Diskussion:Cauchy-Verteilung

Beispiele?

Hi, habe noch ein Beispiel dazugegeben. Gruß --Philipendula 21:36, 11. Mai 2004 (CEST)

Kann man da noch ein allgemeinverständliches Beispiel finden? Z.B. etwas mit Kugeln oder Würfeln oder so... Wäre super. -- tsor 21:39, 11. Mai 2004 (CEST)

Das mit Würfeln, Münzwurf, Roulette etc. ist bei der Cauchy-Verteilung nur unter größten Schwierigkeiten zu verwirklichen. :) Gruß--Philipendula 22:04, 11. Mai 2004 (CEST)

Es scheint ja ein Bedürfnis an einem einfachen Beispiel zu geben (zumindest in 2004). Ziemlich anschaulich finde ich folgendes. Wenn man ein Pendel der Länge $s$ über der Ruheposition $t$ aufhängt und dann einen (stetig) gleichverteilten Auslenkungswinkel $U$ aus $(-90{\text{°}},90{\text{°}})$ wählt, dann ist die horizontale Auslenkung Cauchy-verteilt mit Parametern $s,t$. Ich hatte ursprünglich vor diesen Fakt im Abschnitt Beziehung zu stetigen Gleichverteilung [sic!] zu erwähnen. (Nachdem ich mal die Muse hatte eine kleine Zeichnung dazu zu basteln.) Aber wenn Bedarf besteht, kann das natürlich auch etwas prominenter platziert werden. Ich schau mal, was ich tun kann.

Liebe Grüße -- 2A02:8109:B03F:F738:993E:6BA0:B7F8:51C 12:19, 13. Aug. 2022 (CEST)

Done. -- 2A02:8109:B03F:F738:993E:6BA0:B7F8:51C 17:46, 13. Aug. 2022 (CEST)

Beispiel

Ein konkretes Beispiel für eine Cauchy-Verteilung wäre m.E. wirklich wichtig - gerade wenn es nicht einfach ist.

Ich bin über Mandelbrot "Fraktale und Finanzen" darauf gestoßen, habe aber nirgend eine für Nicht-Naturwissenschaftler nachvollziehbare Erklärung gefunden.

Die Fragen, die sich dem Laien zumindest nach Mandelbrot- und www-Lektüre aufdrängen, sind folgende:

Wieso gibt es bei Cauchy keinen Erwartungswert und keine Varianz ? Mandelbrot bringt ein nicht nachvollziehbares Beispiel mit einem Bogenschützen und vermutet, dass die Kursentwicklung von Aktien einer Cauchy-Funktion folgen und die Risiken deutlich höher sind, als es eine Gaußkurve zeigen würde.

Viele Grüße

Timto --84.183.239.158 14:02, 22. Okt 2005 (CEST)

Ein Beispiel wo man die Lorentzkurve bekommt ist leicht gefunden. Man nehme z.B. die natürliche Linienbreite ("Energielinienbreite") in einem Atom. Wenn man zur Lösungsfindung das klassische Modell eines gedämpften harmonischen Oszillators heranzieht, kommt man auf eine Lorentzkurve. Oder meintet ihr etwas anderes als Beispiel? Falls ihr soetwas meint, kann ich das mal ihrgendwann hier rein tippen.

Liebe Grüße (nicht signierter Beitrag von 149.217.1.6 (Diskussion | Beiträge) 17:14, 16. Okt. 2009 (CEST))

P.S. Bei dieser Gelegenheit mal ein Dankeschön an alle Wikipedia-Autoren

Dass die Cauchy-Verteilung keinen Erwartungswert hat, liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeit für sehr große Ausprägungen sehr groß ist. Daher konvergiert das Integral des Erwartungswertes nicht. Wegen dieser großen Werte, die die Cauchyverteilung annehmen kann, wird sie gerne als Spielwiese für die Analyse von resistenten Schätzern verwendet, also Schätzern, die nur sehr schwach auf Ausreißer in den Daten reagieren. Unten folgt eine Tabelle mit Cauchyverteilungs- und, zum Vergleich, Standardnormalverteilungs-Quantilen.

Wahrscheinlichkeit Quantil	             Quantil
P(X<Quantil)	X-Wert der Cauchy-Verteilung Standardnormalverteilung
0,9	        3,0777	                      1,28155
0,91	        3,442	                      1,34076
0,92	        3,8947	                      1,40507
0,93	        4,4737	                      1,47579
0,94	        5,2422	                      1,55477
0,95	        6,3138	                      1,64485
0,96	        7,9158	                      1,75069
0,97	        10,5789	                      1,88079
0,98	        15,8945	                      2,05375
0,99	        31,8205	                      2,32635

Sehe gerade, dass eh schon Ähnliches im Artikel steht. Viele Grüße --Philipendula 22:11, 22. Okt 2005 (CEST)

Momente

Es heißt ja immer die Chauchy-Verteilung hat keine Momente. Woran liegt das. Kennt jemand den Beweis? --Chrisqwq 15:52, 17. Jul 2006 (CEST)

Für die zentralen Momente folgt das daraus, dass der Erwartungswert nicht existiert. Wenn es aber um die nicht-zentralen Momente E(X^k) geht, denke ich, dass zumindest manche davon für zumindest manche Kombinationen der Parameter existieren. -- UKoch (Diskussion) 22:50, 3. Mai 2015 (CEST)

Das stimmt schon: Die Integrale $E(X^{k})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}f(x)\,dx$ divergieren alle bzw. geben $\infty$ für $k\geq 1$. -- HilberTraum (d, m) 11:04, 4. Mai 2015 (CEST)

OK, dann kommt's auf die Definition der Existenz von Grenzwerten an. $\infty$ ist für mich schon ein Grenzwert, halt nur kein eigentlicher. Ein unbestimmter Ausdruck wie $\infty -\infty$ ist was anderes. Ich finde, das könnte im Artikel klarer gefasst werden. -- UKoch (Diskussion) 22:15, 6. Mai 2015 (CEST)

Ich hab jetzt mal „endlich“ dazu geschrieben, aber die allgemein verwendete Sprechweise ist wohl, dass ein Grenzwert/Integral/Moment „existiert“, wenn er/es eine (endliche) reelle Zahl ist. -- HilberTraum (d, m) 22:03, 7. Mai 2015 (CEST)

So finde ich's besser, danke! -- UKoch (Diskussion) 22:29, 7. Mai 2015 (CEST)

Literaturquelle Quotient standardnormalverteiler ZV = Cauchy-verteilt

Hallo liebe Wiki-Autoren!

Da ich mich gerade mit dem Problem der Verteilung von Produkten und Quotienten normalverteilter ZV beschäftige, bin ich brennend daran interessiert, in welcher Quelle man etwas hierzu findet.

Viele Grüße!

PS: Hat jemand auch zufällig eine Verteilung für das Produkt normalverteilter ZV im Angebot? (nicht signierter Beitrag von 213.70.209.132 (Diskussion) 5. Februar 2007, 16:04 Uhr)

Hallo, auch wenn es nach 15 Jahren vielleicht nicht mehr ganz so "brennend" ist, ein Beweis für den Quotienten findet sich hier [1]. Der Beweis für das Produkt sollte genauso funktionieren, ich habe aber nicht überprüft, welche Verteilung dabei heraus kommt. Für den Artikel relevanter ist sicherlich, ob sich eine Quelle findet, die ein bisschen besser mit Wikipedia:Belege verträglich ist, als ein Online-Skript ohne (ersichtliche) Autorin.

Liebe Grüße -- 2A02:8109:B03F:F738:1558:427A:170F:1D09 12:21, 17. Aug. 2022 (CEST)

PS.: Beim Produkt war ich wohl etwas vorschnell. Da scheint es keine richtig schöne Art zu geben, das entstehende Integral zu vereinfachen. Statt dessen wird das "in der Praxis" numerisch approximiert, siehe [2]. --2A02:8109:B03F:F738:1558:427A:170F:1D09 12:40, 17. Aug. 2022 (CEST)

Zum Bild

Hier müsste mal jemand ein neues Bild erstellen, in dem die Buchstaben der Parameter mit deren Bezeichnungen in der darüberstehenden Formel übereinstimmen. Bitte auch mit Achsenbeschriftung!

So?

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

-- VincentBosch (20:09, 25. Jan. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Beziehung zur Students-t-Verteilung =

Die Symbole $n$ und $\Gamma (1/2)$ kommen in der Definition der Verteilung doch gar nicht vor, oder? Kann jemand der Ahnung davon hat sie Namen korrigieren? ~----88.65.55.130 15:48, 23. Mai 2008 (CEST)

$n$ und $\Gamma$ kommen in der Dichte der t-Verteilung vor. -- VincentBosch 11:56, 12. Feb. 2010 (CET)

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Auskunft#Cauchy-Verteilung_-_Frage_zum_Artikel

Hinweis auf eine aktuelle Frage in der Auskunft. --Zulu55 (Diskussion) 15:23, 18. Jun. 2012 (CEST)

Zahlen Normalverteilung

Heute gab es mehrere Edits [3] [4] [5], welche die Standardnormalverteilung betreffen. Sowohl Normalverteilung als auch en:Normal distribution haben hier den Wert 2,58. Dabei wurde Wolfram Alpha zum Berechnen benutzt. Weiter oben hat jedoch wieder ein Benutzer eine Tabelle geschrieben, in der 2,32 auftaucht, was bei Wolfram Alpha übrigens der Wert für 0,98 (und nicht 0,99) ist. Bevor hier also hin und her editiert wird, sollten wir uns erst mal einigen, welche Quelle zuverlässig ist. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 13:02, 1. Nov. 2013 (CET)

Die 2,58 beziehen sich auf ein symmetrisch um 0 gelegenes Intervall mit 99 % Wahrscheinlichkeit. Im Text geht es aber doch um den Wert unter dem 99 % der Werte liegen, also das 0,99-Quantil. -- HilberTraum (Diskussion) 15:14, 1. Nov. 2013 (CET)

So gibt das dann natürlich alles Sinn. Sollte aber nicht auch richtig gerundet anstatt abgehackt werden, also 2,32635 ≈ 2,33 und 31,8205 ≈ 32 ? --ThE cRaCkEr (Diskussion) 20:49, 1. Nov. 2013 (CET)

Ja, eventuell. Vielleicht bin auch auch gerade etwas übergenau, aber man könnte es vielleicht auch so abgerundet lassen, weil dann ja sichergestellt ist, dass der Wert tatsächlich mit (mindestens) 1 % Wahrscheinlichkeit überschritten wird. -- HilberTraum (Diskussion) 10:35, 2. Nov. 2013 (CET)

Dann müsste aber vor dem 1 % auch mindestens stehen. Ich sehe aber, dass vor 2,32 bereits mindestens steht, hier passt es also. Aber ca. 31 ist einfach falsch, weil die Untergrenze der genaue Wert ist und das mit dem ca. sollte man den Wert dann runden. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 13:55, 2. Nov. 2013 (CET)

Ich habe jetzt einfach bei beiden Werten vier geltende Ziffern angegeben, dann stimmen nämlich gerundete und abgeschnittene Werte überein. -- HilberTraum (Diskussion) 19:02, 2. Nov. 2013 (CET)

Definition vs. Satz

Wie bei so einigen Wikipedia-Artikeln zu mathematischen Themen findet sich hier im Abschnitt "Definition" mehr als nur eine Definition. Ich schlage vor, dass sich in der Wikipedia an das gehalten wird, was sich in der Mathematikliteratur etabliert hat, nämlich die strikte Trennung von Definitionen und Folgerungen daraus. Natürlich kann auch mal ein Satz vorkommen in einer Definition (die berühmte Definition/Satz), aber in diesem Artikel kommt zweimal die Dichte und zweimal die Verteilungsfunktion vor (jeweils für die Cauchy-Verteilung und die Standard-Cauchy-Verteilung). Das halte ich doch für etwas viel. Mein Vorschlag wäre, zunächst die Standard-Cauchy-Verteilung für eine Zufallsvariable über die Dichte einzuführen und dann per Variablentransformation zur allgemeinen Cauchy-Verteilung zu gelangen (zwecks Verständlichkeit), und die Verteilungsfunktion in einen eigenen Abschnitt auszulagern. --Mathze (Diskussion) 03:06, 26. Mär. 2024 (CET)

Ich habe die Verteilugsfunktion ausgelagert und würde dann bald mal die von mir angesprochenen Anpassungen im Abschnitt "Definition" vornehmen. Vorher würde ich aber gerne noch Meinungen einholen. --Mathze (Diskussion) 12:26, 19. Apr. 2024 (CEST)