne Bild und mit den Freihandlinien nicht mal korrekt. Ich denke diesen Absatz kann man als Negativbeispiel ansehen.... --Cpt761 16:04, 7. Jun. 2007 (CEST)

Ich stimme Benutzer:Augiasstallputzers ursprünglicher Kritik zu. Zu-viele Formeln zu wenig Erklärung. Nach ein wenig Geschichte kommt gleich eine Definition. Wie wäre es erst mal mit einer einleitenden Erklärung? Was ist ein Kontrollpolygon? --Moritzgedig 12:20, 29. Jun. 2011 (CEST)

Vektorpfeile

Ich finde die Version mit Vektorpfeile einfacher zu verstehen. Beim Lesen ohne Vektorpfeile habe ich mich gefragt, was eine Funktion $C(t)$ mit einer Kurve zu tun hat. Genau aus diesem Grund gibt es (Orts-)Vektorpfeile.

Abgesehen davon sollte entweder überall keine Pfeile oder überall Pfeile sein.

Dann sollten sie überall raus. Die Gebilde hier sind keine Vektoren und darüberhinaus sind Vektorpfeile in mathematischen Artikeln unüblich. --P. Birken 08:58, 12. Okt. 2007 (CEST)

{ Ich würde da auch gerne mehr klarheit haben. wenn man variablen, Buchstaben einführt muss man auch schreiben aus welcher menge sie sind. (N, Z, Q, R, C; Skalar, Vektor, Matrize; Dimensionen)

Eine funktion kann als vektor aufgefasst werden. ${\begin{pmatrix}x\\f(x)\end{pmatrix}}$ --Moritzgedig 12:14, 29. Jun. 2011 (CEST) }

Parameterisierung nach S

Wäre es nicht sinnvoll eine Parametisierung mit rein zunehmen, damit die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit gezeichnet werden kann? -- Trivalik

In der Regel ist eine solche Parametrisierung zum zeichnen einer solchen Kurve nicht nötig, da dies meist auch rekursiv per Algorithmus erfolgt. Trotzdem hätte ich nichts gegen eine Ergänzung einzuwenden. -- ▪Niabot▪議論▪ 17:39, 19. Dez. 2007 (CET) PS: Bitte unterschreibe deine Beiträge mit --~~~~

Hab ich zeichnen geschrieben, meinte das man diese gleichmäßig schnell ablaufen kann. Dies kommt auch vor z.B. in Spielen. Leider hab ich kein Ahnung, da im Internet nur viele Ansätze aber keine Lösung findbar ist. -- Trivalik

Als erstes wäre es sinnvoll die Bogenlänge als Integral zu bestimmen. Ein Abschreiten dieser Länge in einer gewissen Zeit kann als Geschwindigkeit verstanden werden. Ich habe allerdings gerade nicht die Zeit dies auszurechnen, vielleicht solltest du es bis dahin selbst versuchen. Ansonsten werde ich noch einmal darüber nachdenken und eine entsprechende Lösung zum Artikel hinzufügen. -- ▪Niabot▪議論▪ 20:27, 26. Dez. 2007 (CET) PS: Die Richtungsableitung ist ein Maß für die Geschwindigkeit, welches nur noch normiert werden müsste.

myKritik

- ... eine Kurve ist eine Kurve ist eine Kurve ... warum also 'numerischen Mathe' ... dann CAD ... dann geschichte ...

die definition gibt eine rechenvorschrift an, die es ermöglicht, zu gegebenen festen 'punkten' und variablem parameter 't' einen wert zu berechnen - eine definition einer punktmenge wie beim kreis wäre aber doch schöner ... zumindest aber eine definition, die die bezierkurve als eine art 'grafik-primitive' darstellt, also als möglichkeit der beschreibung einer (dichten, stetigen, ...) menge von punkten durch eine endliche anzahl von objekten (punkte, parameter, ...)

interessant ist doch zb auch, dass die rechenvorschrift ausserhalb von t=[0;1] 'etwas' liefert und warum genau das aber nicht zur bezierkurve gehören soll ...

die bernsteinpolynome werden kurzerhand mal schnell eingeführt, hier bisweilen zu spezifisch betrachtet, der tatsächliche zusammenhang aber letztlich nicht wirklich aufgezeigt (... ist ja auch nicht ganz trivial, denn der binomialsatz lässt sich hier nicht einfach anwenden ...)

der algorithmus von deCasteljau ist zumindest nicht auf die bernsteinpolynome angewiesen ...

eigenschaften die konvexe hülle ... ist ja schön verlinkt, aber sorry, mit dem ziel, denke ich, können die wenigsten etwas anfangen - leider ist das bild dort auch nicht besonders geeignet - letzlich aber auch nicht schlechter als viele abbildungen, die die lexikalische verbindung der kontrollpunkte als hülle darstellen und somit ein nicht immer richtiges bild vermitteln!

bezierfläche

zweifle, ob das hier richtig verortet ist und wenn, dann ist es viel zu wenig ...

anwendung ein schmankerl: "In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven und Flächen ..." - ja, wie gesagt: ... eine Kurve ist eine K.... (unausgesprochen: hier wäre soviel anwendung möglich .... (wenn nur jemand ein foto von phantomas' auto hätte ....))

beispiele

ach ja - hm - es gibt sie also in verschiedenen graden ... aha so Eigenschaften wie zb die fähigkeit sich ab n=3 selbst zu schneiden haben wir oben mal aussen vor gelassen ...

wenn wir's hierschon mit den graden haben - aus welchem raum sind denn die kontrollpunkte?

also es lässt sich zu beliebig vielen kontrollpunkten eine bezierkurve definieren ... zwischen den beispielen und der anwendung kommt hier die sache mit dem für-und-wider 'vieler' kontrollpunkte zu kurz, genauso wie die verbindungen unterschiedlicher stetigkeitsgrade zwischen bezierkurven (also zb die bei grafikern wohlbekannten 'anfasser' ....) und der begriff bezier-spline

und dann waren da noch die rationalen bezierkurven ... sehr interessant, vorallem, weil bisher in fast jedem werk die sehr irreführende, reduzierte berechnungs-formel angegeben wird ... dabei müssten wir dann aber auf homogene koordinaten und den projektiven raum eingehen - ist aber eigentlich nicht so wild :)

mea culpa wenn es jetzt harsche kritik-kritik regnet ... aber ausser heisse luft, hätte ich noch eine menge kleiner flash-files zur didaktischen aufbereitung der bezierkurven anzubieten ... (soweit ich das hier aber verstehe, geht nix mit flash in wikipedia - oder?!)

Mh, kannst Du Dich bitte bemühen, Deine Kritik etwas lesbarer zu gestalten? Mir helfen gerade deutsche Sätze enorm beim Verständnis. Flash geht nicht in Wikipedia. --P. Birken 23:17, 8. Jan. 2008 (CET)

Bei so vielen Kritikpunkten klingst du so als hättest du jede Menge Ahnung. Vielleicht können wir dich dazu begeistern den Artikel zu verbessern? Ich selber kenne mich gerade mit der mathematischen Komponente (Definition) zu wenig aus. Fühle dich also dazu berufen den Artikel selbst mitzugestalten. So wird man auch am leichtesten die Kritikpunkte los :P -- ▪Niabot▪議論▪ 00:04, 9. Jan. 2008 (CET)

Gern werde ich mich an der Weiterentwicklung beteiligen. Bin mir nur noch nicht im Klaren, ob eine weiträumige, didaktische Hinführung an dieser Stelle zum enzyklopädischen Charakter passt - und natürlich lege ich Wert auf eine diskursive Auseinandersetzung. :)

Konstruktion von Bezier aus kubischen Polynomen

@P. Birken Ich habe mal gelernt das Orthogonal senkrecht zu einander bedeutet, und wie die Animation zeigt stehen die beiden Polynome senkrecht zu einander. Das eine Polynom lässt sich nicht durch das andere darstellen.

Wer auch so denkt und vielleicht Verbesserungsvorschläge zu der Animation hat darf sich gern hier einmischen. Ich würde die Animation gern in den Artikel Bézierkurve einfügen und zwar genau an der Stelle wo diese Konstruktion Formal beschrieben ist. Die anderen Animationen haben mich dazu inspiriert.

Image:Bezier cubic ortho anim.gif

--Visualiza 19:52, 7. Mär. 2008 (CET)

Mir erscheint der dreidimensionale Eindruck der grünen Kurve nicht deutlich genug. Vielleicht sollte man sich etwas anders um diese Kurve herum bewegen oder eine andere Kurve wählen? Ansonsten sehr schön. Könnte sich um ein exzellentes Bild/Animation handeln. -- ▪Niabot▪議論▪ 20:02, 7. Mär. 2008 (CET)

Nachtrag: Habe es mir nun noch einmal genauer angesehen und frage mich: Inwiefern ist das Dargestellte mit einer Bézierkurve verwandt? Es scheinen mir zwei normale Polynome dritten Grades zu sein, aber weder die Polynome, noch der erzeugte Graph scheint mir eine Bézierkurve zu sein. -- ▪Niabot▪議論▪ 20:08, 7. Mär. 2008 (CET)

Ok du hast recht die Bezierkurve ist nicht als das zu erkennen. Ich könnte die Konstruktionspunkte noch einarbeiten. Das könnte aber auf Kosten der Übersichtlichkeit gehen. Ich könnte auch den De_Casteljau-Algorithmus im Hintergrund ablaufen lassen. Am einfachsten wäre es die konvexe Hülle mitzuzeichnen. Ich werde die Farbwahl auch an die anderen Animationen anpassen - sprich rot für die Bézierkurve --Visualiza 20:20, 7. Mär. 2008 (CET)

Dies löst allerdings die Frage danach, ob es denn auch wirklich eine Bézierkurve ist, nicht. Ich sehe hier nur eine parameterisierte Kurve im dreidimensionalen Raum, aber keine Bézierkurve, bzw. ich weiß nicht auf was diese Abgebildet wird – die XY-Ebene? -- ▪Niabot▪議論▪ 20:46, 7. Mär. 2008 (CET)

Orthogonale Polynome sind etwas anderes und bedeutet nicht, dass man einfach zwei verschiedene Funktionen in aufeinander senkrecht stehenden Koordinatensystemen plottet. --P. Birken 21:25, 7. Mär. 2008 (CET)

Ich habe mir die Animation noch einmal näher angesehen und dabei festgestellt, das die beiden Funktionen die parameterisierte Bèzierfunktion darstellen, wenn man diese auf die XY-Ebene projiziert. In dieser Hinsicht ist die Darstellung korrekt. Allerdings sollte man dies durch farbliche Hervorhebung dieser Ebene deutlich gemacht werden. Fachlich sollte es jedenfalls bereits jetzt korrekt sein. An die t-Achse sollte man noch die Punkte 0 und 1 einzeichnen -- ▪Niabot▪議論▪ 22:45, 7. Mär. 2008 (CET)

Ja. Nur, außer dass es cool aussieht, was ist die Relevanz für den Artikel? --P. Birken 13:17, 8. Mär. 2008 (CET)

Stell dir vor das es Menschen gibt die sich Sachen versuchen vorzustellen und ich denke das es nicht wenige sind. Bei mir ist das so und da sagt ein Bild mehr als eine Formel. In deinem Artikel über den Satz_des_Pythagoras sind schließlich auch grafische Darstellungselemente enthalten. - Desweiteren hat hier niemand behauptet die Grafik wäre cool. Ich denke mir meinen Teil dazu. --Visualiza 14:00, 8. Mär. 2008 (CET)

Was lerne ich denn aus dem Bild? --P. Birken 16:24, 8. Mär. 2008 (CET)

Nach dem ich mich nun etwas näher mit orthogonalen Funktionen beschäftigt habe, weiß ich nun das ich mir das echt zu einfach vorgestellt habe das Skalarprodukt der 2 Parameterfunktionen ist sicher nicht 0. Was bedeutet das dein Glaube richtig war P. Birken. Ich meine mit orthogonal das die Funktionswerte der Parameterpolynome auf othogonalen Achsen abgebildet sind. Daraus ergibt sich eine alternative Konstruktion der Bézierkurve. Und das ist genau das was man aus der Animation lernen könnte - zumindest als nicht Mathematiker. --Visualiza 00:44, 9. Mär. 2008 (CET)

Eine zweidimensionale Animation dieses Zusammenhangs sollte auch möglich sein, da die Graphen der Funktionen auch dort an den Achsen, als nebenstehende Diagramme gezeigt werden können. Damit entfällt die dritte Dimension und es wird sofort ersichtlich, auf was projiziert wird. -- ▪Niabot▪議論▪ 01:33, 9. Mär. 2008 (CET)

Dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, eine Bezierkurve auszurechnen, ist trivial. Es gibt ja aber gute Gründe, wieso man die Bernsteinbasis nimmt, andere Möglichkeiten zu illustrieren lenkt nur vom Thema ab. --P. Birken 11:36, 9. Mär. 2008 (CET)

Also ich hab's mir mal kurz angeschaut und dabei sind mich doch gleich folgende Punkte angesprungen: (a) die Aussage "das sich ein Bezier in orthogonale Polynome zerlegen lässt" ist formal etwas mager, denn gilt dies für jedes Bezier? ist die Zerlegung eineindeutig? wieviele orthogonale Polynome sind dazu mind./höchstens notwendig? ...? und (b) wenn sich das Bezier selbst schneidet, was ja durchaus vorkommen kann, dann führt die Veranschaulichung zu einem Widerspruch bezüglich der Möglichkeit, die Projektion des Bezier als Funktion darzustellen - Funktionen sind bijektiv ... --Piusbmaier

Schnittpunkte mit Primitiven und anderen Bézierkurven

Wäre es sinnvoll Schnittpunktberechnungen und deren Vorbetrachtungen mit aufzunehmen? Trivial sind diese im Falle einer Bézierkurve ja nicht. -- ▪Niabot▪議論▪ 12:34, 9. Mär. 2008 (CET)

Kurven zeichnen

Mit Hilfe der Zeichnung konnte ich relativ schnell nachvollziehen, wie man z.B. mit geogebra eine Bezierkurve zeichnet, wenn man das Hüllpolynom kennt. Mein eigentliches Problem ist: In der Praxis hat man eine bestimmte Kurve, die man mit einem Programm wie z.B. OpenOffice zeichnen will. Wenn ich z.B eine S-Linie zeichnen möchte, weiß ich nicht, wie ich dazu das richtige Hüllpolynom bestimme. Deswegen kann ich auch nicht die Bezierfunktion in Graphikenprogrammen nutzen: Ich bekomme immer nur irgendwelche Kurven, aber nicht die Kurven, die ich eigentlich zeichnen will. Es wäre nicht schlecht, wenn jemand vielleicht auf diese Problematik im Artikel eingehen könnte und vielleicht auch Lösungsvorschläge parat hat (evtl mit Links)

Danke C. Fischer 18:05, 4. Jun. 2008 (CEST)

Das ist eigentlich nicht weiter wild, denn als erstes legst du dir die vier Kontrollpunkte fest. Anschließend brauchst du nur z.B. 100 verschiedene Werte zwischen 0..1 in die Formel einsetzen und hast alle nötigen Zwischenpunkte, die du nur noch per Linienzug verbinden musst. Allerdings solltest du dabei beachten, dass die Punkte nicht im gleichen Abstand (äquidistant) verteilt sind. Es kann also trotzdem zu Darstellungsfehlern kommen. Bessere Ansätze schätzen vorher ab, welche Zwischenschritte der Kurve berechnet werden müssen. Dies erfolgt meist rekursiv durch Teilung der Kurve in Untersegmente (meist bei 0.5). Bei hinreichend hoher Teilung entstehen dann nahezu gerade Segmente, die dann als Linie gezeichnet werden. -- ▪Niabot▪議論▪ 18:13, 4. Jun. 2008 (CEST)

Das beantwortet Fischers Frage nicht. Nach welchen Kriterien positioniert man Kontrollpunkte, um eine gegebene Form (Pinselstrich, GPS-vermessener Flusslauf, ...) mit möglichst wenigen Punkten angemessen zu approximieren? Vier Kontrollpunkte reichen meist nicht. Es ist zu entscheiden, wo die Dichte der Kontrollpunkte größer sein muss und wo längere Segmente reichen. Wenn die Form stetige Krümmung hat (was immer das bei empirischen Formen bedeutet), soll die Approximation das auch haben (siehe z.B. die letzte Seite des im Artikel verlinkten Tutorials). Ansonsten sollen vielleicht die Punkte der Form einen gegebenen RMS-Abstand zur Approximation nicht überschreiten. Das als Optimierungsproblem zu programmieren ist offenbar keine leichte Aufgabe, sonst gäbe es solche Automatismen in Grafikprogrammen. Bleibt also nur Übung und Intuition. – Rainald62 23:35, 31. Mär. 2009 (CEST)

Ich habs wieder mal gebraucht, länger gesucht, und Erfolgversprechendes auf matlabcentral gefunden. – Rainald62 00:49, 18. Sep. 2010 (CEST)

Revertismus

Hallo P._Birken,
ich finde es erschreckend, daß man sich immer wieder genötigt sieht, die Behebung eindeutiger Mißstände rechtfertigen zu müssen. Das macht auf Dauer keinen Spaß.
Da die Zusammenfassungszeile nicht mehr ausreicht, werde ich hier auf jede der von Dir vorgebrachten Thesen einzugehen:

• "so sieht der Artikel aber blöd aus"

"Blöd aussehen" steht ja wohl ganz oben auf der Liste aller Nicht-Argumente. Weil man mit dem Aussehen der WP nun absolut keinen Designpreis gewinnen kann, es dafür aber ungemein zweckmäßig ist, gilt hier also die Prämisse: Form follows function.

• "das müsste dann softwareseitig gelöst werden"

Dazu bedarf es zuerst der Lösung. Kümmere Dich drum, wenn Dir daran gelegen ist und wenn es dann geregelt ist, kannst Du es ja wieder umstellen, wenn es unbedingt sein muß (was aber unzweckmäßig ist, s.u.).

• "ähm, an keiner dieser Seiten wird das als Problem erwähnt."

Da irrst Du Dich bedauerlicherweise:

* WP:FORM sagt u.a. aus, daß das Lemma möglichst ganz vorn zu stehen hat.

* In WP:BF und in WP:BIENE steht zwar nichts Explizites zum vorliegenden Fall, aber als WP-Autor sollte man ein wenig zwischen den Zeilen lesen können. Für die Benutzer eines Screenreaders sieht in der nicht verbesserten Version (auf die Du immer wieder revertierst) der Beginn des Artikels u.U. so aus: [[Datei:Bezier curve.svg|thumb|Kubische Bézierkurve]]. Noch schlimmer wird es dann, wenn mehrere Bilder und Wartungsbausteine den Artikelbeginn verunstalten.

• "ich finde es nicht übersichtlicher, sondern schlechter, [...]"

Ansichtssache. Unbestreitbar ist, daß der Platz besser ausgenutzt wird. Das macht sich darin bemerkbar, daß mehr Text gleichzeitig auf weniger Fläche dargestellt werden kann, da das Bild, wenn es neben dem Inhaltsverzeichnis steht, keinen Platz wegnimmt, der eigentlich durch Text belegt werden könnte. Von wesentlichem Vorteil ist das auf den kleinen Displays von Netbooks und vor allem beim Ausdrucken; auf diese Weise kann man schon beim Artikeldesign der Umwelt hunderttausende von Seiten Papier ersparen – natürlich hochgerechnet auf das gesamte Druckaufkommen aus der WP weltweit.

• "[...] wenn kein direkter Zusammenhang zwischen Bild und Einleitung herrscht."

Das ist sowieso nicht der Fall: Das "einleitende" Bild zeigt eine kubische Bézierkurve, auf die in den beiden Einleitungsabsätzen nicht weiter eingegangen wird. Somit ist der Zusammenhang auch nur sehr mittelbar und das Bild eher als "Symbolfoto" zu betrachten. Damit fällt der direkte und unmittelbare Bezug zum Text und somit der Bedarf auf Zuordnung zum speziellen Absatz weg.

Bevor du jetzt wieder den total(itär)en Pauschal-Revert-Hammer schwingst, lies Dir bitte mein Statement zu unkontrolliertem Revertieren durch und hole eine Dritte Meinung ein (denn Du bist ja mit meiner Verbesserung unzufrieden). Dank und Gruß, Carbenium 23:41, 12. Nov. 2009 (CET)

Moment, Du bist derjenige, der hier eine Änderung in einem Artikel mit dem Du vorher überhaupt nichts zu tun hattest, durchdrücken will, die auf Wiederstand stößt. Dann solltest du das erstmal akzeptieren und versuchen, mich zu überzeugen, anstatt weiter zu revertieren. Hole Du bitte eine dritte Meinung ein.

Ich finde Deine Argumente weiter wenig überzeugend. Wenn Screenreader das nicht können, dann sollten bessere programmiert werden. Bilder im Artikeltext lesen können, aber nicht am Anfang, ist doch lächerlich und wird morgen überholt sein. Nichts weswegen man zehntausende Artikel ändern muss.

Die Einleitung bezieht sich natürlich auf Bezier-Kurven, eine kubische Bezier-Kurve ist ein Beispiel dafür und illustriert genau das Thema, was soll es sonst sein?

Auch Deine Behauptung zu den Metaseiten, es stünde auf WP:FORM, WP:BF oder WP:BIENE lässt dort keinen Hinweis zum Thema auftauchen. Dort steht einfach nichts zum Thema Bilder und Screenreader.

Wenn Du das haben willst, diskutiere das dort, aber verschlechtere nicht das Layout von drölfzehn Bilder. Wenn Du mit meinem Geschmack nicht übereinstimmst, kein Problem, aber dann laufe nicht durch die Wikipedia und ärgere die Autoren. --P. Birken 09:00, 13. Nov. 2009 (CET)

Gebrochenrationale Bézierkurven

Habe die unkorrekte Bezeichnung der "rationalen" Bézierkurven in "gebrochenrationale" Bézierkurven korrigiert, da es sich hierbei ja um Bézierkurven mit gewichteten Punkten handelt. Im Übrigen sind im weitesten Sinne alle Bézierkurven "rational", daher ist das eine falsche Definition. Für weitere Informationen empfehle ich die Lektüre "Basiswissen Analysis" von Prof. Dr. Burkhard Lenze. Ansonsten sollte zwischen ganzrationalen und gebrochenrationalen Bézierkurven unterschieden werden.--89.245.200.193 20:21, 10. Jan. 2011 (CET)

Und spricht irgendwas dagegen, das Ding einfach gewichtete oder gewichtbehaftete Kurve zu nennen? Das "rational" ist doch, soweit ich das überblicke in diesem Kontext im englischen quasi nur ein Sinnbild für den Bruchstrich, der bei der Formeldarstellung Gewichteter Kurven zu sehen ist. Ob die Koeffizenten in der Basisfunktionsmatrix nun ganzzahlig, rational oder real sind, interessiert doch niemanden wirklich.

--77.8.125.76 04:18, 9. Dez. 2012 (CET)

Maximal- bzw. Minimalwerte für x und y

Mich würde zusätzlich zu diesem Artikel noch interessieren, ob bei der quadratischen und kubischen Bezierskurve die Maximal- bzw. Minimalwerte für x und y berechnet werden können. Nützlich ist das beispielsweise, um vorab die benötigte Zeichenfläche zu berechnen (bounding-rect). -- 178.190.35.176 08:44, 12. Okt. 2011 (CEST)

Eine Bézierkurve am Bildschirm besteht, vereinfacht ausgedrückt, statt aus vielen Pixeln aus einer relativ einfachen Formel.

Diese Formulierung erscheint mir ziemlich unglücklich. Einerseits sind Bildschirmdarstellungen immer Pixel; andererseits trifft das, was wahrscheinlich gemeint ist, auf den grundsätzlichen Unterschied zwischen Raster- und Vektorgrafik zu und nicht nur auf Bezier. Jede simple Gerade in Vektorprogrammen "ist eine Formel" statt viele Pixel... --Peter2 (Diskussion) 17:11, 13. Sep. 2013 (CEST)

Kommt hinzu, dass eine Kurve nicht aus einer Formel besteht, sondern aus einer solchen errechnet wird. Wikisteno (Diskussion) 18:11, 13. Sep. 2013 (CEST)

Deswegen hatte ich mir erlaubt, die Formulierung der "Formel" unter "Hochkomma" zu setzen .. ;-) --Peter2 (Diskussion) 18:32, 13. Sep. 2013 (CEST)

nörgler

seit die bezier funktion wohldefiniert ist sehen die automobile alle gleich aus.

die mathematik zwischen null und eins ist interessant.

79.234.239.188 10:44, 8. Nov. 2013 (CET)

WebLink auf Applet f. 10 Punkte ist tot

Der Link führt nur noch zu einer privaten Homepage. (nicht signierter Beitrag von 2001:470:5071:1:B431:4882:14DE:6418 (Diskussion | Beiträge) 17:19, 22. Mai 2015 (CEST))

Allgemeinverständlichkeit - Baustein

Direkt nach der Einleitung wird der Leser von mathematischem Formalismus erschlagen, ohne dass eine sprachliche Erklärung einer Bezierkurve vorhanden ist. Außer "ist eine parametrisch modellierte Kurve" (was sicher zutrifft, allerdings überhaupt keine Spezifizierung der Bezierkurve ist, also das Lemma überhaupt nicht beschreibt), kommt da nichts. Das ist in etwa, wie wenn in der Einleitung des Lemmas "Kirche" steht: "ist ein Gebäude" - und dann nur 20 Formeln zur Statikberechnung des Kirchenschiffes gelistet sind, und im besten Falle noch der Grundriss einer Kirche. Es sollte einem hier schreibenden Mathematiker doch möglich sein, die hinter der Bezierkurve liegenden grundlegenden Gedanken/den Ansatz sprachlich zu formulieren, also auch den Formalismus in Sprache zu formen - wenn er denn wirklich versteht, was die Formeln und formalistische Darstellung bedeuten.

• Was ist der grundlegende Ansatz der Konstruktion/des Konstruktionsprinzips?
• Welchen Gedanken folgt dieser? / Wie kommt man zu diesem Ansatz?
• Was "macht" eine Bezierkurve, bzw. was "machen" die Punkte der Bezierkurve? Was ist das/ein "Kontroll"-polygon?

--BrutFork (Diskussion) 15:38, 19. Sep. 2016 (CEST)

Der mathematische Formalismus ist im Abschnitt Definition durchaus angebracht wie ich finde. Der Abschnitt ist kurz, (nach bestem Wissen) korrekt und erläutert/verknüpft/verlinkt alle essentiellen Aspekte der generellen Definition um diese nachvollziehen zu können. Eine sprachliche Erläuterung fände ich, an dieser Stelle zumindest, nicht wirklich zuträglich da sie nur aufblähen würde, was die Definition jetzt bereits formal sehr gut auf den Punkt bringt.

--VonHaarberg 18:42, 10. Jun. 2017 (CEST)

Motivation, Definition

"Eigenschaften der Bernsteinpolynome:

...

D. h. eine leichte Veränderung des Punktes b_i hat nur eine wesentliche Veränderung der Kurve in der Umgebung von x(i/n) zur Folge."

Ist damit folgendes gemeint?: "D. h. eine leichte Veränderung des Punktes b_i hat nur in der Umgebung von x(i/n) eine wesentliche Veränderung der Kurve zur Folge." Wenn ja, erscheint mir der Satz durch diese Umordnung der Satzteile verständlicher. (nicht signierter Beitrag von 95.129.205.198 (Diskussion) 16:51, 27. Nov. 2020 (CET))

Geändert, danke !--Ag2gaeh (Diskussion) 21:24, 27. Nov. 2020 (CET)