Diskussion:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Name

Sollte man Bunjakowski nicht in den Namen des Artikels nehmen? In welcher Reihenfolge weiß ich zwar nicht, aber immerhin ist die Ungleichung ja erstmals von ihm formuliert worden. Stern !? 22:19, 4. Mai 2005 (CEST)

Die fremdsprachigen Wikipedia-Artikel habe übrigens auch alle den Namen "Cauchy-Schwarz", lediglich der russische heißt "Cauchy-Bunjakowski" (den japanischen habe ich nicht lesen können). Den Russen gegenüber wäre es also eine freundliche Geste, und historisch korrekt ist es auch. Meines Erachtens ist es nicht wirklich notwendig, solange Bunjakowski im Text entsprechend gewürdigt wird; gegen eine Umbennennung sträuben würde ich mich aber auch nicht. Gibt es Präzedenzfälle, wie das in der Wikipedia in ähnlich gelagerten Fällen gehandhabt wird? Welche Variante zählt: die historisch/politisch korrekte oder die allgemein übliche? --NeoUrfahraner 08:51, 6. Mai 2005 (CEST)

PS: ich habe die Frage auch auf Wikipedia_Diskussion:Namenskonventionen gestellt; sie ist wohl auch von grundsätzlichem Interesse. --NeoUrfahraner 09:00, 6. Mai 2005 (CEST)

Die erste Frage lautet: Wonach würdest Du suchen? Ich würde nach Cauchy-Schwarzsche Ungleichung suchen, weil mir der Begriff geläufig ist. Also sollte das Lemma auch so heissen. Man kann zusätzlich noch Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung anlegen und hier auf den Artikel "Cauchy-Schwarzsche Ungleichung" redirecten. Ebenso kann man Cauchy-Bunjakowski-Ungleichung anlegen und redirecten. -- tsor 13:05, 6. Mai 2005 (CEST)

Im Titel des japanischen Artikels steht koshi-suwartsu, wenn ich das richtig lese. Im Text wird auch Bunjakowski (プニャコフスキ, bunyakofusuki) erwähnt. Im (eher kurzen) russischen Artikel scheint Schwarz nicht vorzukommen (aber ich kann das nicht ergänzen).

Ich glaube, es sollte die allgemein übliche (was immer die auch ist) verwendet weren, und ein Redirect von anderen Varianten. -- Österreicher 13:11, 6. Mai 2005 (CEST)

Die Standardbezeichnung für die Ungleichung ist "Cauchy-Schwarz", das hat nichts damit zu tun, wer sie erstmals formuliert hat. Willst Du etwa auch Satz des Pythagoras verschieben?--Gunther 21:51, 8. Mai 2005 (CEST)

Satz des Pythagoras ist ein weniger gutes Beispiel, da der wahre Entdecker nicht namentlich bekannt ist. Regel von L'Hospital wäre wohl ein besseres. Soweit ich sehe, sind wir uns aber einig, dass eine Umbenennung nicht zweckmäßig ist. Die beiden von Tsor vorgeschlagenen Redirects sollten wir aber wohl doch anlegen? --NeoUrfahraner 08:51, 9. Mai 2005 (CEST)

Wenn, dann sollte man ihnen auf jeden Fall entweder ein "-sche" oder einen weiteren Bindestrich spendieren. Google-Hits haben beide Varianten aber anscheinend nicht. Wer soll also davon profitieren?--Gunther 09:50, 9. Mai 2005 (CEST)

So, ich war mal richtig mutig. Ich habe Cauchy-Bunjakowski-Schwarzsche Ungleichung und Cauchy-Bunjakowskische Ungleichung mit redir auf Cauchy-Schwarzsche Ungleichung angelegt. Zumindest hat das den Nutzen, dass unter diesen Lemmata (hoffentlich) niemand mehr einen Artikel anlegt. -- tsor 09:57, 9. Mai 2005 (CEST)

Auch wenn der Artikel schon "uralt" ist und die Fachliteratur vermutlich ebenfalls verschiedene Schreibweisen benutzt, möchte ich darauf hinweisen, dass die Rechtschreibregeln (§§ 49, 62) eindeutig sind: entweder adjektivisch, dann klein und ohne Apostroph, oder substantivisch, dann groß und mit Apostroph. Also ist die Schreibweise der Wikipedia falsch und die bei Wikibooks korrekt. -- Jürgen (Diskussion) 16:17, 22. Nov. 2013 (CET)

Ich hab einen Artikel, wo nur Schwarz als Namensgeber angeführt ist. (nicht signierter Beitrag von 213.142.96.146 (Diskussion) 17:31, 24. Nov. 2022 (CET))

Beweis für den komplexen Fall

Ich habe gerade den Beweis für das komplexe Skalarprodukt geändert. Das Problem war, dass hermitesche Formen im zweiten Argument linear und semi-linear im ersten sind. Der Beweis vertauschte dies gerade und benutzte im ersten Schritt eine nicht vorhandene Semi-Linearität im zweiten Argument. Für lambda muss dann <y,x>/<y,y>=<x,y>^*/<y,y> [^* soll heißen komplex konjugiert] gewählt werden und nicht mehr <x,y>/<y,y>. Man kommt dann auf die Behauptung ||x||-<y,x>^*<y,x>/||y|| >= 0.

Quelle bin ich selbst, ich schreibe das nur als Diskussionskommentar weil ich mir unsicher bin ob (der restliche Text von Alpaca 22:29, 26. Apr. 2007 scheint verloren gegangen zu sein)

Ich denke die Änderungen sind korrekt. --Drizzd 13:00, 27. Apr. 2007 (CEST)

Naja, ich kenne es so, dass die Form im zweiten Argument semi-linear sind. Andererseits verwendet der Wikipedia-Artikel für Skalarprodukte auch nur Semi-Linearität im ersten Argument.

Was ich aber vermisse sind die Voraussetzungen an das Skalarprodukt. Muss es (wie im Beweis benutzt) positiv und symmetrisch sein? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 139.20.52.73 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 12:13, 20. Dez. 2007 (CET))

Zitat: Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist aber simpel. Die Voraussetzungen findest Du im verlinkten Artikel Vektorraum mit innerem Produkt. --NeoUrfahraner 12:19, 20. Dez. 2007 (CET)

Gleichheitsfall

Es fehlt die Diskussion des Gleichheitsfalls. -- Digamma 20:36, 14. Aug. 2010 (CEST)

Ich geb's ja zu: Ich habe es übersehen. -- Digamma 21:47, 14. Aug. 2010 (CEST)

Reeller Fall

Sicher kann man die Betragsstriche weglassen, aber dadurch wird der Satz weniger scharf. Den Nutzen im Rahmen einer Regel sehe ich also nicht. Die Betragsstriche bei Bedarf wegzulassen sollte jeder in der Lage sein, der in die Verlegenheit kommt, mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung umzugehen (d. h. jeder Erstsemester in Mathematik/Physik). (nicht signierter Beitrag von Adalbertus (Diskussion | Beiträge) 12:11, 30. Nov. 2011 (CET))

Der Satz wird in Wirklichkeit nicht weniger scharf. Ist nämlich $\langle x,y\rangle$ negativ, so ist $\langle -x,y\rangle$ positiv und es gilt $|\langle x,y\rangle |=\langle -x,y\rangle$. Aus der scheinbar schwächeren Version der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

$|\langle x,y\rangle |=\langle -x,y\rangle <\|-x\|\,\|y\|=\|x\|\,\|y\|$,

also die scheinbar stärkere Version. --Digamma (Diskussion) 21:24, 4. Sep. 2012 (CEST)

Streng genommen fehlt beim Beweis für den reellen Fall die Überprüfung für den Fall $y=0$, da der Beweis an dieser Stelle prinzipiell für $y\neq 0$ geführt wurde, um die Ergänzung mit dem Faktor $\lambda :={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}$ auszunutzen. Dieser Ansatz ist natürlich auf $y=0$ nicht anwendbar, weshalb ich der Vollständigkeit halber vorschlage, dass zusätzlich noch der Fall für $y=0$ überprüft wird:

Für $y=0$ gilt:

$\langle x,0\rangle =0\cdot \langle x,y\rangle =0$ mit $y\neq 0$ beliebig. Aufgrund der positiven Definitheit der Norm gilt außerdem:

$\|x\|,\|y\|\geq 0$, folglich $\|x\|\|y\|\geq 0$ und daher $\langle x,0\rangle =0\leq \|x\|\|y\|$.

Wegen der Symmetrie des Skalarprodukts lassen sich die Rollen von $x$ und $y$ auch vertauschen. --Owlowiscious 08:47, 18. Dez. 2012 (CET)

Ist x oder y gleich 0, so sind beide Seiten der Ungleichung Null. Für das Skalarprodukt folgt das aus der Bi- bzw. Sesquilinearität, für die Norm aus der positiven Homogenität. Die Ungleichung gilt also offensichtlich. Man kann dazu im Artikel ein oder zwei Worte verlieren, dein Vorschlag ist aber unangemessen lang. --Digamma (Diskussion) 16:48, 18. Dez. 2012 (CET)

PS: Ich sehe gerade, dass das schon im Artikel steht. Direkt unter der Überschrift "Beweis der Ungleichung" steht:

Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt. In folgenden Beweisen wird daher teils ohne besonderen Hinweis $x\neq 0$ und $y\neq 0$ vorausgesetzt.

Mehr braucht es nicht. --Digamma (Diskussion) 16:56, 18. Dez. 2012 (CET)

Ups, das habe ich ganz übersehen. Damit hat sich die Sache erledigt. --Owlowiscious (Diskussion) 17:14, 18. Dez. 2012 (CET)

Beweis Komplexer Fall

Ich denke es ist ein Fehler im Beweis unterlaufen. Das Lambda und das Lamda-Dach sind vertauscht in der zweiten Zeile der Rechnung (bevor Lambda eingesetzt wird).

Es tut mir leid, dass ich keine Formelzeichen nutze, und hier evntuell formale Fehler in der Diskussion mache. Ich habe noch nicht viel bearbeitet und kenne mich kaum aus.

Da es so spät ist und ich öfters mal Denkfehler mache möchte ich keine Änderung im Artikel vornehmen, aber falls noch jemand den Fehler erkennt wäre es wohl sinnvoll das zu ändern =)

viele Grüße keyla --Keyla (Diskussion) 23:44, 6. Mai 2012 (CEST)

Soweit ich das sehe, ist der Beweis korrekt. Beachte, dass vorausgesetzt wird, dass das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist und im zweiten Argument semi-linear. Es gibt auch die umgekehrte Konvention, dann sieht die Rechnung natürlich entsprechend anders aus. --Digamma (Diskussion) 00:06, 7. Mai 2012 (CEST)

Dann ist ja gut, dass ich es noch nicht geändert habe :) Ich bin nur Student am Anfang des Studiums und könnte tatsächliche einen Denkfehler haben. Da ich ihn noch nicht erkannt hab erkläre ich mal genauer was ich denke. Ich stütze mich gerade auf die Gleichungen für Sequilinearität $\langle \alpha f,g\rangle ={\overline {\alpha }}\langle f,g\rangle$ und $\langle f,\alpha g\rangle =\alpha \langle f,g\rangle$

Während in der Rechnung die Formeln andersherum genutz wurden, also $\langle f,\alpha g\rangle ={\overline {\alpha }}\langle f,g\rangle$ und $\langle \alpha f,g\rangle =\alpha \langle f,g\rangle$.

Wenn man $\lambda$ einsetzt lässt es sich auch besser umformen, wenn man obige Formeln nutzt (deshalb habe ich den Fehler überhaupt erst gemerkt - ich bin nicht auf die Lösung gekommen). Ich habe obige Formeln auch erst gestern als Übungsaufgabe bewiesen, weshalb ich recht sicher bin, dass sie stimmen. Es sollte also heißen

$0\leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\overline {\lambda }}\langle y,x\rangle -\lambda \langle x,y\rangle +{\big |}\lambda {\big |}^{2}\langle y,y\rangle .$

Nach dem Einsetzen von $\lambda$ stimmt wieder alles --Keyla (Diskussion) 11:04, 7. Mai 2012 (CEST)

Korrekt.

Es gibt zwei gleichwertige, aber einander widersprechende Definitionen für das komplexe Skalarprodukt. Bei der ersten, die ihr anscheinend in der Vorlesung gelernt habt, ist das Skalarprodukt linear im zweiten Argument ($\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle$) und semilinear im ersten Argument ($\langle \lambda x,y\rangle ={\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle$).

Nach der anderen, die hier im Artikel benutzt wird, ist das Skalarprodukt im ersten Argument linear ($\langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle$) und semilinear im zweiten ($\langle x,\lambda y\rangle ={\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle$). --Digamma (Diskussion) 19:41, 14. Mai 2012 (CEST)

zum Abschnitt "Allgemeiner Fall"

Man kann die Betragsstriche im reellen Fall nicht weglassen, deshalb habe ich die Passage entfernt. Zwei unterschiedliche reelle Vektoren können durchaus ein negatives Skalarprodukt haben, wenn nämlich der Winkel zwischen ihnen zwischen ${\frac {\pi }{2}}$ und ${\frac {3}{2}}\pi$ liegt. "Positiv definit" (eine Eigenschaft aller eigentlichen Skalarprodukte) bedeutet nur, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst immer positiv ist.--Slow Phil (Diskussion) 12:03, 4. Sep. 2012 (CEST)

Wenn das Skalarprodukt negativ ist, ist die Ungleichung doch automatisch erfüllt, da die rechte Seite (siehe Norm (Mathematik)#Grundlegende Eigenschaften) größer gleich 0 ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:43, 4. Sep. 2012 (CEST)

Hab's revertiert. --NeoUrfahraner (Diskussion) 19:45, 4. Sep. 2012 (CEST)