Diskussion:Baryzentrische Koordinaten

Anschauliche Erklärung

wie wär es mal mit einer anschaulichen erklärung? so ist dieser artikel zwar richtig, aber auch richtig sinnlos und kann wieder entfernt werden.

Das ist einer der schlechtesten Wikipedia Artikel die ich seit langem, lesen musste. Irgendjemand mit Ahnung von der Materie möge sich bitte erbarmen.

Umrechnung Kartesische in Baryzentrische Koordinaten

Letzter Kommentar: vor 11 Jahren4 Kommentare3 Personen sind an der Diskussion beteiligt

Im Artikel fehlt noch die Umrechnung von Kartesischen in Baryzentrische Koordinaten, bei gegebenem Simplex.

Ich habe mal ein bisschen recherchiert und habe herausgefunden, dass im 2D folgendes Gilt:

Bei einem gegebenen Dreieck $\vartriangle ABC$ (mit den Seiten ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ), errechnen sich die normierten Baryzentrischen Koordinaten $(u,v,w)$ – wenn $A(0,0,0)$ , $B(0,1,0)$ und $C(0,0,1)$ , in Baryzentrischen Koordinaten –, des in Kartesischen Koordinaten gegebenen Punktes $X(x,y)$ – sofern dieser innerhalb des Dreiecks liegt – wie folgt:

u=A_{u}/A_{\vartriangle }

v=A_{v}/A_{\vartriangle }

w=A_{w}/A_{\vartriangle }

Dabei ist $A_{\vartriangle }$ die Fläche des Dreiecks (z. B. die Fläche, die von ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}$ aufgespannt wird), $A_{u}$ die Fläche, die von den Vektoren ${\overrightarrow {XC}}$ und ${\overrightarrow {XB}}$ aufgespannt wird, $A_{v}$ die Fläche, die von den Vektoren ${\overrightarrow {XA}}$ und ${\overrightarrow {XC}}$ aufgespannt wird und $A_{w}$ die Fläche, die von den Vektoren ${\overrightarrow {XA}}$ und ${\overrightarrow {XB}}$ aufgespannt wird.

Da Flächen nicht vorzeichenbehaftet sind, lassen sich so keine Baryzentrischen Koordinaten außerhalb des Simplex’ darstellen. Über die Überlegung, dass sich Flächen, die von Vektoren aufgespannt werden, über die Beträge von Kreuzprodukten berechnen lassen und diese wiederum mittels Determinanten lösbar sind, bin ich auf folgende Variante gekommen, die quasi vorzeichenbehaftete Flächen liefert (2D):

{\tilde {A}}_{\vartriangle }=\left|{\begin{matrix}b_{x}&c_{x}\\b_{y}&c_{y}\\\end{matrix}}\right|=b_{x}c_{y}-c_{x}b_{y}

u=\left|{\begin{matrix}x_{B}-x&x_{C}-x\\y_{B}-y&y_{C}-y\\\end{matrix}}\right|\cdot {\frac {1}{{\tilde {A}}_{\vartriangle }}}

v=\left|{\begin{matrix}x_{C}-x&x_{A}-x\\y_{C}-y&y_{A}-y\\\end{matrix}}\right|\cdot {\frac {1}{{\tilde {A}}_{\vartriangle }}}

w=\left|{\begin{matrix}x_{A}-x&x_{B}-x\\y_{A}-y&y_{B}-y\\\end{matrix}}\right|\cdot {\frac {1}{{\tilde {A}}_{\vartriangle }}}

Wenn jemand Fachkundiges das verifizieren, einpflegen und bequellen könnte (ggf. berichtigen, falls ich da Mist zusammen gefrickelt habe), wäre das super. — Falk _Palaver … 15:43, 20. Dez. 2009 (CET)Beantworten

Nachtrag: Sehe gerade, dass das schon unter Berechnung steht. Allerdings gefällt mir die Variante mit den Determinanten besser, weil man nicht erst explizit den Umlaufsinn der Teildreiecke bestimmen muss. Außerdem fehlt noch im Artikel, wie man normierte B. Koordinaten bekommt (also dass man einfach durch die Dreiecksfläche dividieren muss). (Das mag für den mathematisch versierten Menschen zwar trivial sein, für die „Oma“ aber nicht). — Falk _Palaver … 16:34, 20. Dez. 2009 (CET)Beantworten

Im englischen Artikel steht etwas dazu im Abschnitt [:en:Barycentric_coordinates_(mathematics)#Converting_to_barycentric_coordinates|Converting to barycentric coordinates]]. Und dann: sei mutig. Kleine Anmerkung: Die durch die Determinanten berechneten Flächeninhalte sind die von Parallelogrammen. Die Dreiecksflächen sind jeweils halb so gro\. --Digamma 14:11, 27. Mai 2010 (CEST)Beantworten

Eine einfache Möglichkeit zur Berechnung der baryzentrischen Koordinaten eines Punktes $(x,y)$ bzgl. eines Dreiecks in der Ebene ist

u={\frac {(x-x_{3})(y_{2}-y_{3})-(y-y_{3})(x_{2}-x_{3})}{(x_{1}-x3)(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{3})(x_{2}-x_{3})}}

v={\frac {(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})-(y_{1}-y_{3})(x-x_{3})}{(x_{1}-x3)(y_{2}-y_{3})-(y_{1}-y_{3})(x_{2}-x_{3})}}

w=1-u-v

Einsetzen in die Definition oben zeigt die Korrektheit. Des weiteren gilt dann, dass ein Punkt $(x,y)$ genau dann innerhalb des Dreiecks liegt, wenn $u>=0,v>=0,w>=0$ . Das gilt unabhängig von der Orientierung des Dreiecks, der Nenner oben ist nebenbei der doppelte, orientierte Flächeninhalt des Dreiecks. (nicht signierter Beitrag von 83.243.113.124 (Diskussion) 23:54, 4. Sep. 2013 (CEST))Beantworten

Visualisierung in RGB

Letzter Kommentar: vor 11 Jahren2 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt

Kann man sowas in den Artikel einbauen? Oder ist es eher überflüssig? --RokerHRO 12:23, 6. Aug. 2010 (CEST)Beantworten

Ich fände vielleicht im Abschnitt über Interpolation eine Grafik sinnvoller, die die Probleme bei der Anwendung der Dreiecksinterpolation auf ein aus 2 Dreiecken zusammengesetztes Rechteck veranschaulicht (die wenig intuitive, starke Abhängigkeit davon, wie man das Rechteck trianguliert).

--77.177.70.202 00:08, 2. Dez. 2012 (CET)Beantworten

Viele Fragwürdikeiten

Letzter Kommentar: vor 4 Jahren9 Kommentare5 Personen sind an der Diskussion beteiligt

Es fehlt die Angabe von Standardquellen und Einzelnachweisen. Zudem weicht das hier Dargestellte erheblich von dem ab, was man so in die Lehrbuchliteratur (z. B. H. Schubert: Topologie, 4. Auflage, Teubner, 1975, S. 162 ff) findet. Hier liest man z. B. was Anderes über baryzentrische Koordinaten. Wieso solen die baryzentrischen Koordinaten in einem Simplex bzgl. der Eckpunkte nicht eindeutig sein? Diese Eckpunkte sind aber immer affin unabhängig, was Eindeutigkeit sichert. Und was bedeutet die Definitionsgleichung? Ist das Gebilde in Klammern eine Matrix?? Und ist V reell?. Vermutlich ja! Vermutlich sogar V = R^n. Aber dies alles sollte man schon sorgfältig und differenziert darstellen.Schojoha (Diskussion) 22:40, 27. Jul. 2012 (CEST)Beantworten

Wo siehst du eine Matrix? Digamma (Diskussion) 17:08, 29. Jul. 2012 (CEST)Beantworten

Im Grunde gibt es für Mengendarstellung ein Konzept für Affine Mengen (mit Affinen Basen), und für Konvexe Mengen (ohne Basen, beliebig viele Punkte). Diese beiden Konzepte können eine Schnittmenge haben (wie bei einem Dreieck), müssen aber nicht. Bei beiden Fällen kann man mittels Koordinaten jeden Punkt der Menge angegebn. Die Fachwelt ist sich nun uneinig ob die affinen Koordinaten, die konvexen KO oder beides 'baryzentrische' KO sind. Daher mein Vorschlag als Sprachregelung 'Affine KO', 'KonvexKO' und in Fällen wo beides zutrifft, kann man beides sagen. --Eulermatroid (Diskussion) 14:44, 9. Nov. 2012 (CET)Beantworten

Die "vielen Fragwürdigkeiten" sind unbegründet. Der Artikel ist in allen Punkten korrekt. Die wesentlichen Eigenschaften lassen sich nachlesen z.B. in ^{<ref>Hoschek/Lasser,Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung</ref>} oder in ^{<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik</ref>}. Dort findet sich auch der Beleg, dass baryzentrische Koordinaten nicht eindeutig sind. Das "Gebilde in Klammern" ist natürlich eine Determinante. V=R^n mag irgendwo gelten, im Artikel gibt es weder ein grosses V noch ein R. (nicht signierter Beitrag von 83.243.113.124 (Diskussion) 23:54, 4. Sep. 2013‎ (CEST))Beantworten

Es scheint zwei unterschiedliche Definitionen von "baryzentrische Koordinaten" zu geben. Bei der einen sind beliebige Koordinaten/Gewichte zugelassen. Dann sind sie nicht eindeutig, sondern ein Spezialfall von homogenen Koordinaten. Dies ist die Definiton hier im Artikel, außer in der Einleitung, und zum Bespiel bie MathWorld

Bei der andern Definition wird gefordert, dass die Summe der Gewichte gleich 1 ist. Das ist die Definition in der Einleitung, in der EoM und bei Planetmath. Im Artikel wird diese Version "normierte baryzentrische Koordinaten" genannt. Diese sind eindeutig.

@Schojoha: Ich weiß nicht, ob ein Topologiebuch eine maßgebliche Quelle ist. Simpliziale Komplexe sind nur eine von vielen Anwendungen. Als Quelle könnte ich Marcel Berger: Geometry I, Springer 1987 anbieten. Dort wird die zweite, eindeutige Definition verwendet.

@Unsignierte IP: Genauso bezweifle ich, dass ein Buch über geometrische Datenverarbeitung eine maßgebliche Quelle ist.

Allgemein: Das richtige Setting für baryzentrische Koordinaten ist die affine Geometrie. Das heißt, die Punkte sind Elemente eines affinen Raums, nicht eines Vektorraums. --Digamma (Diskussion) 21:58, 16. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

@Eulermatroid: Unter affinen Koordinaten verstehe ich Koordinaten, die ähnlich wie kartesische Koordinaten gebaut sind, nur dass die Koordinatenachsen nicht rechtwinklig sind.

Die o. e. "vielen Fragwürdigkeiten" bin ich bereit zu "Fragwürdigkeiten" abzuschwächen. Dennoch meine ich auch jetzt noch, dass man mehr schreiben sollte zu den Strukturen, in denen man sich hier bewegt. Ich stimme Digamma insoweit zu, als auch ich denke, dass man hier affine Räume zugrundelegt. (Anmerkung: Ich habe die hier gebrachte Definition der baryzentrischen Koordinaten in dem erwähnten Springer-Text vom Marcel Berger so nicht gefunden habe.)

Hier noch einmal die drei Punkte, um die es mir geht:

1) Es sollte klargestellt werden, welche affinen Räume man betrachtet, insbesondere ob man allein solche über dem Körper der reellen Zahlen oder auch solche über anderen Körpern betrachtet. (Da weiter unten im Definitionsteil "Falls die Koordinaten positiv sind, ... " steht, vermute ich ja, dass es allein um den Körper der reellen Zahlen geht.)

2) Es sollte klargestellt werden, ob "Summe der affinen Koordinaten gleich 0" zugelassen oder ausgeschlossen wird.

3) Es sollte der Normalfall der baryzentrischen Koordinaten, also der Fall "Summe der affinen Koordinaten gleich 1", in der Definition ausdrücklich erwähnt werden.

Schojoha (Diskussion) 20:46, 17. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Vielen Dank für deine Antwort. In den drei aufgezählten Punkten bin ich ganz deiner Meinung. Meinen Hinweis auf das Buch von Berger hast du missverstanden: Ich wollte nicht sagen, dass Berger die Definition aus dem Artikel hier verwendet, sondern nur, dass er eine Definition verwendet, die dem entspricht, was hier "normierte baryzentrische Koordinaten" genannt wird. --Digamma (Diskussion) 21:46, 17. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Der Abschnitt "Beispiele" ist ohne angebrachte Kennzeichnung zu einem Großteil von der Seite https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Baryzentrische_Koordinaten übernommen (nicht signierter Beitrag von 46.81.45.163 (Diskussion) 12:58, 7. Aug. 2020 (CEST))Beantworten

Umgekehrt: Die Seite https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Baryzentrische_Koordinaten ist offensichtlich eine Kopie des Wikipedia-Artikels. --Digamma (Diskussion) 19:25, 7. Aug. 2020 (CEST)Beantworten

Berechnung

Letzter Kommentar: vor 11 Jahren1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Sollte nicht im Abschnitt Berechnung vielleicht erstmal sowas hier stehen, bevor man wild irgendwelche MatProfWorld-Inhalte hier ungeprüft reinkopiert?

${\begin{aligned}&{\vec {p}}_{0}+a({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{0})+b({\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0})\\&={\vec {p}}_{0}+a{\vec {p}}_{2}-a{\vec {p}}_{0}+b{\vec {p}}_{1}-b{\vec {p}}_{0}\\&=(1-a-b){\vec {p}}_{0}+b{\vec {p}}_{1}+a{\vec {p}}_{2}\\&=c{\vec {p}}_{0}+b{\vec {p}}_{1}+a{\vec {p}}_{2}\end{aligned}}$