Diskussion:Clifford-Algebra

Frühere Diskussion

Uff, jetzt sieht das ganze schon viel besser aus -- das unverstaendlich kann jetzt raus. Es ist sicher noch viel Feinschliff moeglich, aber so kann es erst mal auch stehen bleiben. Habe heute noch viel geglaettet und meine Lieblingliteratur ergaenzt. --Jörg Knappen 13:24, 10. Jan 2005 (CET)

Wer soll diesen Artikel noch verstehen? Eine Clifford-Algebra ist eigentlich etwas wunderbar einfaches, was sich mit Schulmathematik verstehen läßt. Man braucht nicht gleich mit der allgemeinst-schaurig-schönen Definition nur für Diplom-Mathematiker und theoretische Physiker anfangen, so etwas läßt sich auch später nachreichen.

Die Clifford-Algebren gibt es schon länger als die Spinoren und den Spin und sie sind auch als hyperkomplexe Zahlensysteme interessant. In der jetzigen Form stürmt der Artikel nur auf Spin zu.

M. E. sollte der Exkurs über die Spin- und Pin-Gruppe in einen eigenen Artikel ausgelagert werden (oder an die orthogonale Gruppe angehängt werden). --Jörg Knappen 20:58, 2. Jan 2005 (CET)

Schulmathematik ist wohl nur ironisch gemeint. Der Begriff der Algebra als Struktur sollte wirklich Bestandteil des Lehrplans sein?

schaurig-schöne Definition trifft durchaus zu, aber wo, ausser in Differentialgeometrie und deren Quelle, der Eichfeldtheorie der Elemetarteilchenphysik, werden Clifford-Algebren als solche verwendet? OK, man kann K- und KK-Theorie anfuehren;-). Apropos: Sowas am besten gleich in den Artikel.

schon länger bitte mit Quelle auch gleich in den Artikel. Bisher kenne ich nur Grassmann, der aus Vektoren bzw. Punkten um 1840 eine Algebra machte. Das gibt aber nur die Grassmann-Algebra. Hamilton war etwas frueher, aber der machte ja auch "nur" in Quaternionen.

hyperkomplexe Zahlensysteme gibt es genau die Quaternionen und Oktaven, letztere nur mit Einschraenkung. Bei allen anderen wird es mit dem inversen Element etwas kompliziert.

Artikel Spin- und Pin-Gruppe: gerne, aehnliches gilt fuer die Entmuellung des Tensor-Artikels.

orthogonale Gruppe auf keinen Fall. Hoechstens als Verweis.

--LutzL 18:03, 3. Jan 2005 (CET)

Man müsste mal in das geniale Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al schauen (ISBN 3540556540), ob dort etwas dazu zu finden ist. Das war Band 1 der damals genialen Reihen Grundwissen Mathematik von Springer, wo die Darstellung der Mathematik einher ging, mit der Darstellung ihrer historischen Entwicklung. --Marc van Woerkom 14:51, 5. Jan 2005 (CET)

Nein, Schulmathematik ist nicht ironisch gemeint. Ich habe jedenfalls den Begriff "Körper" in der Schule

kennengelernt (ist ja die Essenz von Kommutativ-, Assoziativ- und Distirbutivgesetz) und auch mit Matrizen

haben wir gearbeitet (Lösung linearer Gleichungssysteme). Das alles im 9. oder 10. Schuljahr. Und mehr braucht

es am Anfang nicht, um Algebren zu verstehen.

Etwas länger heißt: Clifford-Algebren hat William Kingdon Clifford im Jahr 1878 veröffentlicht, mit den Spinoren fing

Cartan um 1913 an, richtig heiß wurden sie in den 1930er Jahren. (Quelle französische wikipedia, William Kingdon Clifford).

Traditionell wird bei "hyperkomplexen Zahlensystemen" keine Division vorausgesetzt, die dürfen

Nullteiler haben. Dann geht mehr als nur komplexe Zahlen und Quaternionen.

Ich bau mal ein bischen am Anfang ein.--Jörg Knappen 20:53, 3. Jan 2005 (CET)

Nachtrag: Ein guter Teil der Unverständlichkeit wird durch ein Zuviel von verschiedenen und schlecht lesbaren Notationen erzeugt, nur so als Beispiele:

$C\ell (p,q)=C\ell _{p,q}(\mathbb {R} )$ und  $\mathbb {C} \ell (p+q):=C\ell (p,q,\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}$

besser sind m. E. $Cl(p,q,\mathbb {R} )$ und $Cl(p,q,\mathbb {C} )$. Das $\mathbb {C}$ ist vor dem $\ell$ kaum zu erkennen, das $\ell$ sieht in den fetten Einleitungen der Beispiele sehr fremdartig aus. Einfaches ASCII-l ist besser.

Die Beispiele sollten vor der Darstellungstheorie kommen. Lutz, was meinst Du dazu? --Jörg Knappen 21:09, 2. Jan 2005 (CET)

Notationen hatte ich auch erstmal so, dann aber an den englischen Artikel und auf die Schnelle zugaengliche Literatur angepasst. Über Typographie kann man sich streiten. Die allgemeinste Notation ist eh die mit Vektorraum und quadratischer Funktion, dann sind auch die Graßmann-Algebra^Hen drin.

Beispiele wie die eindimensional erzeugten Algebren, Quaternionen und Oktaven sollten in der allgemein verstaendlichen Einleitung kommen, die Klassifikation koennte wie im Englischen ausgelagert werden, muss es aber meiner Ansicht nicht, wenn schon die Spin-Gruppe ausgelagert wird.

Die Vorzeichenfrage und der Index sollten an gegebener Stelle angesprochen werden, nach meiner Einschaetzung hat sich v.v=-Q(v) durchgesetzt, die Physiker koennen sich nur nicht einigen, ob sie SO(1,3) (Bolschinstwo) oder SO(3,1) (Menschinstwo, Stringtheorie) betrachten, aber das steht hier nicht zur Debatte.

--LutzL 18:03, 3. Jan 2005 (CET)

Fehler?

Sollten nach

Diese Struktur ist, bis auf die genannten Beispiele, kein Zahlensystem, sondern kann nur als Algebra realisiert werden, in welcher die \mathbf i_k Erzeugende sind. Eine solche Algebra wird Clifford-Algebra genannt, nach William Kingdon Clifford, der sie im Jahr 1878 entdeckt hat. Sie wird mit Cl(p,q) oder Cl(p,q,ℝ) bezeichnet, falls

nicht die Quadrate (!) der Erzeugenden +1 und -1 sein?

Was +/−1 sein soll, sind ja die Sigmas, und die Gleichung oben ist ja auch quadratisch in den Erzeugern.--Gunther 12:03, 9. Feb 2006 (CET)

Sollte es unter "Konstruktion in der Tensoralgebra" nicht ${\mathcal {I}}:={\mbox{span}}_{\mathbb {K} }\{{\mathcal {T}}V\otimes (v\otimes v+Q(v))\otimes {\mathcal {T}}V:\;v\in V\}$ heißen? So wie es da steht, wäre es m.E. kein Ideal, oder? --U hallodri n 23:52, 6. Aug. 2008 (CEST)

Ist wohl derzeit als ${\mathcal {I}}:={\mbox{span}}_{{\mathcal {T}}V}\{(v\otimes v+Q(v)):\;v\in V\}$ gemeint, wegen der Nichtkommutativität wäre Deine Variante wohl besser. Die englische Variante drückt sich glaube ich erfolgreich um eine formale Darstellung.--LutzL 11:12, 7. Aug. 2008 (CEST)

Unverständliches und Unerklärtes

Der Satz 'zu jeder weiteren Einbettung f:V → A gibt es einen eindeutigen Algebrenmorphismus φ:Cl(V,Q) → A mit f=φ∘j.' ist mir unverständlich. Was ist A? Nennt der Satz eine Eigenschaft, die definitionsgemäß gefordert wird, oder folgt er als Ergebnis aus den Definitionen? Was besagt der Satz, falls A die Algebra der alternierenden Tensorprodukte von V ist? --Norbert Dragon 15:38, 12. Jul. 2008 (CEST)

Hi, das bezieht sich auf die Universalkonstruktion. Gegeben und fixiert ist das Paar (V,Q) aus Vektorraum und quadratischer Form. Man betrachte alle Paare (A,j) aus mit Algebra A und linearer, injektiver Abbildung j:V->A mit der angegebenen Produkteigenschaft j(v)*j(v)=-Q(v). Diese bilden keine wohldefinierbare Menge, sondern nur eine Kategorie. Die Clifford-Algebra, so sie existiert, ist das universale Objekt (Cl,j) dieser Kategorie. Jedes andere Paar aus der Kategorie enthält eine isomorphe Kopie des universalen Paars. D.h. ist (B,f) ein weiteres Paar, so gibt es einen Algebrenmorphismus φ:Cl->B, der auch die Abbildung j:V->Cl in die Abbildung f:V->B überführt, also eben f=φ∘j. Damit wären die Minimalforderungen an Cl auf höchst abstrakte Weise fixiert. Mit der Definition als Quotient der Tensor-Algebra nach einem spezifisch gewählten Ideal wird nun ein konkretes universelles Objekt angegeben, also die Existenz gesichert.--LutzL 19:08, 12. Jul. 2008 (CEST)

Ich habe zwar einige mathematische Kenntnisse, kann aber dennoch nicht folgen: Wieso fordert man, dass ein Algebrenmorphismus von (A,j) auf (Cl,j) existiert? Soviel ich weiss, ist es ein beweisbarer Satz, dass alle irreduziblen Darstellungen der Clifford-Algebra äquivalent sind. Meine Verständnisschwierigkeiten geben vielleicht auch Anlass zu der Frage, welche Leser die mathematischen Wikipedia-Beiträge lesen und verstehen sollen. Ein Physiker, den ich zum mathematischen Hintergrund von Dirac-Matrizen auf Clifford-Algebra verweise, versteht trotz einiger Semester Mathematikstudiums nur wenig. --Norbert Dragon 19:23, 12. Jul. 2008 (CEST)

Darauf kann ich mit Autorität antworten:-) Weil das in den Mathematikvorlesungen des Grundstudiums aus Zeitgründen kaum bis nicht vorkommt. Dazu müsste man als Physikstudent dann im Hauptstudium auch Vorlesungen zu Differentialgeometrie besuchen. Und die Physikvorlesungen beschaeftigen sich selten mit den mathematischen Grundlagen von Tensoren, der Spingruppe und Spinoren (oder auch der Fouriertransformation), da muessen meist die Rechenregeln ausreichen.---Aber keine Frage, der Artikel ist in einem etwas seltsamen Zustand.

Zu den Fragen: Man betrachtet die Kategorie der Algebren, in die der Vektorraum eingebettet ist, die Morphismen der Kategorie sind Algebrenmorphismen, die den Vektorraum invariant lassen. Das ergibt eine Art Ordnung in den Algebren der Kategorie, die Ausgangsalgebra eines Morphismus ist kleinergleich als die Zielalgebra. Die universalen Objekte sind die bezüglich dieser Ordnung minimalen. Daraus folgt, dass alle universellen Objekte minimalisomorph sind. Man kann nun Spielchen treiben, z.B. die negative Einbettung betrachten, was dann einen Isomorphismus der Clifford-Algebra ergibt, dessen Eigenunterräume die geraden und ungeraden Elemente der Clifford-Algebra sind.

Bis hier kommt noch gar keine Darstellung ins Spiel. Eine Darstellung einer Algebra ist ein Homomorphismus in eine Matrixalgebra. Vorher muss man aber erstmal die Existenz einer Clifford-Algebra sichern, oder ueberhaupt die Existenz eines Objektes der Kategorie. PS: Oben in meinen Ausfuehrungen ist irgendwann A=Cl.--LutzL 11:44, 13. Jul. 2008 (CEST)

Ich kann nicht nachvollziehen, dass die axiomatische Forderung nach einem Algebrenmorphismus die Existenz der Algebra sichert. Vielmehr scheint mir das Argument unschlagbar, dass es Matrizen gibt, die die Algebra erzeugen.

An der Forderung des Algebrenmorphismus stört mich, dass seine Existenz bei Matrixalgebren ein beweisbarer Satz ist. Es muß also nichts gefordert , sondern etwas gezeigt werden. Axiomatische Forderung statt eines mathematischen Beweises hat nach Arnold "the advantage of stealing against honest work". --Norbert Dragon 18:32, 15. Jul. 2008 (CEST)

Weil die Definition sonst nicht eindeutig wäre. Extrembeispiel: Die Definition der Clifford-Algebra des Nullvektorraums Cl(0,0) würde sonst jede beliebige assoziative Algebra zulassen. Der von dir zitierte Satz ist also eine Folgerung aus dieser oder einer äquivalenten Forderung. --Quilbert 問 04:26, 16. Jul. 2008 (CEST)

Zu jedem Vektorraum mit symmetrischer Bilinearform kann eine Clifford-

Algebra konstruiert werden. Das hat mit irgendwelchen Matrixdarstellungen erstmal gar nichts zu tun. Ist die Bilinearform tatsächlich ein Skalarprodukt, dann kann man, nach Basiswahl, eine Matrixdarstellung wählen. Auch hier sollte man den richtigen/natürlichen Grundkörper beachten, mal sind das die reellen Zahlen, mal die komplexen und mal die Quaternionen. Für viele Einsatzzwecke ist das aber unnötiger Ballast, da man mit den koordinatenfreien Rechenregeln vieles einfacher und übersichtlicher darstellen und ausrechnen kann. (Ich weiss, das ist nicht der derzeitige Standpunkt der Physik, aber die hinkt eh 15-20 Jahre der mathematischen Begriffsbildung hinterher. Nichtsdestotrotz sollte dieses im Artikel auftauchen.)---Dass die Clifford-Algebra ein universielles Objekt ist, zeigt, dass sie die natürliche Erweiterung eines euklidischen Vektorraums zu einer Algebra ist.---Wenn ich mal Zeit habe, baue ich den Artikel um. Wenn jemand anderes die Diskussion einbauen will und den Universal-Abschnitt auf den Stand dieser Diskussion bringt, nur zu. Zu universellen Objekten siehe z.B. das Skript LAII von H. Grassmann, Abschnitt "abstract nonsense". Der in Universalkonstruktion beschriebene universale Morphismus klappt zwar schön für die Tensoralgebra, mir ist aber noch keine schmerzfreie Konstruktion eines solchen für die Clifford-Algebra untergekommen.--LutzL 10:00, 16. Jul. 2008 (CEST)

Ergänzung

So wie die Grassmannalgebren (= äussere Algebren) spezielle Cliffordalgebren sind, nämlich die zur symmetrischen Bilinearform Null, sind die symmetrischen Algebren Spezialfälle der Weylalgebren über symplektischen Vektorräumen. Diese Weylalgebren lassen sich völlig analog zu den Cliffordalgebren universell über symplektischen Vektorräumen definieren. Natürlich kann man Grassman- und symmetrische Algebren auch universell definieren, oder aus den Tensoralgebren durch Faktorisierung ableiten. Allerdings sind symmetrische und Weylalgebren unendlichdemensional. Man kann sich die vier Algebren am besten in einem quadratischen Diagramm vorstellen. Die definierenden Relationen der Clifford- bzw. Weylalgebren liefern die kanonischen Antivertauschungs- bzw. Vertauschungsrelationen der Physik, die quadratischen Elemente in diesen beiden Algebren liefern dann basisfreie Vertauschungsrelationen der pseudo-orthogonalen bzw. symplektischen Liealgebren. Zur Notation: Ich würde clif( , ) und weyl( , ) vorziehen (die Argumente sind die pseudo-orthogonalen bzw. symplektischen Vektorräume). Für die beiden anderen Algebren dann natürlich gras( ) und symm( ). Führt man eine 0,1 - Graduierung ein, dann lassen sich clif und weyl nochmal zusammenfassen, und die pseudo-orthogonalen und symplektischen Liealgebren ebenfalls. Als Literatur kommen auch die beiden Bände N. Bourbaki "Algebra" und "Commutative Algebra" in Frage, die man unter "Nicolas Bourbaki" in der Wikipedia findet. Hans Tilgner (nicht signierter Beitrag von 84.88.66.226 (Diskussion) 20:29, 5. Dez. 2010 (CET))

Mathematische Definition

Es müsste wohl schon gesagt werden, was $\mathbb {K} \,$ sein soll!

• Ein beliebiger Körper? (Dann bitte nicht in der \mathbb-Schreibweise, die doch für universell isomorphe Standardobjekte wie $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \,$ reserviert ist.)
• Eine Kategorie?

-- Nomen4Omen 18:08, 9. Mär. 2011 (CET)

Dass verwendete Symbole nicht erklärt werden, ist nicht in Ordnung und jetzt minimal behoben. mathbb ist schon üblich, mit großem und kleinen K. Was wäre die Alternative, mathcal?--LutzL 18:55, 9. Mär. 2011 (CET)

Im Definition wird von einer Verknüpfung gesprochen, ohne sie zu definieren. Ist vielleicht gemeint: Verknüpfung $v\cdot w$ mit den erwähnten Eigenschaften? Madyno (Diskussion) 12:24, 3. Jan. 2018 (CET)

Es ist gemeint, dass es eine Verknüpfung geben muss, die dieser Gleichung genügt. Ich habe mal versucht den Abschnitt zur Definition zu erneuern und den Artikel etwas umzustrukturieren. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 19:42, 6. Jan. 2018 (CET)

Vorbetrachtung

„Es gibt in der Mathematik Zahlensysteme (Divisionsalgebra mit 1) mit komplexen Einheiten, genauer die komplexen Zahlen, die Quaternionen und Oktaven.“

Kann jemand den Satz etwas präzisieren? Ist Zahlensystem ein feststehender Begriff? Laut der deutschen Wikipedia (Divisionsalgebra) sind $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$, $\mathbb {O}$ durch das Kriterium „reelle, normierte, Divisionsalgebra mit eins“ , laut der englischen Wikipedia reicht auch „reel, endlichdimensional und alternativ“. Reicht Divisionsalgebra mit 1 wirklich aus? Kennt sich btw. jemand mit dem Thema aus, das scheint mir nicht alles auf ganz festen Füßen zu stehen (endlichdimensional fehlte im Gegensatz zur englischen Wikipedia an einer Stelle; englische Wikipedia sagt, jede normierte sei endlichdimensional, verweist aber für unendlichdimensionale Divisionsalgebren gerade auf den Artikel zu normierten). --Chricho ¹ ² ³ 21:39, 3. Jul. 2012 (CEST)

Internen Link entfernt

Ich habe den internen Link zum Artikel "Zahlensystem" entfernt, da dessen Gegenstand nur ein Homonym zum "Zahlensystem" im Sinne von "unitäre Divisionsalgebra" ist und begrifflich nichts damit zu tun hat.--Slow Phil (Diskussion) 15:49, 9. Okt. 2013 (CEST)

Praktische Anwendungen von Clifford Algebra?

Dann schau mal nur in den englischen Artikel http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra . Von wegen nur in der Differentialgeometrie verwendet. PS eine deutsche Version eines solchen Artikels wäre mal nicht schlecht ... wink 85.176.191.1 02:27, 26. Mär. 2014 (CET)

Bitte neue Diskussionen unten anfügen, so wie das auch der Knopf für neue Abschnitte macht. -- Was ist genau die Kritik bzw. der Vorschlag? --LutzL (Diskussion) 09:07, 26. Mär. 2014 (CET) Soweit zu erkennen, sind unter "geometric algebra" Anwendungen von und Trivia zu äußerer Algebra und Quaternionen, weniger zu allgemeinen Clifford-Algebren, in Differentialgeometrie und (Quanten-)Physik angegeben, so wie es auch hier in der Einleitung steht.--LutzL (Diskussion) 09:14, 26. Mär. 2014 (CET)