Diskussion:Basis (Vektorraum)

Beispiel

Ist es nicht falsch, was bei Beispiel steht?:

• Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge (1,1,1,\ldots) nicht davon erzeugt:

$\{(1,0,0,0,\ldots ),(0,1,0,0,\ldots ),(0,0,1,0,\ldots ),\ldots \}$ Meiner Meinung nach tun sie das sehr wohl durch einfache Addition aller Elemente. Oder mache ich da einen Denkfehler?

Sie tun es nicht, denn Deine „einfache Addition aller Elemente“ hat unendlich viele Summanden und ist damit keine Linearkombination. --Rotkraut 21:19, 29. Mai 2006 (CEST)

Dann sollte man dies auch erklären! Onibal 16:32, 3. Feb. 2010 (CET)

Ich hätte eine Frage: Wie würde man diese Aufgabe lösen? Gegeben sind die Vektoren a=(5,3,3,-6)T , b=(-3,3,1,4)T, c= (-2,6,3,3)T, d=(4,1,-3,0)T. Zeigen Sie, dass L(a,b,c,d) = L(b,c,d), aber L(a,b,c,d) ist nicht gleich L(a,b,c) ?

L=Linearkombination. Wie muss ich bei diesem Beispiel anfangen? (nicht signierter Beitrag von 84.119.77.148 (Diskussion | Beiträge) 09:07, 25. Mär. 2010 (CET))

Begriffe

Ich habe erstmal die Begriffe Linearkombination, Erzeugendensystem und linear unabhängig bei der Basis mit definiert. Einige andere Artikel (mindestens einer: Dimension (Mathematik)) beziehen sich auf diese Begriffe. Sollte man nun die drei Definitionen auslagern in eigene Seiten, oder Verweise auf die Basis-Seite legen? --SirJective

Inzwischen sind Linearkombination und Lineare Unabhängigkeit eigene Artikel, fehlt noch das Erzeugendensystem. Beachte auch den Artikel Erzeuger einer Gruppe, der ein aehnliches Konzept behandelt. --SirJective 12:46, 11. Feb 2004 (CET)

Erzeuger einer Gruppe wurde nach Erzeuger (Algebra) verschoben, man könnte auch den Redirect Erzeugendensystem dorthin umleiten und die Details bei Basis (Vektorraum) lassen.--Gunther 15:50, 27. Feb 2005 (CET)

Für Erzeuger (Algebra) braucht es noch einen Artikel (oder Begriffsklärung) Erzeuger. Gibt es Erzeuger-Konzepte in "Mathematik \ Algebra"? Und außerhalb der Mathematik?

Es gibt noch (nicht) Erzeuger (Kategorientheorie). Und Eltern :-)--Gunther 17:16, 1. Mär 2005 (CET)

BKS Erzeuger angelegt.--Gunther 12:12, 2. Mär 2005 (CET)

Sollte man die Kanonische Basis nicht in einen eigenen Artikel verschieben? Ein Link a la <<wikipädia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)#Beispiele kanonische Basis>> ist nichtssagend, und vmtl. nicht sehr dauerhaft...86.32.47.81 01:50, 19. Jan. 2007 (CET)

Nein, dafür gibt der Begriff zu wenig her. --Stefan Birkner 02:10, 19. Jan. 2007 (CET)

Der Rangsatz ist elementar und findet sich dementsprechend in jedem Lehrbuch der linearen Algebra. Die Standardbasis ist auch elementar und überall zu finden :P --WissensDürster 20:52, 16. Jul. 2009 (CEST)

Basisvektor

Den Satz

"Unter einem Basisvektor versteht man die partielle Ableitung des Ortsvektors nach einer der Koordinaten des jeweiligen Koordinatensystems."

hab ich aus dem Artikel entfernt, weil ich bezweifle, dass ein beliebiger Vektorraum partielle Ableitungen zulässt. --SirJective 16:46, 1. Mär 2005 (CET)

Der Satz ist extrem schlecht formuliert und hat in diesem Artikel nichts verloren. Gemeint ist vermutlich: "Die Standardbasisvektoren (bezüglich einer lokalen Karte) des Tangentialraums in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit entsprechen den partiellen Ableitungen nach den Koordinaten dieser Karte." Oder so.--Gunther 17:16, 1. Mär 2005 (CET)

Gleiche Richtung

Ein zwischenzeitlich angebrachter Smiley bei der Formulierung "zwei Vektoren, die nicht dieselbe (bzw. entgegengesetzte) Richtung haben" war nicht ganz unberechtigt. Ich hatte mir fuer diesen Umstand mal "die nicht dieselbe Gerade erzeugen" zurechtlegt, das ist zwar korrekt, aber ist das auch verständlich?--Gunther 19:54, 1. Mär 2005 (CET)

Für die Anschaulichkeit reicht es doch, dass die Vektoren "nicht auf derselben Geraden liegen", oder? --SirJective 20:24, 1. Mär 2005 (CET)

Naja, die Endpunkte der Vektoren liegen doch immer auf einer Geraden?! ;-) "Ursprungsgeraden"?--Gunther 21:17, 1. Mär 2005 (CET)

Wir haben aber vier Endpunkte an bis zu drei Orten :-p Und wenn die alle vier auf einer Geraden liegen... Das Bild legt aber die Interpretation eines Vektors als Pfeil nahe, und dann dürfen die "kompletten Pfeile" nicht auf einer Geraden liegen. Aber verständliche Formulierungen waren noch nie meine Stärke *g* --SirJective 11:27, 2. Mär 2005 (CET)

Tschuldigung, wenn ich mich quasi als Laie einmische: Wie wärs denn damit, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ungleich Null sein muss? --Philipendula 10:23, 3. Mär 2005 (CET)

Gemeint ist aber: ungleich Null und ungleich 180 Grad, und das klingt wieder etwas umständlich.--Gunther 11:26, 3. Mär 2005 (CET)

Ich kann manchmal stur sein ;): Man könnte sagen, dass die Vektoren nicht parallel sein sollen. Oder dass der Kosinus des Winkels < |1| sein muss. Der Kosinus entspricht statistisch nämlich dem Korrelationskoeffizienten, der bei Kollinearität exakt 1 bzw. -1 ist. Das ist aber wieder nicht anschaulich. --Philipendula 20:10, 3. Mär 2005 (CET)

Da stimme ich Dir zu *g*. "Parallel oder antiparallel"? (Du glaubst gar nicht, wie stur ich sein kann...)--Gunther 23:15, 3. Mär 2005 (CET)

Also antiparallel finde ich übertrieben. Aber ok. Ich kapituliere hiermit. --Philipendula 00:53, 4. Mär 2005 (CET)

Existenzbeweis einer Basis

Der heute eingefügte Existenzbeweis sieht mir im Vergleich zum Rest des Artikels entschieden zu lang aus. Sollten wir ihn auslagern, ins Mathebuch verschieben oder auf die Beweisidee zusammenstreichen? --SirJective 23:28, 5. Mär 2005 (CET)

Zum Stil: Ich lese höchst ungern Quantoren, und ein paar erklärende Sätze, was denn passieren wird und gerade passiert ist, wären schön. Zum Inhalt: Basisergänzung einer leeren linear unabhängigen Teilmenge fand ich schon immer verwirrend. Lemma von Zorn ist für den Anfänger auch ziemlich nebulös. Einfacher und naheliegender finde ich den Beweis über das Wohlordnungsprinzip (füge immer den kleinsten Vektor, der nicht im bisherigen Spann liegt, zur "Basis" hinzu).--Gunther 15:15, 13. Mär 2005 (CET)

Auf die Beweisidee zusammenstreichen. Und wenn wir ihn auslagern, dann sollte er gekürzt werden. -- Wuzel 21:16, 9. Apr 2005 (CEST)
Ist jetzt gestrichen. -- Wuzel 00:12, 10. Apr 2005 (CEST)

Ich wollte schon schreiben:

Die Beweisidee besteht aus den beiden folgenden Schritten:

• (A) Man zeigt, dass es keinen echten Unterraum gibt, der maximal bezüglich der Eigenschaft ist, eine Basis zu besitzen. Hat also ein Unterraum $U$ eine Basis $B$, und ist $U$ nicht bereits der ganze Vektorraum $V$, so gibt es einen größeren Unterraum $U'\subseteq V$, der auch eine Basis hat, und man kann sogar erreichen, dass $B\subseteq B'$ gilt.
• (B) Ist $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq U_{3}\subseteq \ldots \subseteq V$ eine aufsteigende Folge von Unterräumen mit Basen $B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B_{3}\subseteq \ldots$, so ist die Vereinigung $U$ aller $U_{i}$ ein Unterraum, und die Vereinigung $B$ aller $B_{i}$ ist eine Basis von $U$.

Man kann also beginnend mit dem Unterraum $\{0\}$ und der Basis $\varnothing$ wiederholt mithilfe von (A) immer größere Unterräume mit Basen konstruieren, dann mit (B) zu ihrer Vereinigung übergehen, wieder mit (A) vergrößern usw. Der Inhalt des Lemma von Zorn ist nun gerade, dass man auf diese Weise schließlich eine Basis von $V$ erhält.

Das ist zwar völlig korrekt, muss aber wohl als gezielte Irreführung bezeichnet werden...-- Gunther 21:59, 9. Apr 2005 (CEST)

Hm, die neue Beweisskizze zeigt zwar, dass es maximale linear unabhängige Teilmengen gibt, aber ich würde mir von diesem Satz auch die Aussage erhoffen, dass sie Erzeugendensysteme sind.-- Gunther 23:11, 9. Apr 2005 (CEST)

Ok, erledigt. Aber eines Tages werfe ich (oder wer anderer) den Beweis vielleicht wieder raus... -- Wuzel 00:10, 10. Apr 2005 (CEST)

Ich bin etwas verwundert über die Schlussreihenfolge, ich finde (1) und (4) schon fast synonym. Aber ich muss sagen, dass das so viel klarer ist, als wenn man die Äquivalenz und die Existenz in einem Beweis zeigt.-- Gunther 00:39, 10. Apr 2005 (CEST)

Wäre es nicht sinnvoll darauf hinzuweisen dass sowohl das Lemma von Zorn wie auch der Basissatz äquivalent zum Auswahlaxiom sind? D.h. man kann genau so gut als Axiom annehmen dass der Basissatz gilt und daraus das Lemma von Zorn und das Auswahlaxiom folgern. --Roll.christian (Diskussion) 08:19, 5. Dez. 2019 (CET)

Die Aussage steht im Artikel Auswahlaxiom. Dort ist das meiner Meinung nach sinnvoll, hier aber nicht. --Digamma (Diskussion) 19:02, 5. Dez. 2019 (CET)

Der lange Existenzbeweis

(Den folgenden Beweis habe ich durch eine kürzere Beweisskizze ersetzt. -- Wuzel 22:50, 9. Apr 2005 (CEST))

Dieser wichtige Satz der Algebra ist mit Hilfe des Lemmas von Zorn zu beweisen.

Wir formulieren den Satz zunächst so:

"Sei V ein beliebiger Vektorraum über dem Körper K, T eine linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis B von V, so dass T in B enthalten ist. Insbesondere hat jeder Vektorraum eine Basis."

Beweis

Die letzte Aussage folgt sofort aus der ersten, indem man $T=\varnothing$ setzt.

Sei nun $T\subseteq V$ lin. unabh.

Setze $P:=\left\{X\mid T\subseteq X\subseteq V{\mbox{ und X lin. unabh.}}\right\}$

$\Rightarrow (P,\subseteq )$ ist teilweise geordnet.

Anwendung des Lemmas von Zorn:

---

$P\not =\varnothing$, da $T\in P$.

Sei A eine Kette in $(P,\subseteq )$, d.h. $\forall X,Y\in A:X\subseteq Y\lor Y\subseteq X$.

Setze $X:=\bigcup _{Y\in A}^{}Y$, wir zeigen: $X\in P$.

Es ist $X\in V$ wegen $\forall Y\in A:Y\in P\Rightarrow Y\subseteq V$ und

$T\in X$ wegen $Y\in A\Rightarrow T\subseteq Y\subseteq X$.

---

Zeige nun: X ist linear unabhängig.

Sei $n\in \mathbb {N}$ und $v_{1},...,v_{n}\in X$ paarweise verschieden.

$\forall i\in \left\{1,...,n\right\}:v_{i}\in X\Rightarrow \exists Y_{i}\in A:v_{i}\in Y_{i}$.

$\Rightarrow Y_{1}...Y_{n}\in A$.

$(A,\subseteq ){\mbox{ ist Kette}}\Rightarrow \forall i,j\in \left\{1,...,n\right\}:Y_{i}\subseteq Y_{j}\lor Y_{j}\subseteq Y_{i}$.

n fest $\Rightarrow \exists k\in \left\{1,...,n\right\}\forall i\in \left\{1,...,n\right\}:Y_{i}\subseteq Y_{k}$.

$\forall i\in \left\{1,...,n\right\}:v_{i}\in Y_{k}$, also $\left\{v_{1},...,v_{n}\right\}\subseteq Y_{k}$,

und da $Y_{k}\in A\subseteq P$ ist also ${Y_{k}}$ lin. unabh.

$\Rightarrow \left\{v_{1},...,v_{n}\right\}$ lin. unabh. (Vererbung)

---

Also $X\in P$. Zeige jetzt: X ist obere Schranke von A in $(P,\subseteq )$.

Sei $Y\in A$ beliebig, es folgt nach der Definition von X:

$Y\subseteq X$.

Nach dem Lemma von Zorn enthält $(P,\subseteq )$ ein maximales Element B.

$B\in P\Rightarrow T\subseteq B\subseteq V$ und B ist lin. unabh.

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Zeige nun: B ist Basis von V. Es reicht zu zeigen, dass B eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V ist.

Sei also $B\subseteq B'\subseteq V$ und B' linear unabh. z.z.: B = B'.

$T\subseteq B\Rightarrow T\subseteq B'\subseteq V\Rightarrow B'\in P$ mit $B\subseteq B'$.

Aber B ist maximales Element von $(P,\subseteq )$

$\Rightarrow B=B'$.== Existenzbeweis ==

$\square$

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Orientierung

Wie kann ich am besten Orientierung (Mathematik) verlinken? (nicht das dieser Artikel Orientierung erschöpfend behandelt. Nur genug um Orientierung auf Mannigfaltigkeiten einzuführen) --Ibotty 21:48, 15. Mai 2005 (CEST)

Basis(Vektorraum) oder Basis(Modul)?

Hallo, >>>>Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen. Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis. Eine minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.<<< stimmt zwar alles. Aber muss dies in einem Artikel ueber Vektorraeume stehen bzw. kann/sollte man dies nicht auslagern?

Das habe ich mich auch schon gefragt, und ich bin mir nicht sicher, ob die derzeitige Lösung die richtige ist. Allerdings handelt es sich ja um denselben Begriff: Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Man könnte genausogut die allgemeine Definition an den Anfang stellen und bemerken, dass Basen im Fall von Vektorräumen ein paar nette Zusatzeigenschaften haben. Aus meiner Sicht ist das Lemma und die Reihenfolge ein Entgegenkommen für diejenigen, die nur den Fall von Vektorräumen brauchen.--Gunther 15:14, 14. Jun 2005 (CEST)

Ich würde den Titel beibehalten, und eher einen Teil der Informationen über Basen von Moduln nach Freier Modul verschieben.

Im Satz "Ein Modul besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist." ist der Link auf den eigentlichen Hauptartikel zu dem Thema ziemlich gut versteckt. ;) --SirJective 09:47, 15. Jun 2005 (CEST)

Bloß weil ein Modul frei ist, muss man sich noch lange nicht für Basen interessieren...--Gunther 09:56, 15. Jun 2005 (CEST)

Eigentlich wollte ich es hier herausaben, um (a) Verwirrungen zu vermeiden. In Vektorraeumen gelten diese Saetze und (b) denjenigen, die die Basis der allgemeineren algebraische Struktur(Modul) suchen, auch eine Chance zu geben, diese zu finden. Insofern waeren mir hier eigene Eintraege eigentlich wesentlich lieber. Um mit Gunther zu sprechen: Blos weil man sich fuer Basen von Moduln interessiert, muss man sich noch lange nicht fuer Basen von Vektorraeumen interessieren.

Habe den Abschnitt nach Basis (Modul) ausgegliedert und den relevanten Teil oben nochmal eingefügt. Vielleicht mag ja jemand noch was dazu schreiben von wegen linear unabhängige Spalten einer Matrix oder so...--Gunther 12:19, 16. Jun 2005 (CEST)

Andere Koordinatensysteme

Hallo, es gibt ja auch Basisvektoren in unterschiedlichen Koordinatensystemen. Wie ist die Transformation davon ineinander? Insb. polar, zylinder und Kugelkoordinaten. --DB1BMN 18:15, 31. Okt 2005 (CET)

Ich habe in den ersten Satz des Artikels einen Verweis auf das Lemma Koordinate eingefügt. Im Falle der "krummlinigen" Koordinaten, die du nennst, gibt es - in dem hier beschriebenen Sinn - keine Basis.

Einen Verweis auf Basistransformationen werde ich noch einarbeiten. --KleinKlio 23:33, 21. Sep 2006 (CEST)

Habe gerade einen Verweis auf Basistransformation in den Eingangstext (letzter Satz) eingearbeitet. --KleinKlio 03:08, 22. Sep 2006 (CEST)

Ausführlicher Beweis des Austauschlemmas

Ich glaube dem interessierten und ambitionierten Leser kann durchaus einmal der vollständige Beweis eines Satzes vorgelegt werden. Dies möchte ich folgendermaßen begründen:

1. Man kommt den besonders interessierten Lesern entgegen oder steigert sogar ihr Interesse.

2. Der Leser kann so zumindestens ein wenig an die mathematische Denkweise herangeführt werden.

3. Hat der Leser den Beweis nachvollzogen (das kann gewiss dauern und Geduld erfolgen), hat er mit Sicherheit mehr gelernt, als wenn er bloß einen Artikel liest: Der Leser muss geistig besonders aktiv werden, will er den Beweis verstehen.

4. Es kann selbst für den mathematischen Laien interessant sein, wie ein derartiger ausführlicher Beweis eines Satzes aussieht.

5. Dieser Satz und der Beweis ist nicht trivial, aber im Beweis auch nicht übermäßig schwer zu verstehen.

Ferner bin ich der Meinung, dass man das Korrolar(3) nicht streichen sollte. Zugegeben: Es ist sehr abstrakt. Doch die Auflistung einiger Folgerungen kann dem Leser einen Eindruck davon vermitteln, wie die Mathematik aus bestimmten Sätzen weitreichende Schlussfolgerungen ziehen kann.

Ich freue mich über Rückmeldungen. (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 84.165.94.105 (Diskussion • Beiträge) 00:54, 25. Jan 2006)

Generell sind längere Beweise hier eher unerwünscht, lediglich eine Skizze der wesentlichen Idee. Wir wollen kein Lehrbuch sein, sondern hier z.B. erklären, was eine Basis ist. Schon der Beweis der Äquivalenz der Charakterisierungen sollte eigentlich mal in das b:Beweisarchiv des Projektes Wikibooks auslagert werden.

Irgendwelche Folgerungen sollten nur genannt werden, wenn ihre eigenständige Bedeutung oder ihre Anwendbarkeit nachvollziehbar ist, das ist bei Korollar 3 definitiv nicht gegeben.--Gunther 01:19, 25. Jan 2006 (CET)

Auerbachbasis

Wie gehört diese Basis hier herein?--Jkü 08:33, 15. Aug 2006 (CEST)

Ich habe gerade im letzten Abschnitt einen Verweis auf Auerbachbasis eingearbeitet. Dieser Verweis beruht nur auf dem, was im Lemma Auerbachbasis steht. Habe diesen Artikel nur auf Konsistenz geprüft, da ich selber die Bezeichnung nicht kenne. --KleinKlio 20:25, 21. Sep 2006 (CEST)

Danke.--Jkü 20:34, 21. Sep 2006 (CEST)

Kennt jemand eine Quelle, in der der Begriff Auerbachbasis vorkommt? (Ich will hier nicht mit einer Quellendiskussion nerven, es geht mir nur darum, dass ich selbst hier mit dem Artikel verlinkt habe, ohne je von dem Wort gehört zu haben, siehe oben. Mein Bronstein hat ihn nicht im Register.) Ich poste in Diskussion:Auerbachbasis einen Verweis auf diese disku hier.--KleinKlio 14:14, 3. Okt 2006 (CEST)

http://www.iam.unibe.ch/~halbeis/publications/pdf/metal.pdf --Pjacobi 19:46, 3. Okt 2006 (CEST)

Danke, Pjacobi. Das ist tatsächlich eine Quelle, in der Auerbachbasis definiert ist. Auch vom Mathematiker Herman Auerbach sind dort biographische Daten zu finden. Ich werde noch untersuchen, inwiefern die Definiton von Auerbachbasis in dem Paper, die (auf den ersten Blick) deutlich anders lautet, mit der aktuellen Definition in Auerbachbasis zu tun hat. Aus meiner Sicht ist die Diskussion damit einstweilen erledigt. --KleinKlio 21:51, 3. Okt 2006 (CEST)

Noch ein kleiner Zusatz: Auch Bücher erwähnen die Auerbachbasis, zum Beispiel Dirk Werner: Funktionalanalyis, der die Existenz einer solchen als Satz im Kapitel II.2 über (topologische) Dualräume formuliert. Ich werde das als Literatur im Lemma einfügen. --R. Möws 00:04, 4. Okt 2006 (CEST)

Änderungen am Abschnitt /*Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen*/

Habe versucht, die Abgrenzung der Basisbegriffe in Innenprodukträumen deutlicher zu machen. Der (funktionalanalytische) Basisbegriff ist nicht auf Hilberträume beschränkt. Bessere Ideen zu Gliederung sind willkommen! Quelle (für die Begrifflichkeiten): Bronstein-Semendjajew: "Taschenbuch der Mthematik" S. 146 und Erweiterungsband, S. E6, E15. --KleinKlio 09:18, 18. Sep 2006 (CEST)

Eine Frage dazu: Ist der Begriff "Innenproduktraum" allgemein gebräuchlich? Der Link dazu wird weitergeleitet auf "Prähilbertraum". Wäre es nicht verständlicher (und auch nicht länger), statt "reeller oder komplexer Innenproduktraum" "euklidischer oder unitärer Vektorraum" zu schreiben? Oder heißen nur die endlichdimensionalen "euklidisch"?

Habe die Überschrift dieses Diskussionspunktes verändert, da der entsprechende Abschnitt nicht (mehr) der letzte ist.

/*Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen*/ um den es geht befasst sich nach wie vor mit der Abgrenzung verschiedener Basisbegriffe. --KleinKlio 14:02, 3. Okt 2006 (CEST)

Die Panne mit der Auerbachbasis geht auf hartnäckige Netzhänger bei mir zurück. In der Form, wie er jetzt dasteht, ist der Verweis für mich gut nachvollziehbar. Rückfrage: Brauchts die Abgrenzung von topologischer BAsis nicht? Soll mir recht sein, wie an anderem Ort gesagt, ist der Artikel hier allmählich recht LANG. Ich mach jetzt erstmal Wikipause, bis ich wieder ohne Synchro-Probleme editieren kann. --KleinKlio 21:56, 5. Okt 2006 (CEST)

Basen von Topologien gehören nicht zum Artikelthema, topologische Basen im Sinne von Erzeugendensystemen dichter Unterräume (evtl. mit Zusatzeigenschaften) dagegen schon. Vgl. [1], ich habe keinen Überblick über die entsprechenden Begriffsvarianten.--Gunther 22:13, 5. Okt 2006 (CEST)

Auslagerung langer Beweise in die Wikibooks

Ich habe in

Wikibooks: Lineare Algebra: Allgemeine Vektorräume: Basis und Dimension – Lern- und Lehrmaterialien

einiges aus diesem Artikel ausgelagert. Ich schlage vor, auf längere Beweise wie den „Beweis der Äquivalenz der Definitionen“ und „Existenz (Skizze)“ in diesem Artikel hier zu verzichten und stattdessen den genannten Artikel in den wikibooks zu pflegen.

Dort hätte auch der „lange Existenzbeweis“, den wuzel jetzt auf diese Diskussionsseite gesetzt hat, eine angemessene Heimat. @wuzel: Magst Du den langen Beweis nochmal für die Wikibooks aufbereiten? @all: Was meint Ihr zu meinem Vorschlag?--KleinKlio 15:07, 24. Okt. 2006 (CEST)

Ich würde eher b:Beweisarchiv vorschlagen (bitte aber vorher die Diskussion zur Umstrukturierung beachten), die "großen" Bücher funktionieren eher nicht (Ausnahme natürlich Philipendula).--Gunther 11:28, 30. Okt. 2006 (CET)

@Gunther:Was meinst Du mit der „Diskussion zur Umstrukturierung“? Meinst Du den b:Diskussion:Beweisarchiv#Hinweis an Autoren? Konnte auf der Diskussionsseite b:Diskussion:Beweisarchiv sonst nichts finden. Im übrigen bin ich der Meinung und Hoffnung (@all), dass sich auch noch andere Mitautoren zu dem Thema äußern könnten! Sonst werde ich (Drohung:) mutig sein!--KleinKlio 18:05, 1. Nov. 2006 (CET)

b:Diskussion:Beweisarchiv#Namenskonventionen --Gunther 12:50, 2. Nov. 2006 (CET)

Basis bei unendlich-dimensionalen Vektorräumen

Nach der aktuellen Definition im Artikel hat ein unendlich-dimensionaler Vektorraum keine Basis, denn da steht z.B. "B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V". Der Begriff der linearen Unabhängigkeit, der wiederum den Begriff der Linearkombination benutzt, ist aber nur für endliche Mengen von Vektoren definiert ist. (Man kann das Problem wohl kaum mit unendlichen Summen umgehen, oder?)

Im Artikel wird jedenfalls unter den Beispielen zum unendlich-dimensionalen Vektorraum der Polynome eine Basis angegeben. Also ist entweder die Definition nicht vollständig, das Beispiel nicht geeignet oder der Artikel lineare Unabhängigkeit ist nicht vollständig.

Wäre es nicht besser zu schreiben "B ist ein Erzeugendensystem von V und jede endliche Teilmenge von B ist linear unabhängig"?

Haber weder im Bronstein (Basis gibt es hier nur bei endlichen Räumen) noch bei R. Walter - LA ("Der Basisbegriff kann auch für nicht endlich dimensionale Vektorräume eingeführt werden. Da hierzu weitergehende Hilfsmittel der transfiniten Mengenlehre erforderlich sind, soll dies hier unterbleiben.") Hilfe gefunden. --Skoepp 22:55, 22. Jan. 2007 (CET)

Lies lineare Unabhängigkeit nochmal genauer durch! Sehr wohl dürfen auch unendliche Mengen von Vektoren linear unabhängig sein.--JFKCom 20:07, 23. Jan. 2007 (CET)

Müsste dann in lineare Unabhängigkeit nicht $v_{1},v_{2},\ldots$ statt $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ stehen? Das n deutet für mich darauf hin, dass es n Stück seihen sollen und wenn nichts weiter erläutert ist, geht man ja wohl von $n\in \mathbb {N}$ aus, oder? Außerdem könnte dann die Summe über die $a_{i}v_{i}$ unendlich viele Summanden enthalten, was aber nach dem allerersten Beitrag auf dieser Seite nicht sein darf. Wobei ich nicht behaupten will, dass man die Definition von linear unabhängig nicht modifizieren kann. Ich habe halt in den beiden ollen Büchern, die ich gerade da hab nichts passendes gefunden. Vielleicht komme ich aber am Freitag dazu mal in ein paar andere Bücher zu schauen. --Skoepp 12:19, 24. Jan. 2007 (CET)

Vielleicht verwirrt dich, dass die Definition in lineare Unabhängigkeit mittlerweile durch Verschlimmbesserung wieder halbwegs vergurkst wurde. Halte Dich an die Intro von lineare Unabhängigkeit, die ist noch präzise. Oder hier noch einmal etwas ausführlicher: Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge derselben linear unabhängig ist. Obwohl man in einer unendlichen Vektoren-Menge ja auch unendliche Summen von Vielfachen betrachten könnte, ist eine Linearkombination per definitionem immer eine endliche Summe.--JFKCom 18:55, 24. Jan. 2007 (CET)

Mit der neuen Definition von linearer Unabhängigkeit ist das Problem gelöst. Danke. --Skoepp 13:29, 25. Jan. 2007 (CET)

Verständlichkeit des Artikels

Ich finde man sollte den Begriff Basis anhand von Beispielen mit Linearkombinationen und einer grafischen Darstellung erklären. Dabei sollte man aufbauend auf einem kartesischen Koordinatensystem die kanonische Einheitsbasis erklären und damit eine einfache Basis (zB. 1, x, x²) erklären um schließlich kompliziertere Basen zu erläutern.

So wie der Artikel jetzt aufgebaut ist versteht in jedenfalls nur jemand der zumindest zwei Semester Mathematik studiert hat. Ich finde daran sollte man arbeiten.

MovGP0 13:35, 23. Mär. 2007 (CET)

Ich persönlich denke die Redundanz zu den Beispielen ist vertretbar, da das Beispiel dort recht schwer verständlich ist. Allerdings sollte nach Portal:Mathematik/Projekt#Schreibstil dein Beispiel auch unter Beispiele eingeordnet werden. Nochwas: auch in der Schule hat man einen Punkt nicht direkt als Vektor definiert sondern ${\vec {OP}}={\vec {p}}$ wobei O der Nullpunkt ist. Wenn dein Bsp. auch für Schüler veständlich sein soll, dann musst auch erklären was $B={\mathcal {L}}({\vec {x}},{\vec {y}})$ genau Bedeutet. Aus der Schule kenn ich sowas nicht und in der Vorlesung haben wir ${\mathcal {B}}=\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$ geschrieben wobei $V=\langle {\mathcal {B}}\rangle$ gilt. Um dir hier solche Problem wie in Lineare Gleichungssystem zu ersparen solltest du dir überlegen für wen du schreibst, wenn du dich an Schüler richtest solltest du so ausführlich und leicht verständlich wie möglich arbeiten. Wenn du dich an Studenten richtest solltest du etwas genauer arbeiten und dir auch einige Änderungen gefallen lassen... :) Gruß Azrael. 14:41, 15. Apr. 2007 (CEST)

Eigentlich dachte ich an das Niveau der Maturanten - aber man muss wohl noch nachbessern; für Verbesserungsvorschläge bin ich natürlich dankbar. Den Ausdruck mit dem Schreibschrift-L hab ich übrigens aus der Vorlesung übernommen und steht für "Linearkombination". — MovGP0 17:34, 15. Apr. 2007 (CEST)

Das steht i.A. für "alle Linearkombinationen" und daher ist L(x,y) auch nicht die Basis sondern ganz R^2 --Mathemaduenn 09:48, 16. Apr. 2007 (CEST)

Somit sollte ich wohl besser

$B=\left\{{\vec {x}},{\vec {y}}\right\}$

$P\in V={\mathcal {L}}\left\{{\vec {x}},{\vec {y}}\right\}$

schreiben. Werde das korrigieren wennn ich Zeit dazu finde (der Rechner auf dem ich jetzt sitze ist zu langsam dafür). — MovGP0 19:55, 16. Apr. 2007 (CEST)

Beweis der Äquivalenz der Definitionen

Ich habe ein Problem mit dem letzten Beweis: Man geht von einer lin. unabhg. Menge B aus. Sei dann b* Element dieser Menge B. Im Beweis steht nun, dass sich b* also als Linearkombi. aus den Elementen von B schreiben lässt... Bitte??? Versteh ich den Beweis falsch oder steht dort absoluter Blödsinn?

Du verstehst es falsch. Wenn b* in B={b_1, ...,b_n} ist, dann ist b* offensichtlich als Linearkombination von Elementen aus B darstellbar. --P. Birken 11:12, 14. Aug. 2007 (CEST)

Der letzte Teil des Äquivalenzbeweises, also (3) → (1), ist aus meiner Sicht ein wenig halbherzig/lieblos ausgefallen. Es fehlt der Nachweis der eindeutigen Darstellung jedes Vektors als Linearkombination von Vektoren aus $B$, was ja aus der linearen Unabhängigkeit von $B$ folgt. Der Vollständigkeit wegen sollte das in der Beweisskizze auch erwähnt werden. Selbst wenn dies für geübte Mathematiker selbstverständlich erscheint, muss das nicht für alle Leser gelten. --Gzim75 (Diskussion) 15:03, 10. Dez. 2015 (CET)

Frage

In dem Abschnitt "Wichtige Eigenschaften" sind die Vektoren $e_{i}$ nicht definiert. Wer kann das berichtigen? --Hanfried.lenz 10:47, 1. Okt. 2007 (CEST).

Mächtigkeit von Basen unendlichdimensionaler Vektorräume

In diesem Artikel wird von der Dimension eines Vektorraums behauptet, die ja üblicherweise durch die Anzahl der Elemente eine minimalen Erzeugendensystems definiert, dass sie unabhängig von der Wahl des Erzeugendensystems immer den gleichen Wert hat. Nun macht dies ja für unendlichdimensionale Vektorräume wenig Sinn. Aber das ist nur eine kleine Anmerkung von mir. Meine eigentliche Frage bzw. mein Problem, dass mich etwas verwirrt, ist folgendes: Anscheinend müssen die verschiedene Basen von ein und demselben unendlichdimensionalen Vektorraum nicht einmal die gleiche Mächtigkeit haben. Ich denke da an den Vektorraum der quadratintegrabeln Funktionen. Für diesen kann man eine abzählbare Basis finden. Andererseits lässt sich aber nach dem Fouriertheorem auch jede quadratintgrable Funktion durch ein Fourierintegral darstellen, also nach der überabzählbaren Menge der Funktionen exp(ikx) (k Integrationsvariable), wobei dann die Fouriertransformierte die Rolle der Entwicklungskoeffizienten spielt. Die einzige, für mich aber nicht ganz befriedigende Lösung für diese Ungereimtheit ist, dass eine Basis per Definition abzählbar ist (es wird ja üblicherweise die Summenschreibweise in der Definition des Erzeugendensystem verwendet) und somit die Darstellung einer beliebigen quadratintegrablen Funktion durch ein Fourierintegral gar nicht einer Entwicklung nach Basisfunktionen entspricht (was bedeuten würde, dass ein Integral keine Linearkombination ist). Wo ich jetzt mal etwas genauer darüber nachdenke, wird es wohl auch so sein. Allerdings wird in der Physik auch ein solches überabzählbares System von Funktionen ebenfalls Basis genannt bzw. "uneigentliche oder kontinuierliche Basis". Und die sehr enge Analogie zu gewöhnlichen Basen ist ja auch nicht von der Hand zu weisen. In diesem Fall würde mich dann interessieren, ob man tatsächlich beweisen kann, dass zwei verschiedene Basen zu einem Vektorraum immer die selbe Mächtigkeit haben. Ich danke schon einmal für die Antworten.

Der Artikel ist in dieser Hinsicht höchst unvollständig. Es gibt auch unendliche Basen, wobei Basen überabzählbarer Mächtigkeit für alle praktischen Gesichtspunkte die ich mir so vorstellen kann, unnütz sind, abzählbare Basen kommen aber häufig vor. Siehe dazu auch Orthonormalbasis und als Beispiel Fouriertransformation. Viele Grüße --P. Birken 19:16, 25. Okt. 2007 (CEST)

Die "Basen", die bei Fouriertransformationen vorkommen, sind keine Basen des Vektorraum im Sinne der linearen Algebra (Hamel-Basen), sondern in diesem Sinn nur Basen eines dichten Unterraums. Eine Basis im Sinne der linearen Algebra ist im Fall der Funktionenräume in der Regel (oder immer?) überabzählbar. Aber es ist natürlich richtig, dass diese Basen (die man in der Regel auch gar nicht kennt, sondern um deren Existenz man nur aufgrund des Basisexistenzsatzes weiß) keine praktische Bedeutung haben (so ähnlich wie die Basen des $\mathbb {Q}$-Vektorraums $\mathbb {R}$).

Zur ursprünglichen Frage: In der Definition eine Erzeugendensystems kommen nur endliche Summen vor. Die endlich vielen Summanden in dieser Summe können aber durchaus einer überabzählbaren Menge entnommen sein. Abzählbare Mengen machen in dieser Hinsicht keinen Unterschied. Nicht nur ist das Integral keine Linearkombination, auch Fourierreihen sind keine Linearkombinationen.

jeder Vektorraum hat eine Basis?

Im Artikel zum Auswahlaxiom steht, dass das Auswahlaxiom äquivalent ist zu der Annahme, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Da man nun aber auch genauso gut annehmen kann, dass das Auswahlaxiom falsch ist, sollte man doch hier besser auch korrekt schreiben, dass jeder Vektorraum eine Basis hat gdw das Auswahlaxiom als wahr angenommen wird...Blaaaablub 14:39, 10. Dez. 2008 (CET)

Steht doch im Artikel. Da das Auswahlaxiom üblicherweise als wahr angenommen wird, reicht es aus, dies im Abschnitt "Existenzbeweis" zu schreiben. --Sabata (D|WZ) 14:54, 10. Dez. 2008 (CET)

Begriff Hamelbasis

Wie [2] belegt, versteht man unter einer Hamel-Basis eine Basis von $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$. Als Bezeichnung für eine Basis etwa eines endlich dimensionalen VR ist mir der Begriff nicht geläufig. Im Index meines "Bronstein-Semendjajew" kommt er auch nicht vor. Grüsse --Boobarkee 17:04, 10. Aug. 2009 (CEST)

Das ist völlig falsch, und die von dir zitierte Website behauptet das in keiner Weise.

Eine Hamel-Basis eines Vektorraums ist eine Menge, bezüglich derer jeder Vektor sich eindeutig als endliche Linearkombination aus Vektoren dieser Menge darstellen lässt. Auf der von dir zitierten Website steht die Definition der Hamelbasis des $\mathbb {Q}$-Vektorraums $\mathbb {R}$, also nur die Anwendung der Definition auf einen konkreten Vektorraum.

Da alle Basis-Begriffe in endlichdimensionalen Vektorräumen zusammenfallen, unterscheidet man diese Begriffe in diesem Fall nicht. Wenn man aber in unendlichdimensionalen Vektorräumen operiert, ist das Unterscheiden der Basen überlebensnotwendig. Der Analytiker wird gerne auf Schauder-Basen (falls vorhanden) zurückgreifen, der Algebraiker eher auch Hamel-Basen (diese sind immer vorhanden).

Bronstein-Semendjajew ist kein ausschließendes Kriterium; nur weil in einem Ingenieurs-Nachschlagewerk ein mathematischer Begriff nicht steht, heißt das nicht, dass der Begriff nicht erwähnenswert ist. Große Teile der Mathematik sind darin nicht verteten. --Tolentino 22:11, 25. Mär. 2010 (CET)

Absatz "Definition und grundlegende Begriffe"

Ich lerne gerade mit Eurer Seite, dabei fiel mir bei den Definitionen der Satzteil "Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor $x=(x_{i})_{i\in B}$" auf.

$x=(x_{b_{i}})_{{b_{i}}\in B}$ hätte ich noch verstanden, aber i selbst als Element der Basis zu bezeichnen finde ich entweder seltsam oder uneinheitlich in der Bezeichnung... --178.7.228.30 15:37, 8. Apr. 2013 (CEST)

Der Artikel ist hier tatsächlich nicht konsistent. Wenn man diese Stelle einfach zu $x=(x_{i})_{i\in I}$ ändert, was im Zusammenhang mit dem Text darüber, wo die Elemente der Basis mit einer Indexmenge $I$ indiziert sind, sinnvoll ist, dann passt das allerdings nicht mehr zum Text danach, wo vom Koordinatenraum $K^{B}$ die Rede ist, statt von $K^{I}$. --Digamma (Diskussion) 19:05, 8. Apr. 2013 (CEST)

"eine Basis [ist] eine Teilmenge"

Wenn eine Basis eine (Teil-)menge wäre, dann wäre doch wie bei jeder Menge die Reihenfolge der Elemente egal, sprich die Reihenfolge der Basisvektoren. Da aber dies nicht der Fall ist (für die die mir nicht glauben vertausche einfach mal x und y Achse und schaue nach ob sich die Parabel verdreht hat) kann eine Basis keine Teilmenge sein. Was es ist habe ich keine Ahnung, es ist aber keine Menge. Vielleicht ist es ja eine Tupel oder sowas? In jedem fall ist das Zitat aber falsch. Atarust (Diskussion) 16:48, 11. Apr. 2014 (CEST)

Das, was du meinst, heißt im Artikel "geordnete Basis" und wird zwei Absätze weiter unten definiert. --Digamma (Diskussion) 19:19, 11. Apr. 2014 (CEST)

Die verdrehte Parabel ist immer noch kongruent zur alten und damit im hier gemeinten Sinn (bis auf Isomorphie^^) dasselbe.--131.159.0.47 16:37, 25. Mär. 2015 (CET)